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对一道高考题的多角度探究 (3)

时间:2017-02-06


对一道高考题的多角度探究
卢玉才 江苏省太仓高级中学 18915775582 luyucai4@hotmail.com 解析几何是用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题,通过解决代数问题和分析代数结果的 几何含义,最终解决几何问题,这是解析几何的核心思想.新课标的教学要求也指出要让“学生感受用解析法研究问题的一般 程序,帮助学生不断地体会数形结合思想” .2010 年江苏高考试题的第 18 题就体现了这样的核心思想和新课标的教学要求.原 题如下:如图(1),在平面直角坐标系中,已知椭圆方程

x2 x2 ? ? 1 的左右顶点分别为 A, B ,右焦点为 F ,设过 T ?t, m? 的 9 5

直线 TA, TB 分别交椭圆于 M ? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? ,其中 m ? 0 , y1 ? 0 , y2 ? 0 . (1) 设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

1 ,求点 T 的坐标; 3 (3) 设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上一个定点.
(2) 设 x1 ? 2 , x2 ? 下面我们从三个方面对该试题展开讨论. 一、 试题的探源

高考试题的源泉非常丰富,有的来自于高等数学,有的取 改编于初高中的一些习题或竞赛题. 分析 2010 年江苏高考数 常的习题, 通过对它们的变式、 迁移、 整合、 扩展、 综合而成.江 外,它由平面几何一个问题改编而成,其模型为: 如图 (2) 所示, AB 为圆 O 的直径,M 为圆上异于 A, B 上的一点, 过 S 作 ST ? AS 交 AM 的延长线于 T , 连接 TB 并

自教材的例、习题,也有的 学,许多试题源于课本或平 苏卷 2010 年第 18 题也不例

的一点,S 为 AB 延长线 延长交圆 O 与 N ,连接

MN 交 AB 于 P ,求证:

AB AS ? BS ? . PB BS

证明: 如图( 3 ) ,连接 AN , BM ,则 ?AMB ?

?
2

, 设

?BAM ? ?
??NMB ? ?


, 又

?NAB ? ? ,则 BM ? AB sin ? .又 A, N , B, M 四点共圆,

?ABN ?

?
2

??



??BPM ?
, ? PB ?

?
2

?? ? ?



?

PB ? sin ?

MB ?? ? sin ? ? ? ? ? ? ?2 ?
TS

AB sin ? sin ? cos ?? ? ? ?

. 又

?SBT ? ?ABN ?

?
2

??

, 而

T ? S

tA a ? Sn ,

? BS ?

?? ? tan ? ? ? ? ?2 ?

? AS tan ? tan ?



?

BS AS cos ?? ? ? ? ? PB AB cos ? cos ?



?

BS AS AS ? ? tan ? tan ? PB AB AB



?

BS AS BS AS ? BS AB AS ? BS ? ? ? ? 即 . PB AB AB AB PB BS AS ? BS AB 当 T 在直线 ST 上变化时, 为定值,则 比为定值, MN 与 AB 的交点为定点.高考试题中将平面几何模型中 AB PB

的圆变式为椭圆,要证明结论仍然成立.试题变式的过程提醒我们在高中数学的教育教学和高三复习中,要重视数学不同分支 间知识和方法的合理迁移,探求问题的源头与本质,这样做有利于我们提升认知水平,拓宽解题思路. 二、 解法的探究 本题是江苏卷解答题第四题(共六道解答题),考查直线和椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系。仔细分析该试题我们发

现第(1)(2)问,能力要求不高,大多数考生都应该能完成,故第(1)(2)问的解下面从略,但第(3)问对考生的分析问 题能力、 代数运算能力有较高的要求. 大部分考生想用点 T 的坐标表示直线 MN 的方程, 由于运算量大而最终没有完成计算. 由 于题设中要证明直线 MN 与 x 轴的交点为定点,因此我们可以先计算特殊情形即 MN 垂直于 x 轴时 MN 与 x 轴的交点 D ,而当 直线 MN 与 x 轴不垂直时,则可以利用斜率相等来证明 M , N , D 三点共线. 解法 1:(1)点 P 的轨迹为 x ? (2)点 T 的坐标为 ? 7,

9 ,解略; 2

? 10 ? ? ,解略; ? 3?

m ? y1 ? ? x1 ? 3? ? m m ? 12 (3)由题设得直线 AT 的方程为 y ? ,消去 ? x ? 3? ,直线 BT 的方程为 y ? ? x ? 3? ,点 M ? x1, y1 ? 满足 ? 2 2 12 6 ? x1 ? y1 ? 1 ? 5 ?9

y1 得
x2 ?

? x1 ? 3?? x1 ? 3? ? ? m2 ? x1 ? 3?
9 12 5

2

, ? x1 ? 3 ? 0 , ? x 1 ?3 ? ?

6m 2 240 ? 3m2 40m ? x ? , , y1 ? ,同理, 1 2 2 80 ? m2 80 ? m 80 ? m

3m 2 ? 60 20m , y1 ? ? . 2 20 ? m2 20 ? m

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,此时直线 MN : x ? 1 ,过 D ?1,0? ;

若 x1 ? x2 , 则 kMD

40m 20m ? 2 10m 20 ? m2 ? 10m , , 综上,MN ? kMD ? kND ,M , N , D 三点共线, ? 80 ? m2 ? k ? ND 240 ? 3m 3m2 ? 60 40 ? m2 40 ? m2 ?1 ?1 80 ? m2 20 ? m2

过定点 D ?1,0? . 在上面的解法中,我们利用 M , N 在直线和椭圆上得到 M , N 的坐标所满足的方程,解出 M , N 的坐标(用 m 表示),从特 殊情形得到定点 D 的坐标,再由三点的坐标得到斜率相等完成定点的证明.我们换个角度思考, MN 与 x 轴交点坐标可以用

M , N 的坐标的表示,要证明该点为定点,也就是要证明 M , N 两个点的坐标满足一个恒等式,我们能否找到这个恒等式呢?
解 法 2 :设 MN 与

x 轴 的 交 点为 D , 由 A, M , T 三 点 共线 有

y ? x ? 3? 1 y1 y2 t t , 同理 ? ? ,? 1 2 ? ,整理得 x1 ? 3 12 x2 ? 3 6 y2 ? x1 ? 3? 2

2x2 y1 ? 6 y1 ? x1 y2 ? 3 y2①, 又
?

x12 y12 y 3 ? x1 5 3 ? x1 t 9 3t 3 ? x2 t 9 3t ? ?1 , 1 ? , 同理有 , ? ,? ? ? ? ? ? ? 9 5 x1 ? 3 y1 9 y1 12 5 20 y2 6 5 10

y2 ? 3 ? x1 ? 1 ? ,整理得 2x1 y2 ? 6 y2 ? x2 y1 ? 3 y1 ②,①-②得 x2 y1 ? x1 y2 ? y1 ? y2 , y1 ? 3 ? x2 ? 2

若 x1 ? x2 ,则 y1 ? y2 ,? x1 ? x2 ? 1 , MN 过点 D ?1,0? ; 若 x1 ? x2 , 则 kMN ?

y1 ? y 2 y ? y2 x y ? x1 y2 MN 过定点 D ?1,0? . , 直线 MN : y ? y1 ? 1 令 y ? 0 得 xD ? 2 1 综上, ? 1. ? x ? x1 ? , x1 ? x2 x1 ? x2 y1 ? y2

在 解 法 2 中 , 我 们 利 用 A, M , T 、 B, N , T 三 点 共 线 得 到 M , N 的 坐 标 满 足 的 关 系 式 , 消 去 t 后 得 到 一 个 恒 等 式 其坐标满足椭圆方程, 这也是一个恒等式, 利用它的变式将 2x2 y1 ? 6 y1 ? x1 y2 ? 3 y2 . M , N 在椭圆上,

y1 y t t ? 、 2 ? x1 ? 3 12 x2 ? 3 6

变形为

3 ? x1 3t 3 ? x2 3t 及 , 消 去 t 又 可 以 得 到 2x1 y2 ? 6 y2 ? x2 y1 , ?3 y ? ? 1 依据所得到的两个恒等式得到 y1 20 y2 10

y1 x2 ? y2 x1 ? y1 ? y2 ,直线 MN 过定点 D(1, 0) .
仔细分析试题的条件,我们发现 A, B, M , N 四个点既在椭圆上,也在直线 AT , BT 上,那么能否利用过 A, B, M , N 四个点 的二次曲线系来讨论呢? 解法 3 :由题设知:直线 AT 的方程为 y ?

x?

12 y ?3 , 直 线 m

BT

m m ? x ? 3? ,直线 BT 的方程为 y ? ? x ? 3? .? m ? 0 , ? 直线 AT 的方程为 12 6 6y ? 3 , 过 A, B, M , 四 的 方 程 为 x? N 点 的 曲 线 可 以 设 为 m
, 其 中

x2 y 2 6y ? ? 12 ?? ? ? 1 ? ? ? x ? y ? 3 ?? x ? ? 3? ? 0 9 5 m m ? ?? ? ?

??R





AB

的 直 线 方 程 为

y?0 ,

x2 y 2 6y ? 1 ? 12 ?? ? ? 1 ? ? ? x ? y ? 3 ?? x ? ? 3 ? ? y ? px ? qy ? r ? ,其中 px ? qy ? r ? 0 为直线 MN 的方程,? ? ? ? ,? MN 9 9 5 m m ? ?? ?

的方程为 px ? qy ? r ? ?

2 ?1 8 ? ? 2 ? y ? ? x ? 1? ? 0 ,直线 MN 过定点 ?1,0 ? . m ?5 m ?
x2 y 2 6y ? ? 12 ?? ? ? 1 ? ? ? x ? y ? 3 ?? x ? ? 3 ? ? 0 ,如果该二 9 5 m m ? ?? ?
1 ,因式分解后就可以得到 9

在解法 3 中,过 A, B, N , M 四个点的一些二次曲线系可以表示

次曲线可以表示退化的二次曲线即直线 AB 和直线 MN ,那么等式的左边应该不含 x 2 ,所以 ? ? ?

MN 的方程,从其形式上可以判断出定点为 D ?1,0? .
三、 问题的推广 从上面几种解法中,我们发现对于给定的椭圆, t ? 9 决定了定点的形式.是否 t 取其他值时, MN 与 x 轴的交点还是定值 吗?如果椭圆换为双曲线,是不是也有类似的结论?通过研究,我们可以得到下面的推广: 推广 1:已知 A, B 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点为 A, B , T ?t, m? ( t ? ? a , m ? 0 )为直线 x ? t ?t ? 0? 上的任 a 2 b2

? a2 ? ,0? . 意一点,直线 TA, TB 分别与椭圆交于 M , N 两点,求证:直线 MN 必过 x 轴上一个定点 D ? ? t ?
m m ? x ? a ? ,直线 BT 的方程为 y ? ? x ? a? , t?a t?a t?a t?a y ? a , 直 线 BT 的 方 程 为 x ? y ? a , 过 A, B, M , N四 点 的 曲 线 可 以 设 为 ? 直 线 AT 的 方 程 为 x ? m m
证明:由题设知:直线 AT 的方程为 y ?

x2 y 2 t ?a t ?a ? ?? ? ? 2 ?1 ? ? ? x ? y ? a ?? x ? y ? a ? ? 0 , 其 中 ? ? R , 而 AB 的 直 线 方 程 为 y ? 0 , 2 a b m m ? ?? ? ? x2 y 2 t?a t ?a 1 ? ?? ? ? 2 ?1 ? ? ? x ? y ? a ?? x ? y ? a ? ? y ? px ? qy ? r ? ,其中 px ? qy ? r ? 0 为直线 MN 的方程,? ? ? ? 2 , 2 a a b m m ? ?? ?

? a2 ? ? 1 t 2 ? a2 ? 2t ? a2 ? ? MN : px ? qy ? r ? ? 2 ? 2 ? y ? 2 ? x ? ? ? 0 ,直线 MN 过定点 ? , 0 ? . am ? a ? t ? ? t ? ? mb

x2 y 2 推广 2:已知 A, B 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右顶点为 A, B , T 为直线 x ? t 上的任意一点,直线 TA, TB 分别与双 a b

曲线交于 M , N 两点,求证:直线 MN 必过 x 轴上一个定点 D ? 证明:同理可证,证明略.

? a2 ? ,0? . ? t ?

在推广 1 中,定直线和长轴垂直;推广 2 中,定直线和实轴垂直,如果定直线为一般直线,是否也有类似的性质呢? 推广 3: 如图 (4) , 椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 直线 l1 : px ? qy ? r ? 0 , 直线 l2 与椭圆的两个交点为 A, B , l2 : b2qx ? a2 py , a 2 b2

点 T ?t, m? 为直线 l1 上的任意一点,直线 TA, TB 分别与椭圆交于 M , N 两点,则直线 MN 与直线 l2 交于定点.

?1 ?x ? ?x '? ? a 证明: 在坐标平面 xoy 上引入线性变换 T : ? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? y '? ? 0 ? ?

? 0? ?x ? ,椭圆 E 变换为圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l1 变 ? ? ? ,如图(5) 1 ? ? y? b? ?
? t m? , ? , T ' 在直线 l1' 上,直线 ?a b ?

' 换为 l1' : apx ? bqy ? r ? 0 ,直线 l2 变换为 l2 : bqx ? apy ? 0 , l1' , l2' 交于点 S ' ,点 T 变换为 T ' ?

l2 与椭圆的两个交点为 A, B 对应变换为 l2' 与圆的两个交点为 A ', B ' ,直线 TA, TB与椭圆的交点 M , N 对应变换为直线
T ' A ', T ' B ' 与 圆 交 于 M ', N ' 两 点 , 设 M ' N ' 与 直 线 l2' 的 交 点 为 P ' , 由 试 题 探 源 中 的 平 面 几 何 问 题 可 以 知 道

A' B ' A' S ' ? B ' S ' AB A' B ' AS ? BS A' S ' ? B ' S ' AB AS ? BS ? T ? ? ? ' ', ? , 为线性变换, ,? ,即直线 MN 与直线 l2 交 ? ' ' ' ' ' ' PB BS PB BS PB P B BS BS
于定点.


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