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【优化指导】2015年高中数学 1.1.2弧度制课时跟踪检测 新人教A版必修4

时间:2015-12-23


【优化指导】 2015 年高中数学 1.1.2 弧度制课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4
难易度及题号 基础 1 5 8、10 中档 稍难

考查知识点及角度 “角度”与“弧度”的换算 弧度数的计算及运用 扇形面积公式、 弧长公式的运用 综合问题

2 3、4

6、7 9、11 12

1.下列转化结果错误的是( π A.60°化成弧度是 3 10 B.- π 化成度是-600° 3 7 C.-150°化成弧度是- π 6 D. π 化成度是 15° 12

)

π π 10 10 解析:对于 A,60°=60× = ;对于 B,- π =- ×180°=-600°;对于 C, 180 3 3 3 π 5 π 1 -150°=-150× =- π ;对于 D, = ×180°=15°,故选 C. 180 6 12 12 答案:C 3 2.已知半径为 1 的扇形面积为 π ,则扇形的圆心角为( 8 A. 3 π 16 3 B. π 8 3 D. π 2 )

3 C. π 4

1 3π 1 3π l 3π 解析:∵S= rl,∴ = l.∴l= .∴扇形圆心角度数为 = .故选 C. 2 8 2 4 r 4 答案:C 11 3.把- π 表示成 θ +2kπ (k∈Z)的形式,使|θ |最小的 θ 值是( 4 )
1

3π A.- 4 C. π 4

π B.- 4 D. 3π 4

11π 3π 11π 3π ? 3π ? 3π 解析: ∵- =-2π - , ∴- 与- 是终边相同的角, 且此时?- ?= 4 4 4 4 ? 4 ? 4 是最小的. 答案:A π 4.若 α =kπ + ,k∈Z,则 α 是第________象限角. 4 解析:当 k 为偶数时,α 是第一象限角,当 k 为奇数时,α 是第三象限角. 答案:一或三 1 5.圆的半径变为原来的 ,而弧长不变,该弧所对的圆心角是原来的________倍. 2

L 1 L 解析:∵L=r·θ ,∴θ = .∵半径变为原来的 ,弧长不变,∴圆心角变为 θ ′= = r 2 r 2
2· =2θ . 答案:2 6.已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积 最大?最大面积是多少? 解:设扇形的半径为 r.∵l=20-2r,∴0<r<10. 1 1 2 2 ∴S= lr= (20-2r)·r=-r +10r=-(r-5) +25. 2 2 ∴当半径 r=5 cm 时,扇形的面积最大为 25 cm .
2

L r

l 20-2×5 此时 α = = =2(rad). r 5

7.圆的半径是 6 cm,则圆心角为 15°的扇形面积是( A. π 2 cm 2
2

)

B.

3π 2 cm 2
2

C.π cm

D.3π cm

π π π 1 1 π 3π 2 解析:∵15°= ,∴l= ×6= (cm).∴S= lr= × ×6= (cm ). 12 12 2 2 2 2 2 答案:B 8.圆弧长度等于圆内接正三角形边长,则其所对圆心角的弧度数为( )
2

A.

π 3

B.

2π 3

C. 3

D.2 3 a a, 所以 a= 3r.因此 α = = 3. 3 r

解析: 设圆内接正三角形边长为 a, 则圆的半径 r= 答案:C 9π 9.与 终边相同的角的表达式中,正确的是( 4 A.2kπ +45°,k∈Z C.k·360°-315°,k∈Z

)

9π B.k·360°+ ,k∈Z 4 5π D.kπ + ,k∈Z 4

5π 解析:弧度和角度不能在同一个表达式中,故选项 A、B 错误.而 kπ + ,k∈Z 表示 4 的是一、三象限的角,故选 C. 答案:C 10.一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为 2 km,一列火车用 30 km/h 的速度通 过,10 s 间转过________弧度. 1 12 1 10 1 解析:10 s 间列车转过的扇形弧长 ×30= (km),转过的角 α = = (弧度). 3 600 12 2 24 答案: 1 24

11.已知 α =2 000°. (1)把 α 写成 2kπ +β (k∈Z,β ∈[0,2π ))的形式; (2)求 θ ,使得 θ 与 α 的终边相同,且 θ ∈(4π ,6π ). 10 解:(1)α =2 000°=5×360°+200°=10π + π . 9 10 (2)θ 与 α 的终边相同,故 θ =2kπ + π ,k∈Z, 9 10 46π 又 θ ∈(4π ,6π ),所以 k=2 时,θ =4π + π = . 9 9

12.如图,已知一长为 3 dm,宽为 1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻 滚到第三面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成 30°的角.求点 A 走过的路程的长及 走过的弧度所对扇形的总面积.

3

π 解:AA1 所对的圆半径是 2 dm,圆心角为 , 2

A1A2 所对的圆半径是 1 dm,圆心角是 , A2A3 所对的圆半径是 3 dm,圆心角是 ,
π π π 9+2 3 所以走过的路程是 3 段圆弧之和,即 2× +1× + 3× = π (dm); 2 2 3 6 3 段圆弧所对的扇形的总面积是 1 1 π 1 3π 7π 2 ×2×π + × + × 3× = (dm ). 2 2 2 2 3 4 π 3

π 2

本课时是在初中学习角度制的基础上学习的, 通过类比长度等具有不同的度量制, 在实 验观察、归纳总结后,导出弧度制的概念. 1.角度制与弧度制的互化 角度制与弧度制是角的两种不同的度量方法, 但不论用角度还是弧度, 任何一个角都有 唯一的一个实数与之对应,且在同一个问题中,通常选取一种度量单位,不能把角度制与弧 度制混用. 2.角度与弧度的互化关系的记忆方法 2π r 从圆周角入手可知圆周角为 360°,圆周长为 2π r,所对圆周角的弧数为 =2π ,

r

从而记住 2π rad=360°,此式两边除以 2π ,则 1 rad=? π 则 1°= rad. 180

?180?°,而此式两边同除以 360, ? ?π ?

进行角度制与弧度制的互化的关键依据是利用 180°=π rad. 3.弧长和扇形面积公式 与角度制下的弧长和扇形的面积公式比较,显然弧度制下的弧长和扇形面积公式更简 练,因此在遇到用角度表示的角时,一般化为弧度计算.

4


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