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2013备考各地试题解析分类汇编(二)文科数学:11统计与概率

时间:2013-04-15

各地解析分类汇编(二)系列:统计与概率
1.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】甲、乙两名运动员在某项测试中 的 6 次成绩的茎叶图如图 2 所示, x1 , x2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数,

s1 , s2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有
A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 【答案】C 【解析】由样本中数据可知 x1 ? 15 , x2 ? 15 ,由茎叶图得 s1 ? s2 ,所以选 C. 2.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】某同学学业水平考试的 9 科成绩如茎叶图 4 B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

所示,则根据茎叶图可知该同学的平均分为 【答案】80 【解析】 (68 ? 72 ? 73 ? 78 ? 2 ? 81 ? 89 ? 2 ? 92) ?



1 9

720 ? 80 . 9

3.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】某班级有 50 名学生,现要采取系统 抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 名学生随机编号 1—50 号, 并分组, 第一组 1—5 号,第二组 6—10 号,??,第十组 46—50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为___ 【答案】37 【解析】因为 12 ? 5 ? 2 ? 2 ,即第三组抽出的是第二个同学,所以每一组都相应抽出第二个 同学。所以第 8 组中抽出的号码为 5 ? 7 ? 2 ? 37 号。 4.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文】某高中共有学生 900 人,其中高一年 级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采用分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在 高三年级抽取的人数是 ______. 的学生.

【答案】20 【解析】高三的人数为 400 人,所以高三抽出的人数为

45 ? 400 ? 20 人。 900

5.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】某学校想要调查全校同 学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的 6 位华人的姓名,为此出了一份考卷。该卷 共有 6 个单选题,每题答对得 20 分,答错、不答得零分,满分 120 分。阅卷完毕后,校 方公布每题答对率如下:

则此次调查全体同学的平均分数是 【答案】66

分。

【解析】假设全校人数有 x 人,则每道试题答对人数及总分分别为 一 答对人数 每题得分 二 三 四 五 六

0.8x

0.7x

0.6x 12x
66 x ? 66 。 x

0.5x 10x

0.4x 8x

0.3x 6x

16x

14x

所以六个题的总分为 66x ,所以平均分为

6.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】某单位为了制定节能减排的目标, 先调查了用电量 y (度)与气温 x (℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气 温,并制作了对照表:

由表中数据,得线性回归方程 y ? ?2 x ? a ,则 a = 【答案】60 【解析】气温的平均值 x =



1 1 (18+13+10 ? 1)=10,用电量的平均值 y = (24+34+38+64)=40.因 4 4

为回归直线必经过点( x , y ),即 (10, 40) ,代入 y ? ?2 x ? a 得 40= ? 2×10+a,解得 a=60.

7.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】如下图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上任意一 点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

[来源:学科网]

(A)

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

【答案】C

【解析】由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为 P ? 以选 C.

S?ABE S ABCD

1 AB?BC 1 2 ? ? 所 AB?BC 2

8.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次 面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验,若第二次面向上的点数小于第 一次面向上的点数我们称其为后效实验,若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么 一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是( )

A.

1 2

B.

1 6

C.

1 12

D.

1 36

【答案】B 【解析】投掷该骰子两次共有 6 ? 6=36 中结果,两次向上的点数相同,有 6 种结果,所以投 掷该骰子两次后出现等效实验的概率是

6 ?1 1 = ,选 B. 6?6 6

9.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文】从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内 任取 2 个球,则恰有一个红球的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

5 6

【答案】C 【解析】从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?
1 1 C2C2 4 2 ? ? ,选 C. 2 C4 6 3

10. 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 【 在等边 ?ABC 的边 BC 上任取一点 P , 则 S?ABP ? A.

2 S?ABC 的概率是 3
B.

1 3

1 2

C.

2 3

D.

5 6

【答案】C

【 解 析 】 当 S?A B P?

2 S? 3

ABC

时,有

1 2 1 2 A B? P D ? ? A?B C, 即 P D ? C O 则 有 O , 2 3 2 3
, 则 点 P 在 线 段 BP 上 , 所 以 根 据 几 何 概 型 可 知

S?A B P ? S? 2 3 B P? B C 要 使 , 3

2

ABC

2 S?ABP ? S?ABC BP 2 3 ? ,选 C. 的概率是

BC

3

11.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考 文】如图,正方形 ABCD 中,点 P 在边 AD 上, 现有质地均匀的粒子散落在正方形 ABCD 内,则粒子落在△PBC 内的概率等于( A.
C



1 2
P

B.
D

2 3

C.

3 4

D.

4 5

A

B

【答案】A

1 AB ?BD S ?PAB 2 1 ? ? ,选 A. 【解析】根据几何概型可知粒子落在△PBC 内的概率等于 S ABDC AB ?BD 2
? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 12.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文】设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平 ? y ? ?2 ?

面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是 A.

4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

【答案】D 【解析】不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距离 等于 2,所以要使点 D 到直线的距离大于 2,则点 D 应在三角形 BCF 中。各点的坐标为

BC B(?2,,C(4,,D(?6, 2),E(4, 2),F (4, ,所以 DE ? 10,EF ? 5, ? 6, 0) 0) ? ? 3)

1 ? 6?3 S?BCF 9 2 CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为 P ? ? ? S?DEF 1 ?10 ? 5 25 , 选 D. 2

13.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】有 4 个兴趣小组,甲、乙两 位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同 一个兴趣小组的概率为 【答案】 .

1 4 4 1 ? 。 16 4

【解析】甲、乙两位同学各自参加其中一个小组共有 16 种,其中两位同学参加同一个兴趣小 组有 4 种,所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

14.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文】平行四边形 ABCD 中, E 为 CD 的 中点.若在平行四边形 ABCD 内部随机取一点 M ,则点 M 取自△ ABE 内部的概率为 ______. 【答案】

1 2

【解析】

,根据几何概型可知点 M 取自△ ABE 内部

的概率为 P ?

S ?ABE S? ABCD

1 AB?h 1 2 ? ? ,其中 h 为平行四边形底面的高。 AB?h 2

15.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】 (本小题满分 12 分)为了参加 2012 贵州

省高中篮球比赛, 某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出 12 人组成男子篮球队, 代表该地区参赛,四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表: 班级 人数 高三( 7 )班 12 高三( 17 )班 6 高二( 31 )班 9 高二( 32 )班 9

(Ⅰ)现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员,求应分别从这四个班抽出的队员人 数; (Ⅱ)该中学篮球队奋力拼搏,获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为 冠军的代表发言,求选出的两名队员来自同一班的概率. 【答案】 (Ⅰ)由题,应从高三( 7 )班中抽出 12 ? 应从高三(17)班中抽出 12 ? 应从高二(31)班中抽出 12 ? 应从高二(32)班中抽出 12 ?

12 ? 4 人, 36

6 ? 2 人, 36 9 ? 3 人, 36 9 ? 3 人.?????????????????? 4 ` 36

(II)记高三(7)班抽出的 4 人为 A1 、 A2 、 A3 、 A4 ,高三(17)班抽出的两人为 B1 、 B2 , 则从这 6 人中抽出 2 人的基本事件有: ( A1 , A2 ) 、 ( A1 , A3 ) 、 ( A1 , A4 ) 、 ( A1 , B1 ) 、 ( A1 , B2 ) 、

( ( ( ( ( ( A2 , A3 ) 、 A2 , A4 ) 、 A2 , B1 ) 、 A2 , B2 ) 、 A3 , A4 ) 、 A3 , B1 ) 、 A3 , B2 ) 、 A4 , B1 ) 、 A4 , B2 ) 、 ( ( (

( B1 , B2 ) 共 15 件, ····························· 7 `

[来源:学科网]

( ( 记 “抽出的 2 人来自同一班” 为事件 C, 则事件 C 含: A1 , A2 ) 、 A1 , A3 ) 、 A1 , A4 ) 、 A2 , A3 ) 、 ( ( ( A2 , A4 ) 、 ( A3 , A4 ) 、 ( B1 , B2 ) 共 7 件, ···················· 10?
故 P (C ) ?

7 ································ 12? 15

16.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】 (本小题满分 12 分) 某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程 度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: (1)求高三(1)班全体女生的人数; (2)求分数在 [80,90) 之间的女生人数;并计算频率分布直方图中 [80,90) 间的矩形的高; (3)若要从分数在 [80,100] 之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况,在抽取的试卷

中,求至少有一份分数在 [90,100] 之间的概率.

【答案】 1)解:设全班女生人数为 x , ( --------3 分 (2) 25-21=4 人,根据比例关系得 0.016 分

?

2 ? 0 . 0 0 ? 1? 8 0 x

0 . 0 8? x

?

25

------6

(3)设六个人编号为 1,2,3,4,5,6.所有可能根据列举法得 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)15 个基本事件,其中符合的是 (1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)9 个基本事件, 概率为

9 3 ? 15 5

-------12 分

17.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考 文】 (本小题满分 12 分)某高校从参加今年自 主招生考试的学生中抽取成绩排名在前 80 名的学生成绩进行统计,得频率分布表: (1)分别写出表中①、②处的数据; (2)高校 决定在第 6、7、8 组中用分层抽样的方法选 6 名学生进行心理测试,最后确定 两名学生给予奖励。规则如下: 若该获奖学生的第 6 组,给予奖励 1 千元; 若该获奖学生的第 7 组,给予奖励 2 千元; 若该获奖学生的第 8 组,给予奖励 3 千元; 测试前,高校假设每位学生通过测试获得奖励的可能性相同。求此次测试高校将要支付 的奖金总额为 4 千元的概率。

【答案】解: (1)①处填 14;②处填 0.125 (2)第 6、7、8 组共有 24 人,从中抽 6 人;所以分别抽取 3 人、2 人和 1 人。 设为 A1 , A2 , A3 ; B1 , B2 和 C ,穷举共有 15 种,有 4 种满足,顾所求概率为 P ?

4 。 15

18.【云南师大附中 201 3 届高三高考适应性月考卷(四)文】 (本小题满分 12 分)班主任统 计本班 50 名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图 5 所示条形图表示 .
人数(人) 20 15 10 5

(1)求该班学生每天在家学习时间的平均值;

0

1

2

3

4 时间(小时)

(2)假设学生每天在家学习时间为 18 时至 23 时,已知甲每天连续学习 2 小时,乙每天连续 学习 3 小时,求 22 时甲、乙都在学习的概率. 【答案】解: (Ⅰ)平均学习时间为
20 ?1+10 ? 2+10 ? 3+5 ? 4 =1.8(小时). ??????????????????? (6 分) 50

(Ⅱ)设甲开始学习的时刻为 x,乙开始学习的时刻为 y,试验的全部结果所构成的区域 为Ω ={(x,y)|18≤x≤21,18≤y≤20},面积 SΩ =3×2=6.事件 A 表示“22 时甲、乙都

Ω

在学习” ,所构成的区域为 A={(x,y)|20≤x≤21,19≤y≤20},面积为 SA=1×1=1,这是 一个几何概型,所以 P(A)=
SA 1 = .???????????(12 分) S 6

19.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】 (满分 12 分)以下茎叶 图记录了甲、乙两组 各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (II)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. 【答案】解:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; ??????????????3 分 4 4 1 35 2 35 2 35 2 11 2 . ?????????6 分 方差为 s ? [(8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) ] ? 4 4 4 4 16
所以平均数为 x ?

(Ⅱ)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11; 乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A1,B4) , , , , (A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(A2,B4) , , , , (A3,B1)(A2,B2)(A3,B3)(A1,B4) , , , , (A4,B1)(A4,B2)(A4,B3)(A4,B4) , , , , 用 C 表示: “选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们 是: 1,B4)(A2,B4)(A3,B2)(A4,B2) (A , , , ,故所求概率为 P (C ) ?

4 1 ? . ??12 分 16 4

20.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】 (本小题满 12 分)某日用品按行业 质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 1 2 3 4 5

频率

a

0.2

0.45

b

c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, 求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品 被取出的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的 概率. 【答案】 (1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ?????1 分

因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= 从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 c=0.1

3 =0.15???3 分 20

2 =0.1 20

?????4 分

?????6 分

( 2 ) 从 日 用 品 X 1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 中 任 取 两 件 , 所 有 可 能 结 果 (

X1

,

X2

),(

X1

,

X3

),(

X1

,

Y1

),(

X1

,

Y2

),

( X 2 , X 3 ),( X 2 , Y1 ),( X 2 , Y2 ),( X 3 , Y1 ), ( X 3 , Y2 ),( Y1 , Y2 )共 10 种, ?9 分 设事件 A 表示“从日用品 X 1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 中任取两件,其等级系数相等” ,则 A 包含 的基本事件为( X 1 , X 2 ),( X 1 , X 3 ),( X 1 , X 2 ),( Y1 , Y2 )共 4 个,???11 分 故所求的概率 P(A)=

4 =0.4 10

?????12 分

21.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 13 分) 为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重

50) 数据(单位:千克)全部介于 45 至 70 之间.将数据分成以 下 5 组:第 1 组 [ 45, ,第 2 55) 60) 65) 70] 组 [50, ,第 3 组 [55, ,第 4 组 [60, ,第 5 组 [65, ,得到如图所示的频率分布
直方图.现采用分层抽样的方法,从第 3,4,5 组中随机抽取 6 名学生做初检. (Ⅰ)求每组抽取的学生人数; (Ⅱ)若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检,求这 2 名学生不在同一组的概率.

【答案】 (Ⅰ)解:由频率分布直方图知,第 3 ,4 ,5 组的学生人数之比为 3 : 2 :1 . ???? 2分 所以,每组抽取的人数分别为: 第 3 组:

3 2 1 ? 6 ? 3 ;第 4 组: ? 6 ? 2 ;第 5 组: ? 6 ? 1 . 6 6 6
??????5 分

所以从 3 , 4 , 5 组应依次抽取 3 名学生, 2 名学生, 1 名学生.

(Ⅱ)解:记第 3 组的 3 位同学为 A , A2 , A3 ;第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ;第 5 组的1 位 1 同学为 C . 则从 6 位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为: ??????6 分

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, C),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C),( A3 , B1), ??????10 分 ( A3 , B2 ),( A3 , C),( B1, B2 ),( B1, C),( B2 , C) ,共15 种可能.
其中, ( A , B1 ),( A , B2 ),( A , C),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C), 1 1 1

( B1, C),( B2 , C) 这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求.
故所求概率为 P ?

??????12 分 ??????13 分

11 . 15

22.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题共 13 分) 一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1 ? 2 ? 3 ? 4 .现从盒子 中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到 数字 3 的概率. zxxk 【答案】 (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7 ”,任取三张卡片,三张卡 片上的数字全部可能的结果是 (1, 2, 3) , (1, 2, 4) , (1, 3, 4) , (2, 3, 4) . 其中数字之和大于 7 的是 (1, 3, 4) , (2, 3, 4) ,

所以 P( A) ?

1 . 2

??zxxk??6 分

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到 3 ”, 第一次抽 1 张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2 , 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4 , 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) ,共 16 个基本结果.

事件 B 包含的基本结果有 (1, 3) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 3) , 共 7 个基本结果. 所以所求事件的概率为 P( B) ?
7 . 16

???????13 分

23.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 13 分) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其 重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图(如右).

(Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品 的重量相对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概率.
2 2 【答案】 (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 ,

则 X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , 6 1 2 2 2 2 s甲 ? ??122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ? 6
2 2 2 ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?

????????1 分 ????????2 分

? 21 ,
1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? 6?

???????? 4 分

? ?1 1 5 1 1 ?? ? ? 3
2

1? 0 8 ?
2

?

1 1 3 ? ?1 0 9 ? ? ?
2

1 1 3

? 29.33 ,

??? ?????6 分

2 2 由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;????????7 分

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?,

?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109? .
?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
所以

??????9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ??????11 分

P ? A? ?

4 . 15

??????13 分

24.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩,甲组记录中有一个数据 模糊,无法确认,在图中以 X 表示. 甲组 6 X 8 乙组 7

4

1

9

0 0 3

(Ⅰ)如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样,求 X 及甲组同学数学成绩的方差; (Ⅱ)如果 X=7,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名,求这两名同学的数学成绩之和大 于 180 的 概 率 . ( 注 : 方 差 s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ... ? ( xn ? x) ], 其 中
2 2 2 2

1 n

x为x1, x2 ,..., xn的平均数. )
【答案】 绩为 90,
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

解: (I)乙组同学的平均 成绩为

87 ? 90 ? 90 ? 93 ? 90 ,甲组同学的平均成 4

所以 甲

80 ? X ? 86 ? 91 ? 94 ? 90, X ? 9. ?????????????2 分 4
组 同 学 数 学 成 绩 的 方 差 为

(86 ? 90)2 ? (89 ? 90)2 ? (91 ? 90) 2 ? (94 ? 90) 2 17 s甲2 = ? ????? 6 分 4 2
(II)设甲组成绩为 86,87,91,94 的同学分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , 乙组成绩为 87,90,90,93 的同学分别为 b1 , b2 , b3 , b4 , 则所有的事件构成的基本事件空间为:

{(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a1, b4 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ),(a2 , b4 ),(a3 , b1),(a3, b2 ), (a3 , b3 ),(a3 , b4 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(a4 , b3 ),(a4 , b4 )}. 共 16 个基本事件.
设事件 A ? “这两名同学的数学成绩之和大于 180”, 事件 A 包含的基本事件的空 则 间为{ (a3 , b2 ),(a3 , b3 )(a3 , b4 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(a4 , b3 ),(a4 , b4 )}. 共 7 个基本事件,

P ( A) ?

7 ????????????????????????????.13 分 16

25.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 13 分) 某汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各 50 辆, 分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 3 3 4 30 5 5 6 7
[来

7 5

源:Zxxk.Com

]

B 型车 出租天数 车辆数 3 10 4 10 5 15 6 10 7 5

(I) 试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只 需写出结果) ; (Ⅱ)现从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽 车是 A 型车的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据 所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由. 【答案】解: (I)由数据的离散程度可以看出,B 型车在本星期内出租天数的方差较大

??????3 分 (Ⅱ)这辆汽车是 A 类型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 3 3 ? ? 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 10 ? 3 13
这辆汽车是 A 类型车的概率为

3 13

??????7 分

(Ⅲ)50 辆 A 类型车出租的天数的平均数为

xA ?

3 ? 3 ? 4 ? 30 ? 5 ? 15 ? 6 ? 7 ? 7 ? 5 ? 4.62 50 3 ? 10 ? 4 ? 10 ? 5 ? 15 ? 6 ? 10 ? 7 ? 5 ? 4.8 50

??????9 分

50 辆 B 类型车出租的天数的平均数为

xB ?

??????11 分

答案一:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62,B 类车型一个星期 出租天数的平均值为 4.8,选择 B 类型的出租车的利润较大,应该购买 B 型车 ??????13 分 答案二:一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 4.62,B 类车型 一个星期 出 租 天 数 的 平 均 值 为 4.8 , 而 B 型 车 出 租 天 数 的 方 差 较 大 , 所 以 选 择 A 型 车 ??????13 分

26.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 13 分) 某中学举行了一次“环保知识竞赛” 全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成 , 绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题: 频率分布表
0.040

频率 组距

频率分布直方图

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计

频数 8

频率
x

0.16 ▓ 0.40 0.08

▓ ▓
0.008 y

a
20 ▓
源:学*科*网 Z*X*X*K] [来

2 ▓

b


50

60

70

80

90

100

成绩(分)

(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 广场参加环保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 【答案】解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 .???4 分 (Ⅱ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A, B, C , D ,第 5 组共有 2 人,记为 X , Y . 从 竞 赛 成 绩 是 80 分 以 上 ( 含 80 分 ) 的 同 学 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 有

AB, AC, AD, BC, BD, CD, AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY
共 15 种情况.????????????????????????????6 分 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E , ????7 分 有 AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY 共 9 种情况. ?????8 分

所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P ( E ) ? 答:随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率

9 3 ? . 15 5

3 . ?????10 分 5

(ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F ,有 AB ,AC , BC BD CD XY AD , , , , 共 7 种情况. ????????????????????????????11 分 所以 P ( F ) ?

7 15
7 . ????????????13 分 15

答:随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是


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