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2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(四十八) 直线、平面垂直的判定及其性质

时间:2013-12-16


课后作业(四十八) 直线、 平面垂直的判 定及其性质
一、选择题 1.α 、β、γ 为不同的平面,m,n,l 为不同的直线,则 m⊥β 的一个充分 条件是( ) A.n⊥α ,n⊥β,m⊥α B.α ∩γ =m,α⊥γ,β⊥γ C.α ⊥γ ,β⊥γ,m⊥α D.α ⊥β ,α∩β=l,m⊥l 2.(2013· 深圳模拟)设 a,b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面, 则下列四个命题中正确命题的个数是( ) ①若 a⊥b,a⊥α,b?α,则 b∥α;②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β; ③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a?α ;④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β. A.1 B.2 C.3 D.4

图 7-5-12 3.如图 7-5-12,PA⊥正方形 ABCD,下列结论中不正确的是( A.PB⊥BC B.PD⊥CD C.PD⊥BD D.PA⊥BD

)

图 7-5-13 4.如图 7-5-13 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两 1 个动点 E、F,且 EF=2,则下列结论中错误的是( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 5.如图 7-5-14 所示,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD= 45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三

棱锥 A—BCD.则在三棱锥 A—BCD 中,下列命题正确的是(

)

图 7-5-14 A.AD⊥平面 BCD B.AB⊥平面 BCD C.平面 BCD⊥平面 ABC D.平面 ADC⊥平面 ABC 二、填空题 6.(2012· 江苏高考)如图 7-5-15,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm3.

图 7-5-15

图 7-5-16 7.如图 7-5-16 所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面 各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可).

图 7-5-17 8.如图 7-5-17 所示,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是 圆 O 上的一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 三、解答题 9.(2012· 江苏高考)如图 7-5-18,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1= A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为

B1C1 的中点.

图 7-5-18

求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

图 7-5-19 10.(2013· 揭阳模拟)如图 7-5-19,在四棱锥 S—ABCD 中,平面 SAD⊥ 平面 ABCD.四边形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点,Q 为 SB 的中点. (1)求证:CD⊥平面 SAD; (2)求证:PQ∥平面 SCD; (3)若 SA=SD, 为 BC 的中点, M 在棱 SC 上是否存在点 N, 使得平面 DMN⊥ 平面 ABCD,并证明你的结论.

图 7-5-20 11.(2012· 浙江高考)如图 7-5-20,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2,AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明:①EF∥A1D1; ②BA1⊥平面 B1C1EF. (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

解析及答案
一、选择题 1. 【解析】 由 n⊥α,n⊥β 知 α∥β, 又 m⊥α, ∴m⊥β,但当 m⊥β 时,n⊥α,n⊥β 不一定成立,故选 A. 【答案】 A 2. 【解析】 由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确. 【答案】 D 3. 【解析】 由 CB⊥BA,CB⊥PA,PA∩BA=A,知 CB⊥平面 PAB,故 CB⊥PB,即 A 正确;同理 B 正确;由条件易知 D 正确,故选 C. 【答案】 C 4.

【解析】 连接 BD,则 AC⊥平面 BB1D1D,BD∥B1D1,从而 A、B、C 正 确. 因为点 A、B 到直线 B1D1 的距离不相等,所以△AEF 与△BEF 的面积不相 等. 【答案】 D 5. 解析】 在四边形 ABCD 中, 【 AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD =90°, ∴BD⊥CD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴CD⊥平面 ABD,∴CD⊥AB,

又 AD⊥AB, 故 AB⊥平面 ADC,从而平面 ABC⊥平面 ADC. 【答案】 D 二、填空题 6. 【解析】 关键是求出四棱锥 A-BB1D1D 的高. 连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中, ∵AB=AD=3,∴BD=3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, 1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A-BB1D1D 的高且 AO=2BD= 2 . ∵S 矩形 BB1D1D=BD×BB1=3 2×2=6 2, 1 1 3 2 ∴VA-BB1D1D=3S 矩形 BB1D1D·AO=3×6 2× 2 =6(cm3). 【答案】 6 7. 【解析】 由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC 时,即有 PC⊥平面 MBD,而 PC?平面 PCD. ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 【答案】 DM⊥PC(答案不唯一) 8. 【解析】 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, 又 AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC. 又 AE⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面 AEF.∴PB⊥EF. 故①②③正确. 【答案】 ①②③ 三、解答题 9. 【证明】 (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1, 且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD.

又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE. 10.

【证明】 (1)因为四边形 ABCD 为正方形,所以 CD⊥AD. 又平面 SAD⊥平面 ABCD,且平面 SAD∩平面 ABCD=AD, 所以 CD⊥平面 SAD. (2)取 SC 的中点 R,连接 QR,DR. 1 由题意知:PD∥BC 且 PD= BC. 2 在△SBC 中,Q 为 SB 的中点,R 为 SC 的中点, 1 所以 QR∥BC 且 QR=2BC. 所以 QR∥PD 且 QR=PD, 则四边形 PDRQ 为平行四边形,所以 PQ∥DR. 又 PQ?平面 SCD,DR?平面 SCD, 所以 PQ∥平面 SCD. (3)存在点 N 为 SC 的中点,使得平面 DMN⊥平面 ABCD. 连接 PC、DM 交于点 O,连接 PM、SP、NM、ND、NO, 因为 PD∥CM,且 PD=CM, 所以四边形 PMCD 为平行四边形,所以 PO=CO. 又因为 N 为 SC 的中点, 所以 NO∥SP.易知 SP⊥AD, 因为平面 SAD⊥平面 ABCD, 平面 SAD∩平面 ABCD=AD, 并且 SP⊥AD, 所以 SP⊥平面 ABCD, 所以 NO⊥平面 ABCD. 又因为 NO?平面 DMN,所以平面 DMN⊥平面 ABCD. 11. 【证明】 (1)①因为 C1B1∥A1D1,C1B1?平面 ADD1A1, 所以 C1B1∥平面 A1D1DA. 又因为平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF, 所以 C1B1∥EF, 所以 A1D1∥EF. ②因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1, 所以 BB1⊥B1C1. 又因为 B1C1⊥B1A1, 所以 B1C1⊥平面 ABB1A1,所以 B1C1⊥BA1. 2 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 2 ,即 ∠A1B1F=∠AA1B,故 BA1⊥B1F. 所以 BA1⊥平面 B1C1EF. (2)设 BA1 与 B1F 交点为 H,连接 C1H.

由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF, 所以∠BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 AA1B1B 中,AB= 2,AA1=2,得 BH= 在 Rt△BHC1 中,BC1=2 5,BH= BH 30 sin∠BC1H=BC = 15 . 1 30 所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 15 . 4 ,得 6 4 . 6


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