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高三年级理科数学寒假作业(1)

时间:2013-01-04

2012-2013 学年度神木中学高三年级寒假作业(1)

数 学(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的。

共 50 分)

一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 1.若复数 z ? ( x2 ? 2 x ? 3) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A.3 B.1 C.-3 D.1 或-3 )



1 ? x2 2.设 p ∶ ? 0 , q ∶ x2 ? x ? 6 ? 0 ,则 p 是 q 的( | x | ?2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5 2 3.设 f (x) 是定义在 R 上最小正周期为 ? 的函数,且在[ ? ? , ? ) 上 3 3

2? ? ?sin x, x ? [? ,0) 16? f ( x) ? ? ,则 f ( ? ) 的值为( 3 3 ?cos x, x ? [0, ? ) ?
A. ?



1 1 3 3 B. ? C. D. 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? o 4.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3 , a ? b ? 13 ,则 b =( )
5.设函数 y ? f ? x ? 的反函数为 y ? f 图像必过点( A. A. 5 B. 4
?1

? x? ,且 y ? f ?3x ?1? 的图像过点 ? 1 ,1? ,则 y ? f ?1 ?3x ?1? 的 3
C.

C. 3

D. 1

? 1 , 0? 3

) B.

?1, 1 ? 3

? 2 ,0? 3
2

D.

? 0,1?


6. an }为公比 q>1 的等比数列, a2009 和 a2010 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根, a2011 ? a2012 = 设{ 若 则 ( A.18 B.10 C.25 D.9

7.如图,圆 O : x2 ? y 2 ? ?2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分) ,随机往圆 O y 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的概率是( ) A.

4 ?2

B.

4 ?3

C.

2 ?2

D.

2 ?3

8.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x) ? A.1 B.2

a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点个数为( )
C.3 D.4

??

?

?

x

9.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线左支上任意一点,若 a2 b2

数学(理科)

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| PF2 | 2 的最小值为 8a ,则双曲线离心率 e 的取值范围是( | PF1 |
A. (1,??) 10.函数 y ? A.2 B. (0,3] C. (1,3]



D. (1,2] )

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于( 1? x
B.4 C.6 D.8

第Ⅱ卷(非选择题
二.
11. 右图中的三个直角三角形是一个体积 为 20cm 的几何体的三视图,则 h= 12.已知 2+
3

共 100 分)

填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上.

cm

2 2 3 3 =2· , 3+ =3· , 3 3 8 8

4+

a a 4 4 =4· ,…。若 8+ =8· t t 15 15

( a , t 均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a , t 的值,则 a ? t = 13. a ? ? m, , ? ?1 ? n 1? (其中 m n 为正数) ,若 a // b ,则 、 1? b ,

?

?

?

?

1 2 ? 的最小值是 m n

___

x?0 ? ? x? y 14 . 已 知 点 M ? x, y ? 满 足 条 件 ? ( k 为 常 数 ) 若 x ? 3 y 的 最 大 值 为 12 , 则 k = , ?2 x ? y ? k ? 0 ?
. 15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) (1)(不等式选讲)已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 5 ? a) ,当函数 f ( x ) 的定义域为 R 时,则实数 a . 的取值范围为____________ (2) .(几何证明选讲)如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB ,垂足为 D ,且 AD ? 5DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan ? 的值为 . ( 3 ) ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 圆 O1 和 圆 O2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 .

? ? 4cos? , ? ? ?4sin ? ,则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为

.

数学(理科)

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三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? 2sin x, 3 cos x , b ? ? sin x, 2sin x ? ,函数 f ? x ? ? a ? b (Ⅰ)求 f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? m对x ? [0,

?

?

?

?

? ?

?
2

] 都成立,求实数 m 的最大值.

17. (本小题满分 12 分) 已知正三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1,

M 是底面 BC 边上的中点,N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN =2 C1 N (Ⅰ)求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值; (Ⅱ) 求点 B1 到平面 AMN 的距离;

18. (本小题满分 12 分)
2 数列 {an } 各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,且满足 2a n S n ? a n ? 2 . 2 (Ⅰ)求证数列 { Sn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

2
4 4Sn

?1

, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,并求使 Tn ? (m 2 ? 3m)

1 6

对所有的 n ? N ? 都成立的最大正整数 m 的值.

数学(理科)

第 3 页(共 8 页)

19. (本小题满分 12 分)如图,已知曲线 C : y ?

1 在点 P ?1,1? 处的切线与 x 轴交于点 Q1 ,过点 Q1 作 x 轴 x

的垂线交曲线 C 于点 P1 ,曲线 C 在点 P1 处的切线与 x 轴交于点 Q2 ,过点 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点

P2 ,……,依次得到一系列点 P1 、 P2 、……、 Pn ,设点 Pn 的坐
标为 ? xn , yn ? ( n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 ?xn ? 的通项公式; (Ⅱ)求三角形 OPn Pn ?1 的面积 S ?OPn Pn ?1 (Ⅲ)设直线 OP 的斜率为 k n ,求数列 {nkn } 的前 n 项和 S n , n 并证明 S n ?

4 . 9

20. (本小题满分 13 分) 已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2 与曲线 E 交于 A, B 两点, (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)如果 AB ? 6 3 ,且曲线 E 上存在点 C ,使 OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和 ?ABC 的面积 S.

?

? ?

???? ???? ? 2, 0 , 满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E , 直线 y ? kx ? 1

?

??? ??? ? ?

??? ?

21. (本小题 14 分)已知函数

f ? x ? ? ( x2 ? bx ? c)ex 在点 P ? 0, f ? 0?? 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 b, c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若方程 f ( x ) =m 恰有两个不等的实根,求 m 的取值范围.

数学(理科)

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参考答案(寒假作业第一套)
一.CBABC 二.11.4

ABDCD
12. 71 13.
5

4

14. -9

(2) 2 (3) x ? y ? 2 ? 0 三. (16、17、18、19 每题 12 分,20 题 14 分,21 题 13 分) 15. (1) a<4 16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x

? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? ? 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? ( k ? Z ) , 2 6 2 ? ? 得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ). 6 3 ? ? 所以 f (x) 的单调增区间是 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ). 6 3 ? ? ? 5? . (Ⅱ)因为 0 ? x ? , 所以 ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 2 6 ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? [0,3]. 所以 m ? 0 ,m 的最大值为 0. 6 17、解(Ⅰ)因为 M 是底面 BC 边上的中点,所以 AM ? BC ,又 AM ? CC1 ,故 AM ? 面BCC1B1 , 从而 AM ? B1M , AM ? NM ,则 ?B1MN 为二面角 B1 ? AM ? N 的平面角。
又 B1 M = B1 B 2 ? BM 2 ?

5 5 10 ,在 ?B1 MN 中,由余弦定理得 ,MN ? ,连接 B1 N,得B1 N = 2 6 3
5

5 cos ?B1 MN ? 5 ,故所求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值为 5 (Ⅱ)过 B1 在面 BCC1 B1 内作直线 B1 H ? MN , H 为垂足,又 AM ? 面BCC1 B1 ,所以 B1 H ? AM ,





B1 H ? 平面AMN





B1 H





B1







AMN









在 Rt?B1 HM 中, B1H = B1M cos ?B1MN =1,即 B1 到平面 AMN 的距离为 1.
2 18.解: (Ⅰ)∵ 2an Sn ? an ? 1 ,∴当 n≥2 时, 2( Sn ? Sn?1 ) Sn ? ( Sn ? Sn?1 )2 ? 1 , 2 2 2 整理得, Sn ? Sn?1 ? 1 (n≥2)(2 分)又 S1 ? 1 , , 2 ∴数列 { S n } 为首项和公差都是 1 的等差数列. 2 ∴ Sn ? n ,又 S n ? 0 ,∴ Sn ? n

(3 分) (4 分) (5 分)

∴n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ? 1 ,又 a1 ? S1 ? 1 适合此式
数学(理科) 第 5 页(共 8 页)

∴数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? n ? 1 (Ⅱ)∵ bn ? ∴ Tn ?

(7 分) (8 分)

2
4 4Sn

?1

?

2 1 1 ? ? ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)
(10 分)

1 1 1 1 1 1 2n =1? ? ? ? ?? ? ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 1 2 ∴ Tn ? ,依题意有 ? (m ? 3m) ,解得 ? 1 ? m ? 4 , 3 3 6 故所求最大正整数 m 的值为 3 (12 分) ? 1?
19. 解: (Ⅰ)由 y ? ∴曲线 C : y ?

1 1 求导得 y? ? ? 2 , x x

1 在点 P ?1,1? 处的切线方程为 y ?1 ? ? ? x ?1? ,即 y ? ? x ? 2 .此切线与 x 轴的交点 x

1 ? 1? Q1 的坐标为 ? 2, 0 ? ,∴点 P1 的坐标为 ? 2, ? .即 x1 ? 2, y1 ? . ---1 分 2 ? 2?
∵点 P 的坐标为 ? xn , yn ? ( n ? N* ) P 在曲线 C 上,所以 yn ? , n n

1 , xn

∴曲线 C : y ?

1 1 1 ? ? 2 ? x ? xn ? ,--3 分 在点 P ? xn , yn ? 处的切线方程为 y ? n xn xn x

令 y ? 0 ,得点 Qn?1 的横坐标为 xn?1 ? 2 xn . ∴数列 ?xn ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ xn ? 2n ( n ? N ) .
*

----4 分

(Ⅱ)∵ S ?OPn Qn

?

1 1 1 1 1 1 ? 2 n ? n ? ; S ?OPn ?1Qn ?1 ? ? 2 n ?1 ? n ?1 ? , 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 3 ( n ? n ?1 )( 2n ?1 ? 2n ) ? ? n ?1 ? 2n ? . 2 2 2 2 2 4 1 3 1 3 ∴ S ?OPn Pn ?1 ? S ?OPnQn ? S PnQnQn ?1Pn ?1 ? S ?OPn ?1Qn ?1 ? ? ? ? .---8 分 2 4 2 4 1 ?0 n 1 (Ⅲ)因为 Pn ( xn , y n ) ,所以 k n ? 2 n ? n ,所以数列 {nkn } 的前 n 项和 S n 的前 n 项和为 2 ?0 4 1 1 2 1 n S n ? ? 2 ? ( ) ? . . ? n ? ( ) ①,---9 分 . 4 4 4 S Pn Qn Qn?1 Pn?1 ?

数学(理科)

第 6 页(共 8 页)

1 1 1 1 1 1 S n ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? 3 ? ( ) 4 .. ? ( n ? 1) ? ( ) n ? n( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ①-②得 S n ? ? ( ) ? ( ) ? ... ? ( ) ? n ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 3n ? 4 1 n ? ? [1 ? ( ) n ] ? n ? ( ) n ?1 ? ? ?( ) . 3 4 4 3 12 4 4 3n ? 4 1 n 4 ? ( ) ,? S n ? .----12 分 ? Sn ? ? 9 9 4 9

②,

20、解: (Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左支,且

?

c ? 2, a ? 1 ,易知 b ? 1 ,故曲线 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 1? x ? 0?
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?

? y ? kx ? 1 2 2 ,消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kx ? 2 ? 0 2 2 ?x ? y ? 1
解得 ? 2 ? k ? ?1 .



已知直线与双曲线左支交于 A, B 两点,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8(1 ? k )>0 ? ? 2k ? x1 ? x 2 ? <0 1? k 2 ? ?2 ? x1 x 2 ? >0 ? 1? k 2 ?

2 2 (Ⅱ)∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 = 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2

2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
2 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2 2 2



依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0

2 ∴k ?

5 5 2 或 k ? , 但 ? 2 ? k ? ?1 7 4

∴ k ??

5 5 , 故 直 线 AB 的 方 程 为 x ? y ?1 ? 0 设 2 2

??? ??? ? ? ??? ? C ? x0 , y0 ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1, y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mx0 , my0 ?
∴ ( x0 , y 0 ) ? (

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) , ? m ? 0? m m

2k 2 2 2k x1 ? x2 ? 2 ? ?4 5 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 ?2? 2 ?8 k ?1 k ?1 k ?1
80 64 ? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? ,将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 2 ? 2 ? 1 得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得 ? m m? m m ? ?
的点在双曲线的右支上,不合题意

数学(理科)

第 7 页(共 8 页)

∴ m ? 4 , C 点的坐标为 ? 5, 2 , C 到 AB 的距离为

?

?

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 ? 2 ?
2

?

?

?

1 3

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 2 3

3

, m?4.

21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? [ x2 ? (b ? 2) x ? b ? c] ? e x ∵ f ( x ) 在点 P 0, f ? 0? 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . ∴?

?

?

? f ?(0) ? ?2 ?b ? c ? ?2 ?b ? ?3 ? ?? ?? ? c ?1 ? f (0) ? 1 ? c ?1 ?
2 x x

(Ⅱ)由(1)知: f ? x ? ? ( x2 ? 3x ? 1) ? ex , f ?( x) ? ( x ? x ? 2) ? e ? ( x ? 2)( x ? 1) ? e

x

(??, ?1)
+

?1
0 极大值

(?1, 2)


2 0 极小值

(2, ??)
+

f ?( x )
f ( x)

∴ f ( x ) 的单调递增区间是: (??, ?1) 和 (2, ??) ,

f ( x) 的单调递减区间是: (?1, 2)
(Ⅲ)由(2)知: f ( x) max ? f (?1) ?

5 , f ( x)min ? f (2) ? ?e2 ; e

但当 x ??? 时, f ( x) ? ?? ;又当 x<0 时,恒有 f ( x) ? 0 ,
2 则当且仅当 m ? ?e , 0? ? ? ? 时,方程 f ( x ) =m 恰有两个不等的实根。 ? e

?

?5 ? ? ?

数学(理科)

第 8 页(共 8 页)


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