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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题03 函数与导数(学生版)

时间:2013-07-08


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2012 年高考试题分项解析数学(理科) 专题 03 函数与导数(学生版)
一、选择题: 1. (2012 年高考广东卷理科 4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x ? 1 C.y=(
1 2



)x

D.y=x+

1 x

4. (2012 年高考福建卷理科 7)设函数 D ( x ) ? ? A. D ( x ) 的值域为 { 0 ,1} C. D ( x ) 不是周期函数

?1, x 为有理数 ? 0 , x 为无理数

, 则下列结论错误的是 (



B. D ( x ) 是偶函数 D. D ( x ) 不是单调函数

5. (2012 年高考福建卷理科 10)函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义,若对任意 x 1 , x 2 ? [ a , b ] ,有
f( x1 ? x 2 2 ) ? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] ,则称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上具有性质 P 。设 f ( x ) 在[1,3]上具

有性质 P ,现给出如下命题: ① f ( x ) 在 [1, 3 ] 上的图像时连续不断的; ② f ( x ) 在 [1, 3 ] 上具有性质 P ; ③若 f ( x ) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x ) ? 1 , x ? [1, 3 ] ; ④
f(
2


)? 1 4





x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ? [1, 3 ]





x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 2

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] .

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其中真命题的序号是( A.①② B.①③

) C.②④ D.③④

7.(2012 年高考天津卷理科 4)函数 f ( x )= 2 + x ? 2 在区间 (0 ,1) 内的零点个数是(
x 3



(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

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9. (2012 年高考湖北卷理科 9)函数 f(x)= x c o s x 在区间[0,4]上的零点个数 为( A.4 B.5 C.6 D.7

2

)

10 . (2012 年高考山东卷理科 3)设 a>0 a≠1 ,则“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ”,是 “函数 g(x)=(2-a) x 在 R 上是增函数”的(
3



A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 11.(2012 年高考山东卷理科 8)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x< -1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x。则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012) =( ) (A)335(B)338(C)1678(D)2012 12.(2012 年高考山东卷理科 9)函数 的图像大致为( )

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13.(2012 年高考山东卷理科 12)设函数 f (x) =

, g (x) 2+bx =ax

若 y=f(x)

的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 ( ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0, y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0 14.(2012 年高考新课标全国卷理科 10)已知函数 f ( x ) ? 大致为( )
1 ln ( x ? 1) ? x

;则 y ? f ( x ) 的图像

15.(2012 年高考新课标全国卷理科 12)设点 P 在曲线 y ? 上,则 P Q 最小值为(
( A ) 1 ? ln 2 (B)

1 2

e 上,点 Q 在曲线 y ? ln ( 2 x )
x


2 (1 ? ln 2 )
( C ) 1 ? ln 2 (D )

2 (1 ? ln 2 )

17. (2012 年高考江西卷理科 3)若函数 f ( x ) ? ?

? x ? 1( x ? 1)
2

? lg x ( x ? 1)

,则 f ( f (1 0 )) =(



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A.lg101

B.b

C.1

D.0 )

18.(2012 年高考安徽卷理科 2)下列函数中,不满足: f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) 的是(
( A) f ( x) ? x (B) f (x) ? x ? x (C ) f ( x ) ? x ? ?

(D ) f (x) ? ? x

20. (2012 年高考陕西卷理科 2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x
3



(C) y ?
x

1 x

(D) y ? x | x | )

21. (2012 年高考陕西卷理科 7)设函数 f ( x ) ? xe ,则( (A) x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 (C) x ? ? 1 为 f ( x ) 的极大值点

(B) x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 (D) x ? ? 1 为 f ( x ) 的极小值点

2 3.(2012 年高考全国卷理科 9)已知 x ? ln ? , y ? lo g 5 2 , z ? e A. x ? y ? z B. z ? x ? y
3

?

1 2

,则(



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C. z ? y ? x

D. y ? z ? x

24.(2012 年高考全国卷理科 10)已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共 点, 则c ? ( ) A. ? 2 或 2

B. ? 9 或 3

C. ? 1 或 1

D. ? 3 或 1

25.(2012 年高考重庆卷理科 7)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, “ f ( x ) 则 为[0,1]上的增函数”是“ f ( x ) 为[3,4]上的减函数”的( )

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(A)既不充分也不必要的条件 (C)必要而不充分的条件

(B)充分而不必要的条件 (D)充要条件

二、填空题: 1. (2012 年高考广东卷理科 12)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 2. (2012 年高考江 苏卷 5) 函数 f ( x ) ? 1 ? 2 lo g 6 x 的定义域为 . 。

1] 3. (2012 年高考江苏卷 10)设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ ? 1 , 上,

? a x ? 1 ,? 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x) ? ? bx ? 2 其 中 a ,b ? R ,0 ≤ x ≤ 1 , ? ? x ?1

.若 f ?

?1? ?3? ? ? f ? ? ,则 a ? 3 b ?2? ?2?

的值为 ▲ .

5.(2012 年高考山东卷理科 15)设 a>0.若曲线 面积为 a,则 a=______。

与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的

? a ? ab , a ? b 6. (2 012 年高考福建卷理科 1 5)对于实数 a , b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ? 2 , ? b ? ab , a ? b
2

设 f ( x ) ? ( 2 x ? 1 ) ? ( x ? 1 ) ,且关于 x 的方程为 f ( x ) ? m ( m ? R ) 恰有三个互不相等的实 数根 x 1 , x 2 , x 3 ,则 x 1 x 2 x 3 的取值范围是__ _ __.

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9.(2012 年高考天津卷理科 14)已知函数 y = 个交点,则实数 k 的取值范围是

| x ? 1|
2

x ?1

的图象与函数 y = kx ? 2 的图象恰有两

.

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10.(2012 年高考上海卷理科 7)已知函数 f ( x ) ? e 上是增函数,则 a 的取值范围是 .

|x ? a|

( a 为常数).若 f ( x ) 在区间 [1, ?? )

11 . (2012 年 高 考 上 海 卷 理 科 9) 已 知 y ? f ( x ) ? x 是 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若
2

g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,则 g ( ? 1) ?

.

12.(2012 年高考上海卷理科 13)已知函数 y ? f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A ( 0 , 0 ) 、
B( 1 2 , 5 ) 、 C (1, 0 ) , 函 数 y ? xf ( x ) ( 0 ? x ? 1 ) 的 图 象 与 x 轴 围 成 的 图 形 的 面 积



.
1 2

13. (2012 年高考江西卷理科 11)计算定积分 ? ( x ? s in x ) d x ? ___________
?1

14. (2012 年高考陕西卷理科 14) 设函数 f ( x ) ? ?

? ln x ,

x ? 0 x ? 0

? ? 2 x ? 1,

, D 是由 x 轴和曲线

y ? f ( x ) 及该曲线在点 (1, 0 ) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值

为 三、解答题:



2.(2012 年高考江苏卷 18)(本小题满分 16 分) 已知 a,b 是实数,1 和 ? 1 是函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值;

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(2)设函数 g ( x ) 的导函数 g ? ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,求 g ( x ) 的极值点; (3)设 h ( x ) ? f ( f ( x )) ? c ,其中 c ? [ ? 2 ,2 ] ,求函数 y ? h ( x ) 的零点个数.

4. (2012 年高考湖北卷理科 22) (本小题满分 14 分) (I)已知函数 f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中 r 为有理数,且 0<r<1.求 f(x)的最小值; (II)试用(I)的结果证明如下命题: 设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2; (III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当 α 为正有理数时,有求道公式(x )r=α x
α α

-1

6.(2012 年高考上海卷理科 20)(6+8=14 分 )已知函数 f ( x ) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x ) ? f ( x ) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2) g ( x ) 是以 2 为周期的偶函数, 若 且当 0 ? x ? 1 时, g ( x ) ? f ( x ) , 有 求函数 y ? g ( x ) ( x ? [1, 2 ] )的反函数.

7 . (2012 年 高 考 浙 江 卷 理 科 22) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 a > 0 , b ? R , 函 数
f

? x?

? 4 ax ? 2bx ? a ? b
3



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(Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ)
f

? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

9.(2012 年高考辽宁卷理科 21) (本小题满分 12 分) 设 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? 直线 y ?
3 2

x ? 1 ? a x ? b ( a , b ? R , a , b 为 常 数 ) ,曲线 y ? f ( x ) 与

x 在(0,0)点相切。

(Ⅰ)求 a , b 的值。 (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ?
9x x?6



11.(2012 年高考天津卷理科 20)(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ? ln ( x ? a ) 的最小 值为 0 ,其中 a > 0 . (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+ ? ) ,有 f ( x ) ? kx 成立,求实数 k 的最小值;
2

(Ⅲ)证明: ?
i =1

n

2 2i ? 1

? ln (2 n +1)< 2 ( n ? N ) .
*

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13.(2012 年高考安徽卷理科 19)(本小题满分 13 分) 设 f ( x) ? ae ?
x

K]

1 ae
x

? b (a ? 0)

(I)求 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 的切线方程为 y ?
3 2 x ;求 a , b 的值。

15. (2012 年高考湖南卷理科 20)(本小题满分 13 分) 某企业接到生产 3000 台某产品的 A ,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的 数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或 C部件2件.该企 业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人 数与生产A部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
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(2) 假设这三种部件的生产同时开工, 试确定正整数 k 的值, 使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案.

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18.(2012 年高考全国卷理科 20)(本小 题满分 12 分)(注 意:在试题卷上作答无效) ......... 设函数 f ( x ) ? a x ? co s x , x ? [0, ? ] 。 (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)设 f ( x ) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围.

19. (2012 年高考重庆卷理科 16)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分.) 设 f ( x ) ? a ln x ? 直于 y 轴.
1 2x ? 3 2 x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂

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(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的极值.

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