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导数应用:用放缩法证明恒成立问题

时间:2018-06-29


导数应用
用放缩的方法证明恒成立问题
x 1、已知函数 f ?x ? ? me ? ln x ? 1 .

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 ? 1,f ?1??处的切线方程; (Ⅱ)当 m ? 1 时,证明: f ?x ? ? 1 . 【答案】(Ⅰ) y ? ?e ? 1? x (Ⅱ)证明见解析. 试题分析:(Ⅰ)先代入 m ? 1 ,对 f ?x ? 求导数,再算出 f ? ?1? , f ?1? ,进而可得曲线 y ? f ?x ? 在点 1, f ?1?

?

?

x 处的切线方程;(Ⅱ)先构造函数 g ?x ? ? e ? ln x ? 2 ,再利用导数可得 g ?x ? 的最小值,,进而可证当 m ? 1 时

, f ?x ? ? 1 . 试题解析:(Ⅰ)解:当 m ? 1 时, f ( x) ? e x ? ln x ? 1 , 所以 f ?( x) ? e x ?

1 . x

所以 f (1) ? e ? 1 , f ?(1) ? e ? 1 . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ? 1,f ?1??处的切线方程为 y ? (e ? 1) ? (e ? 1)( x ? 1) . 即 y ? ?e ? 1? x . (Ⅱ)证法一:当 m ? 1 时, f ( x) ? me x ? ln x ? 1 ? e x ? ln x ? 1 .(放缩) 要证明 f ( x) ? 1 ,只需证明 e x ? ln x ? 2 ? 0 . 以下给出三种思路证明 e x ? ln x ? 2 ? 0 . 思路1:设 g ( x) ? e x ? ln x ? 2 ,则 g ?( x) ? e x ? 设 h( x ) ? e x ?

1 . x

1 1 ,则 h?( x) ? e x ? 2 ? 0 , x x 1 (,) 0 +? 上单调递增 所以函数 h( x) ? g ?( x) ? e x ? 在 x

?1? 因为 g ? ? ? ? e 2 ? 2 ? 0 , g ?(1) ? e ? 1 ? 0 , ?2?
所以函数 g ?( x) ? e x ?

1

1 ?1 ? (,) 0 +? 上有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? ,1? 在 x ?2 ?

1

因为 g ?( x0 ) ? 0 时,所以 e x0 ?

1 ,即 ln x0 ? ? x0 x0

当 x ? ?0, x0 ? 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ?x0 , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 所以当 x ? x0 时, g ( x) 取得最小值 g ?x0 ?. 故 g ( x) ? g ?x0 ? = e x0 ? ln x0 ? 2 ? 综上可知,当 m ? 1 时, f ?x ? ? 1 . 思路2:先证明 e x ? x ? 1 ?x ? R ? .
x x 设 h ?x ? ? e ? x ? 1 ,则 h? ?x ? ? e ? 1 .

1 ? x0 ? 2 ? 0 . x0

因为当 x ? 0 时, h? ?x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, h? ?x ? ? 0 , 所以当 x ? 0 时,函数 h ?x ? 单调递减,当 x ? 0 时,函数 h ?x ? 单调递增. 所以 h ?x ? ? h ?0 ? ? 0 . 所以 e x ? x ? 1 (当且仅当 x ? 0 时取等号). 所以要证明 e x ? ln x ? 2 ? 0 , 只需证明 ?x ? 1? ? ln x ? 2 ? 0 . 下面证明 x ? ln x ? 1 ? 0 . 设 p ?x ? ? x ? ln x ? 1 ,则 p? ?x ? ? 1 ?
1 x ?1 . ? x x

当 0 ? x ? 1 时, p? ?x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, p? ?x ? ? 0 , 所以当 0 ? x ? 1 时,函数 p ?x ? 单调递减,当 x ? 1 时,函数 p ?x ? 单调递增. 所以 p ?x ? ? p ?1? ? 0 . 所以 x ? ln x ? 1 ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取等号). 由于取等号的条件不同, 所以 e x ? ln x ? 2 ? 0 . 综上可知,当 m ? 1 时, f ?x ? ? 1 . 证法二:因为 f ( x) ? me x ? ln x ? 1 , 要证明 f ?x ? ? 1 ,只需证明 me x ? ln x ? 2 ? 0 .

2

以下给出两种思路证明 me x ? ln x ? 2 ? 0 . 思路1:设 g ( x) ? me x ? ln x ? 2 ,则 g ?( x) ? me x ? 设 h( x) ? me x ?

1 . x

1 1 ,则 h?( x) ? me x ? 2 ? 0 . x x 1 +? ?上单调递增. 所以函数 h ?x ? ? g ? ?x ? ? me x ? 在 ?0, x
1 ? 21m ? ? 1 ? 2m ? 因为 g ? ? ? me ? 2m ? m ? e ? 2 ? ? 0 , g ? ?1? ? me ? 1 ? 0 , ? 2m ? ? ?

所以函数 g ?( x) ? me x ?

1 ? 1 ? ,1? . +? ?上有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? 在 ?0, x ? 2m ?

因为 g ? ?x0 ? ? 0 ,所以 me x0 ?

1 ,即 ln x0 ? ? x0 ? ln m . x0

当 x ? ?0, x0 ? 时, g ? ?x ? ? 0 ;当 x ? ?x0 , ?? ? 时, g ? ?x ? ? 0 . 所以当 x ? x0 时, g ?x ? 取得最小值 g ?x0 ?. 故 g ?x ? ? g ?x0 ? ? me x0 ? ln x0 ? 2 ? 综上可知,当 m ? 1 时, f ?x ? ? 1 . 思路2:先证明 e x ? x ? 1 ( x ? R ) ,且 ln x ? x ? 1 ( x ? 0) . 设 F ( x) ? e x ? x ? 1 ,则 F ?( x) ? e x ? 1 . 因为当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , 所以 F ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增. 所以当 x ? 0 时, F ( x) 取得最小值 F (0) ? 0 . 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 e x ? x ? 1 (当且仅当 x ? 0 时取等号). 由 e x ? x ? 1 ( x ? R ) ,得 e x ?1 ? x (当且仅当 x ? 1 时取等号). 所以 ln x ? x ? 1 ( x ? 0) (当且仅当 x ? 1 时取等号). 再证明 me x ? ln x ? 2 ? 0 . 因为 x ? 0 , m ? 1 ,且 e x ? x ? 1 与 ln x ? x ? 1 不同时取等号, 所以 me x ? ln x ? 2 ? m ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? 2 ? ?m ? 1??x ? 1? ? 0 .
3

1 ? x0 ? ln m ? 2 ? 0 . x0

综上可知,当 m ? 1 时, f ?x ? ? 1 . 考点:1、导数的几何意义;2、利用导数研究函数的单调性;3、利用导数研究函数的最值;4、不等式的证明. 2、设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ?

a ( a ? 0 ). x ?1

1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 30 1 a (Ⅱ)当 a ? , x ? (1,??) 时,求证: ln x ? ? 1. 2 x ?1 5 6 5 6 【答案】(Ⅰ)函数单调增区间为: (0, ) , ( ,??) ,单调减区间为: ( ,1) , (1, ) ;(Ⅱ)证明见解析. 6 5 6 5
试题分析:(Ⅰ)求出函数 f ?x ? 的导函数,根据 f ?( x) ? 0 ,对应的是函数的单调递增区间; f ?( x) ? 0 ,对应的 是函数的单调递减区间;(Ⅱ)若证 ln x ?

a 1 a ? 1 , (a ? , x ? 1) 成立,只需证 ln x ? ? ln x x ?1 2 x ?1

?

1 ? 1 ,即 2( x ? 1) ln x ? 1 ? 2( x ? 1) 当 x ? 1 时成立.构造函数 g ?x ? ? 2 ?x ? 1?ln x ? 2( x ? 1) ? 1 2( x ? 1)

( x ? 1) ,只需要 g ?x ?min ? 0 ?x ? 1? .

5 6 ( x ? )( x ? ) 1 6 5 , 试题解析:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1,??) ,当 a ? 时, f ?( x) ? 30 x( x ? 1) 2
令: f ?( x) ? 0 ,得: x ?

6 5 5 6 或 x ? ,所以函数单调增区间为: (0, ) , ( ,??) 5 6 6 5 5 6 5 6 f ?( x) ? 0 ,得: ? x ? ,所以函数单调减区间为: ( ,1) , (1, ) 6 5 6 5

(Ⅱ)若证 ln x ?

a 1 a 1 ? ln x ? ?1 ? 1 , (a ? , x ? 1) 成立,只需证: ln x ? x ?1 2( x ? 1) x ?1 2 (放缩)

即: 2( x ? 1) ln x ? 1 ? 2( x ? 1) 当 x ? 1 时成立 设 g ?x ? ? 2 ?x ? 1?ln x ? 2( x ? 1) ? 1( x ? 1) ∴ g ??x ? ? 2(ln x ? ) ,显然 g ?( x) 在 (1,??) 内是增函数 且 g ?(1) ? ?2 ? 0 , g ?(2) ? 2(ln 2 ? ) ? 0 ∴ g ?( x) =0在(1,2)内有唯一零点 x 0 ,使得: ln x 0 ? 且当 x ? (1, x 0 ), g ?( x) <0; 当 x ? ( x 0 ,+ ? ), g ?( x) >0. ∴ g ( x) 在(1, x 0 )递减,在( x 0 ,+ ? )递增
4

1 x

1 2

1 ? 0, x0

? 1 ? 1 ? ? 1 g ( x) min ? g ( x0 ) ? 2?x0 ? 1??ln x0 ? 1?? 1 = 2?x0 ? 1?? ?x ? ? 1 = 5 ? 2( x0 ? x ) 0 ? 0 ?
∵ x0 ? ? 1,2 ?∴ 2 ? x0 ? ∴ g ( x) min ? 0 ∴ ln x ?

1 5 ? x0 2
a ? 1 成立 x ?1

考点:利用导函数求单调区间,函数不等式的证明.

5


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