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数列通项公式求法(有答案)

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知识框架
数 列
数 列 求 和 由 前 n 项 和 求 通 项

等差数列 通 项 公 式 前 n 项 和 公 式

等比数列

通项公式

通 项 公 式

前 n 项 和 公 式

由 数 列 的 前 几 项 求 通 项

由 递 推 公 式 求 通 项

数列的应用

考试要求 1. 数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、解
析法); ②了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.?

2. 等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念.? ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.?

③能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,
并能用有关知识解决相应的问题.? ④了解等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系. ⑤理解由递推公式求通项公式及数列求和的常用方法.?

数列 通项公式的求法

从高考情况来看,求数列的通项公式主要有三种类型: (1)给出数列前几项的值,求通项公式;

(2)给出数列的首项(或前几项)和递推公式,求通项公式;
(3)给出数列的前n项和公式 Sn ,求通项公式. 对于(1)、(2)两种类型,应先考虑是否为等差或等 比数列,或者能否转化为等差或等比数列,如是,则可利 用等差(或等比)数列通项公式求解;若不是,则可以考 虑观察归纳法,通过对数列前几项的观察、分析,寻找 an与n之间的关系,从而求出通项公式.

对于第(3)类,则可利用an与Sn之间的关系求解,但 要注意分n=1和n 》2两种情况计算,最后要验证两者 能否统一.

求通项公式的方法主要有:
(1)观察法(也称不完全归纳法);

(2)公式法(等差或等比);
(3)配凑法 (4)待定系数法 .

(5)逐差叠加法;
(6)逐商叠乘法; (7)进退标相减法

要熟知一些常见数列的通项公式.
(1)自然数列: 2 3 4, ;( an ? n ) 1,,, ? (2) 奇数列: 1,3,5,7,? ? ? ; ( an ? 2n ? 1 ) (3)偶数列: 2 , 4 , 6 , 8,? ? ; an ? 2n ) ? ( 1 1 1 1 (4) 倒数列: 1, , , , ? ? ?; an ? ) ( 2 3 4 n (5) 数列: 1 , 2 , 4 , 8? ? ? ;an ? 2n?1 ) ( (6) 数列: 1 , 4 , 9 ,16 , ? ? ? ;( an ? n 2 ) ( 7 )数列: 1, ?1,1, ?1,? .( an ? ( ?1 ) 或an ? ( ?1 )
n ?1 n ?1

)

题型一

已知数列的前几项,求通项公式:

例1.根据下列各数列的前几项的值, 写出数列 的一个通项公式. (1)0,,, , ,? ? ; 3 8 15 24 ? (2) 1, ? 13, ,? ? ; ? 7, 19 ? 2 10 17 26 37 (3) , 1, , , , ,? ? ; ? ? ? ? 3 7 9 11 13 (4), , , 9 99 999 9999,? ? ; 5), , , , ? ; ? ( 3 33 333 3333 ? ? (6), , , , ? ; 7 77 777 7777 ? ? (7)3, 5, 3, 5, 3, 5, ? ? ?; (8)2 , 4 , 6 , 8 ,?;
2 5 10 17

(9) 2,5, 2,11,? ? ; 2 ?

[点评]求通项公式主要有(1)观察法(也称不完全归纳法); (2)公式法(等差或等比).

解: (1)an =n 2 -1; (2) n =(-1)n (6n ? 5); a (3)an =(-1)
n ?1

n2 ? 1 ? ; 2n ? 1

(4) n =10n -1; a 1 (5) n = (10n -1); a 3 7 (6) n = (10n -1); a 9 (7)an =(-1)n ? 4; (8)an =(2n)
n2 ?1

;

(9)an = 2 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1

点评: 常用观察法.通常先将每项分解成几部分(如 符号,绝对值,分子,分母,底数,指数等),然后 观察各部分与项数n的关系,最后用不完全归纳 法得出通项公式; 用等差、等比数列的通项公式;

(1)根据数列的前若干项求通项公式,

(2)若某一部分成等差数列或等比数列,就直接

(3)要熟知一些常见数列的通项公式.

注意“三定”: ----定符号 ----定分子、分母或底数、指数 ----确定项与项数的关系

题型二 由递推公式求通项公式的方法:
《一》an?1 ? kan ? (k、b为常数)型 b

(1)当k ? 1时,an?1 ? an ? b ? ?an ? 是等差数列
例2、在数列?an ?中,a1 ? 1, an ?1 ? an ? 5,求an .

练习、在数列?an ?中,a1 ? 2, an ? an ?1 ? 4,求an .

(2)当k ? 1时,可用配凑法或待定系数法,
an?1 ? m ? k (an ? m ),比较系数,定出m.
例3、根据下列条件,求出数列的通项公式:
()a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2; 1
(2)a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3;

1 (3)a1 ? 1, an?1 ? an ? 1; 2 1 (4)a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2; 3

【方法一】配凑法:

【方法二】待定系数法 (转化为等比数列 )

…..

解: 设a n ? m ? 3(a n ?1 ? m ), 则a n ? 3a n ?1 ? 2m , 对 比a n ? 3a n ?1 ? 2, 得m ? 1, 于 是, a n ? 1 ? 3(a n ?1 ? 1) ? a n ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3 即a n ? 2 ? 3
n ?1 n ?1

,

? 1.

【方法三】(特征根法) 利用特征根转化为等比数列. (1)a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2; 解:(1)令x=3x+2,解得x=-1 ? an ? 1 ? 3an ?1 ? 2 ? 1 ? 3( an ?1 ? 1) 3为公比的等比数列 ? an ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ? an ? 2 ? 3
n ?1

? 数列?an ? 1? 是以a1 ? 1 ? 2为首项,

?1

【方法四】(退一标或进一标相减法) 转化为等比数列. ?an ?1 ? 3an ? 2 解:由递推关系,得: (n ? 2) ? ?an ? 3an ?1 ? 2

将上述两式相减,得:an ?1 ? an ? 3(an ? a n ?1 ), ? an ?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? 3 , 即3an ? 2 ? an ? 4 ? 3 , 所以an ? 2 ? 3
n ?1 n ?1 n ?1

? 1.

(2)当k ? 1时,可用配凑法或待定系数法,
an?1 ? m ? k (an ? m ),比较系数,定出m.
例3、根据下列条件,求出数列的通项公式:
()a1 ? 1, an ? 3an ?1 ? 2; 1
(2)a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3;

1 (3)a1 ? 1, an?1 ? an ? 1; 2 1 (4)a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2; 3

【方法三】(特征根法) 利用特征根转化为等比数列. 1 (3 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 1; ) 2 1 解:(1)令x= x+1,解得x=2 2 1 1 ? an ?1 ? 2 ? an ? 1 ? 2 ? ( an ? 2) 2 2 ? 数列 ?an ? 2? 是以a1 ? 2 ? ?1为首项, 1 为公比的等比数列 2 1 n ?1 ? an ? 2 ? ( ?1) ? ( ) 2 1 n ?1 ? an ? ( ?1) ? ( ) ?2 2

例4、根据下列条件,求出数列的通项公式:
7an ? 2 ()a1 ? 3, an ?1 ? 1 ; an ? 4
7x ? 2 ,得x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, x?4 7x ? 2 则x1 ? 1, x2 ? 2是函数f(x ) ? 的不动点. x?4 ? a ?1 ? 故可得 ? n ? 为一等比数列. ? an ? 2 ? 解:( )令x ? 1 7 an ? 2 ?1 an ?1 ? 1 an ? 4 a ?1 6 ? ? ? ? n 7 an ? 2 an ?1 ? 2 5 an ? 2 ?2 an ? 4

此种类型, 更适合用特征根法

? a ?1 ? a1 ? 1 ? 数列 ? n ? 2为首项, ? 是以 a1 ? 2 ? an ? 2 ? 6 为公比的等比数列. 5 a ?1 6 n? ? n ? 2? ( )1 an ? 2 5 ? an ? 1 ?2 6 n ?1 2? ( ) ?1 5

及时反馈:根据下列条件,求出数列的通项公式:
an ? 2 a1 ? 2, an ?1 ? ; 2an ? 1

x?2 ,得2x2 ? 2 ? 0, 2x ?1 x?2 则x1 ? 1, x2 ? ?1是函数f(x) ? 的不动点. 2x ?1 ? a ? 1? 故可得 ? n ? 为一等比数列. ? an ? 1 ? 解:(1 )令x ? an ? 2 ?1 an ?1 ? 1 2an ? 1 a ? 2 ? 2 an ? 1 ? ? ? n an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1 an ? 2 ? 2an ? 1 2 an ? 1 ? ? an ? 1 1 a ?1 ?? ? n 3an ? 3 3 an ? 1

此种类型, 更适合用特征根法

? a ? 1? a ?1 1 ? 数列 ? n ? 是以 1 ? 为首项, an ? 1 ? a1 ? 1 3 ? 1 ? 为公比的等比数列. 3 a ?1 1 1 n ? n ? ? (- )?1 an ? 1 3 3 ? an ? 3n ? ( ?1) n 3n ? (?1) n

例5、根据下列条件,求出数列的通项公式:
3an ? 1 1 ()a1 ? , an ?1 ? 1 ; 2 4an ? 7
3x ? 1 ,得4x2 ? 4 x ? 1 ? 0, 4x ? 7 1 3x ? 1 则x1 ? ? 是函数f(x) ? 的不动点. 2 4x ? 7 ? ? ? 1 ? 故可得 ? ? 为一等差数列. ? an ? 1 ? ? 2? 7 (an ? ) 4 1 1 4 ? 1 ?4 ? ? ? 1 3an ? 1 1 1 1 5 an ?1 ? ( an ? ) an ? 5 ? 2 4 an ? 7 2 2 2 解:(1 )令x ? ? ? ? 1 ? 1 ? 数列 ? ? 1为首项, ? 是以 1 ? an ? 1 ? a1 ? ? 2? 2 4 为公差的等差数列. 5 1 4 ? ? 1 ? n ? 1) ? ( 1 5 an ? 2 9 ? 4n ? an ? 2 ? 8n

此种类型, 更适合用特征根法

及时反馈1:根据下列条件,求出数列的通项公式:
2an ? 1 a1 ? 2, an ?1 ? ; 4an ? 6

2x ?1 ,得4x2 ? 4 x ? 1 ? 0, 4x ? 6 1 2x ?1 则x1 ? x2 ? ? 是函数f(x) ? 的不动点. 2 4x ? 6 ? ? ? 1 ? 故可得 ? 为一等差数列. 1? ? an ? ? ? 2? 3 an ? 1 1 2 ? 1 ?1 ? ? ? 1 2 an ? 1 1 1 an ?1 ? an ? ? an ? 2 4 an ? 6 2 2 解:(1 )令x ? ? ? ? 1 ? 1 2 ? 数列 ? ? 为首项, ? 是以 1 5 ? an ? 1 ? a1 ? ? 2? 2 1为公差的等差数列. ? 1 an ? 1 2 13 ? 5n ? an ? 10 n ? 6 ? 2 ? (n ? 1) ? 1 5

此种类型, 更适合用特征根法

及时反馈2:根据下列条件,求出数列的通项公式:
2an 2 a1 ? , an ?1 ? (用特征根法) ; 3 an ? 1
2x ,得x2 ? x ? 0, x ?1 2x 则x1 ? 1, x2 ? 0是函数f(x) ? 的不动点. x ?1 ? a ? 1? ? 1? 故可得 ? n ?,即 ?1 ? ? 为一等比数列. ? an ? ? an ? 解:(1 )令x ? ?1 ? a ? 1 2 an ? an ? 1 1 1 ? 1? ? 1? n ? 2 an an ?1 2 an 2 an an ? 1

a ?1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ? ? (1- ) 2 an 2 2 an 2 an ? 1? 1 1 ? 数列 ?1- ? 是以1- ? ? 为首项, a1 2 ? an ? 1 为公比的等比数列. 2 1 1 1 1 ?1- ? ? ) ) n ?1 ? ? ) n ( ? ( ( an 2 2 2 ? 1 1 ? 1 ? )n ( an 2 1 2n ? n 1 1 ? )n 2 ? 1 ( 2

此种类型, 更适合用特征根法

? an ?

及时反馈2:根据下列条件,求出数列的通项公式:
2an 2 a1 ? , an ?1 ? (用倒数法) ; 3 an ? 1
解: an ?1 ? ? ? 2 an an ? 1 a ?1 1 1 1 1 ? n ? ? ? an ?1 2 an 2 2 an

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ( ? 1) an ?1 2 2 an 2 an ?1 ? 1 1 ? 数列 ? ? 1? 是以 ? 1 ? 为首项, a1 2 ? an ? 1 为公比的等比数列. 2 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ) n ?1 ? ) n ( ( an 2 2 2 ? 1 1 ? 1 ? )n ( an 2

1 2n ? an ? ? 1 n 2n ? 1 1? ) ( 2

练习、根据下列条件,求出数列的通项公式:
()a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 2; 1
1 (2)a1 ? 1, an?1 ? an ? 1; 2 1 (3)a1 ? , an ? 3an ?1 ? 7; 2

《二》an?1 ? an ? f ? n ? 型:(用逐差叠加法)
例4、根据下列条件,求出数列的通项公式:
(1)a1 ? 2, an?1 ? an ? n;

练1、根据下列条件,求出数列的通项公式:
(1)a1 ? 1, an ? an?1 ? 3n?1 ( n ? 2);

练2、根据下列条件,求出数列的通项公式:
1 a1 ? 2, an?1 ? an ? n(n ? 2)

《三》an?1 ? f ? n ? an型:(用逐商叠乘法)
例5、根据下列条件,求出数列的通项公式:
(1)a1 ? 1, 2n?1 an ? an?1 ;

练1、根据下列条件,求出数列的通项公式:
n?1 (1)a1 ? 1, an ? an?1 ( n ? 2); n

练2、根据下列条件,求出数列的通项公式:
2n ? 1 a1 ? 3, an ? an?1 (n ? 2) 2n ? 1

练3、根据下列条件,求出数列的通项公式:
a1 ? 2, an ?1 ? an 2 ? 2an (n ? N ? )

(练3)解: ? an ?1 ? an 2 ? 2an ? an ?1 ? 1 ? an 2 ? 2an ? 1 ? an ?1 ? 1 ? ( an ? 1) 2 an ?1 ? 1 ? ?1 2 ( an ? 1) a2 ? 1 ? ?1 2 ( a1 ? 1) a3 ? 1 ? ?1 2 ( a2 ? 1) ?????? an ?1 ? 1 ?1 2 ( an ? 2 ? 1) ? an ? 1 ?1 2 ( an ?1 ? 1)

(练3) an ? 1 ? ?1 2 (a1 ? 1) (a2 ? 1)( a3 ? 1)( a4 ? 1) ? ( an ?1 ? 1) ? ? ? an ? 1 (a1 ? 1) (a1 ? 1)
2 22?1

( a1 ? 1)

23?1

( a1 ? 1)

24?1

? ( a1 ? 1)

2n?1?1

?1

an ? 1 (a1 ? 1) (a1 ? 1)
2 ? 22?1 ? 23?1 ? 24?1 ??? 2n?1?1

?1

an ? 1
2(1? 2n?2 ) 2 ? 1? 2

?1

?

an ? 1 (a1 ? 1)
2 ? 2(2n?2 ?1)

?1

(练3) ? an ? 1 (a1 ? 1)
2n?1

?1

? a1 ? 2 ? an ? 1 ? 3 ? an ? 3
2n?1 2n?1

?1
2n?1

即数列?an ?的通项公式为an ? 3 当n ? 1时a1 ? 2也满足an ? 3 ? 数列的通项公式为an ? 3
2n?1 2n?1

? 1(n ? 2)

? 1( n ? 2) ? 1(n ? N ? )

题型三

已知Sn =f(n),求通项a n

利用数列的前n项和S n与通项an的关系 ? S1 ? n ? 1? ? an ? ? ? S n ? Sn ?1 ? n ? 2 ? ?

注意:此类题在求通项时,要分两种情况计算, 最后看两者能否统一.

例1、已知下面各数列?an ?的前项和Sn的公式 , 求的通项公式.

?1? Sn ? 2n ? 3n; n ? 2 ? Sn ? 3 ? 2
2

练1:已知数列?an ?的前n项和S n 满足 log 2 ? S n + 1 ? ? n ? 1 ,求通项公式an .
注意:此类题在求通项时,要分两种情况计算, 最后看两者能否统一.

已知Sn和an的混合式
处理方法: 用" 退一标或进一标相减法 "; an转化为Sn ? Sn?1; .

例2:在数列?an ?中,已知2Sn ? (n+2)an ? 1 求通项公式an .
练1.已知数列?an ? 满足a1 ? 1, 1 1 1 an ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ( n ? 1), 2 3 n ?1 求数列?an ?的通项公式.
练2.已知数列 ?an ?的前n项和S n与第n项之间 S n ? an ? 1 满足2lg =lgS n +lg (1 ? an ), 求an . 2

练3.(2010广州一模)已知数列 ?an ?的前 n项和为S n ? a13 ? a 2 3 ? ? ? a n 3,且对任意 的n ? N ? ,都有 an ? 0, (1)求a1,a2的值; (2)求数列 ?an ?的通项公式。

例2:在数列 ?an ?中,已知2S n ? (n+2)an ? 1, 求通项公式an . 解: ? 2S n ? (n+2)an ? 1 ? 2S n ?1 ? (n-1+2)an ?1 ? 1 ? 2a n ? (n+2)an ? (n+1)an ?1 ? nan ? (n+1)an ?1 an n+1 ? ? an ?1 n

再用逐商叠乘法求出数列 ?an ?的通项公式。

练1.已知数列 ?an ? 满足a1 ? 1, 1 1 1 a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ( n ? 1), 2 3 n ?1 求数列 ?an ?的通项公式. an ? a1 ?
解: 1 1 1 1 a 2 ? a3 ? ? ? an? 2 ? a n ?1 ( n ? 1), 2 3 n?2 n ?1 1 1 1 ? an ?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an? 2 2 3 n?2 1 ? an ? an ?1 ? an ?1 n ?1 n ? an ? an ?1 n ?1 an n ? ? an ?1 n ?1 ? an ? a1 ? 用逐商叠乘法可求得an .

练2.已知数列 ?an ?的前n项和S n与第n项之间 S n ? an ? 1 满足2lg =lgS n +lg (1 ? an ), 求an . 2

? S n ? an ? 1 ? 解: lg ? ? ? ? lgS n ? lg (1 ? an ) ? lgS n (1 ? an ) 2 ? ? ? ? Sn ? (1 ? an )? ? 4 Sn (1 ? an ) ? ? ? ? Sn ? (1 ? an )? ? 0, ? Sn ? 1 ? an ? ?
2 2

2

方法一:

1 当n ? 1时,由a1 ? S1 ? 1 ? a1得a1 ? 2 当n ? 2时,由Sn ? 1 ? an (1)得 Sn?1 ? 1 ? an?1 (2) 由(1)(2)得 ? an 1 an ? ? an ? an?1 ? 2an ? an ?1 ? ? an?1 2

1 1 ? 数列 ?an ? 是以a1 ? 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 1 ?1? ? an ? ? ? ? 2 ? 2?
n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n

方法一:

?1? 由于当n ? 1时也满足an ? ? ? ? 2?

n

?1? ? ? 数列的通项公式是an ? ? ? (n ? N ) ? 2?

n

方法二
? an ? S n ? S n?1 ( n ? 2) ? S n ? 1 ? ( S n ? S n?1 ) 1 1 1 ? S n ? S n ?1 ? ? ( S n ? 1) ? ? S n ?1 ? 1? 2 2 2 1 ? 数列 ? S n ? 1? 是以S1 ? 1为首项, 为公比 2 的等比数列.

?1? ? S n ? 1 ? ( S1 ? 1) ? ? ? 2? ?1? ? ?? ? ? 2?
n n

n ?1

? 1 ?? 1 ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ?? 2 ?

n ?1

?1? ?1? ? S n ? 1 ? ? ? , 当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ? ? ? ? 2? ? 2? 1 又a1 ? S1 ? 适合此式, 2 ?1? ? an ? ? ? (n ? 1) ? 2?
n

n

练3: 解:(1)当n=1时,a1 ? S1 ? a13 由于a n ? 0, 所以a1 ? 1; 当n=2时,S 2 ? a13 ? a23 即a1 ? a2 ? a13 ? a23 , 将a1 ? 1代入上式,由于a n ? 0, 所以a2 ? 2. (2) ? S n ? a13 ? a23 ? ? ? an ?13 ? an3 ? S n 2 ? a13 ? a23 ? ? ? an ?13 ? an3 ? S n ?12 ? a13 ? a23 ? ? ? an ?13 ? S n 2 ? S n ?12 ? an3 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an )2 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ?1 )2 ? an 3

? ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an ?1) an ? an ? an 3 ? ? ? ? an ? 0 ? 2( a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? an ?1) an ? an 2 ? ? 2( a1 ? a2 ? ? ? an ? 2) an ?1 ? an ?12 ? ? an ? an ?1 ? an 2 ? an ?12 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? an ? an ?1 ? 0 ? an ? an ?1 ? 1 ? an ? n ? 数列 ?an ? 是以a1 ? 1为首项,1为公差的等差数列

注意:此题两次使用了退一标相减法


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