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数学建模)生物种群模型_图文

时间:2019-01-08

生物种群模型
朱建青
(苏州科技学院信息与计算科学系)

生物种群模型
一、两种群模型

二、种群的相互竞争模型 三、捕食者与被捕食者模型
四、三种群模型

一、两种群模型
设x(t)、y(t)分别表示两种群在t时刻的 数量或密度,建立模型时考虑各自的相对增长率 1 dx 1 dy , x dt y dt 需要考虑到种内自身的发展规律和种间相互作用 的影响两个方面,故常用的形式为 1 dx ? f1 ( x, y ) x dt 或 1 dy ? f 2 ( x, y ) y dt

伏特拉(V.Volterra)模型
dx ? x(a1 ? b1 x ? c1 y ) dt dy ? y (a2 ? b2 x ? c2 y ) dt a1 , a2 分别为种群x、y的固有增长率,其正负 其中, 由它们各自的食物来源而确定,例如当x种群的食物 是y种群以外的自然资源时, a1 ? 0 ;而x种群仅以y 种群的生物为食时,a1 ? 0 。b1 x, c2 y 反映的是各种群 内部的密度制约因素,即种内竞争,故b1 ? 0, c2 ? 0 。

b2 , c1的正负要根据这两种群之间相互作用的 形式而定,一般分为以下三种情况。
1. 相互竞争型:两种群或者互相残杀,或者竞争 同一种食物资源,各自的存在对对方不利,故

c1 ? 0, b2 ? 0 ; 2. 互惠共存型:即两种群的存在,都对对方有利, 对对方的数量起增长促进作用,则 。 3. 捕食与被捕食型:即种群 y 以种群 x 为食物来源, c 1 ? 0, b2 ? 0 这时种群x的存在对种群y的增长有利,而y对x不利, 故 。 c1 ? 0, b2 ? 0

二、种群的相互竞争模型
根据上面的分析,相互竞争模型的一般形式为
dx ? x(a1 ? b1 x ? c1 y ) dt dy ? y (a2 ? b2 x ? c2 y ) dt

其中参数 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 全是正数,

具体分析:
x、y遵从Logistic规律,r1 , r2 是它们的固有增 长率,k1 , k 2 是它们的最大容量,于是 dx x ? r1 x(1 ? ) dt k1 dx x y ? ? r1 x(1 ? ? ? 1 ) dt k1 k2

k1 而言)消 供养x的食物量为单位数量x(相对 ?1 耗的供养x的食物量的 倍。(竞争能力)

? 1 的意义:单位数量y(相对 k 2 而言)消耗的

类似地,可得 dy x y ? r2 y (1 ? ? 2 ? ) dt k1 k2
从而得相互竞争模型
dx x y ? r1 x(1 ? ? ? 1 ) dt k1 k2 dy x y ? r2 y (1 ? ? 2 ? ) dt k1 k2

稳定性分析:
由微分方程的稳定性理论,方程组的平衡点 x y r1 x(1 ? ? ? 1 ) ? 0 k1 k2 x y r2 y (1 ? ? 2 ? ) ? 0 k1 k 2
求解可得

P 1 ( k1 ,0),

P2 (0, k2 ),

P4 (0,0)

k1 (1 ? ? 1 ) k2 (1 ? ? 2 ) P3 ( , ) 1 ? ? 1? 2 1 ? ? 1? 2

平衡点稳定性的判断,结果如图所示

三、捕食者与被捕食者模型
处于同一自然环境中的种群有一种有趣的生存 方式:种群甲靠丰富的天然资源生长,而种群乙则 靠掠食甲为生。如地中海里的食用鱼与鲨鱼,加拿 大森林中的美洲兔与山猫,阿尔卑斯山中的落叶松 与芽虫等都是这种生存方式的典型,生态学上称种 群 甲 为 食 饵 ( Prey), 称 种 群 乙 为 捕 食 者 (Predator),二者共处组成食饵-捕食者系统(简 称P-P系统)。20世纪初以来一些生态学家、数学家 对这个系统的数学模型和它的解的性质的研究,一 直保持着浓厚的兴趣。

历史背景
一次世界大战期间地中海某港口捕获鲨鱼的比例

伏特拉模型
食饵x和捕食者y遵从Malthus规律 dx dx ? r1 x ? ? x(r1 ? ?1 y) dt dt 其中 ?1 反映捕食者掠取食饵的能力。 dy dy ? ?r2 y ? ? y(?r2 ? ?2 x) dt dt 其中 ?2 反映食饵对捕食者的供养能力。 dx ? x(r1 ? ?1 y ) 伏特拉模型 dt ?1 , ?2 , r1 , r2 ? 0 dy ? y(?r2 ? ?2 x) dt

模型分析
平衡点
O(0,0), r2 r1 R( , )

?2 ?1

按照判断平衡点稳定性的方法,发现不能

判断平衡点R是否稳定,下面用分析相轨线的方
法来解决这个问题。

相轨线 积分得

dy y ( ? r2 ? ?2 x) ? dx x( r1 ? ?1 y )
? r2 ln x ? ?2 x ? r1 ln y ? ?1 y ? c1
*

x y * 改写成 ?2 ( x ? x ) ? r2 ln * ? ?1 ( y ? y ) ? r1 ln * ? c x y x y * * 记 F ( x, y ) ? ?2 ( x ? x ) ? r2 ln * ? ?1 ( y ? y ) ? r1 ln * x y r2 * r1 * * * x ? , y ? ( x , y )?R 其中 ?2 ?1

F ( x, y) 是第一象限的正定函数,且 k ? 0 时
* * F ( x, y) ? k 是包围点 R( x , y ) 的闭轨线。

闭轨线对应着方程的周期解

x(t ), y(t ) ,

记周期为T,周期解增减性由闭轨线的方向决定。 可以看出,食饵 x(t ) 的变化比捕食者 y (t ) 提前了 T
4



一周期T内的平均值作为食饵和捕食者数量 的近似度量,即



x?

?

?2

r2

,y?

?

?1

r1

这表明食饵和捕食者在平衡点R的值正好代表了 它们的(平均)数量。

模型解释

x?

?

?2

r2

,y?

?

?1

r1

从 x、y 的值可以看到,食饵的数量取决于模 型的两个参数 r2 和λ2,而捕食者的数量取决于 模型的另两个参数 r1 和λ1。当食饵的自然增长 率 r1下降时,捕食者的数量将减少,这就是说, 在弱肉强食情况下降低弱者的繁殖率可以使强者 减少,而当捕食者掠取食饵的能力λ1 提高时也 会使捕食者减少。另一方面,捕食者死亡率 r2的 下降,或者食饵对捕食者供养能力λ2 的提高, 都将导致食饵的减少。

现回答开头提出问题,在上述结果的基础上考
虑人工捕获的影响。设表示捕获能力的系数为 h1 ,

x1 ? ? , y1 ? ? 2 1 战争时期捕获能力的下降 h2 , h2 ? h1 ? r2 ? r2 ? h
r2 ? h2
?

r1 ? r1 ? h

?

r2 ? h1

?

r1 ? h1

x2 ? ? 2

?

r1 ? h2 得 x1 ? x2 , y1 ? y2 , y2 ?

?

?

?

?

?1

x、y遵从Logistic规律
dx x y ? r1 x(1 ? ? ? 1 ) dt k1 k2 dy x y ? r2 y (?1 ? ? 2 ? ) dt k1 k 2

四、三种群模型
三种群相互作用的情况要比二种群作用的情

况复杂,但建立模型的规律基本上相同,既要考
虑种内的增长,也要考虑种间的相互作用。建立 模型时,考虑各种群的相对增长率,然后假设线 性的相互作用关系,就可得三种群相互作用的伏 特拉模型。设 x(t)、y(t)、z(t)分别表示 t

时刻三种群的数量,则一般形式的伏特拉模型

伏特拉模型

其中参数

aij 的符号要根据所考察的种群的相互作

用关系而定,每两个种群之间相互作用的基本关系
有:捕食与被捕食者、寄生物与寄主、竞争及互惠 共存等。由于三种群的两两关系不同的各种组合, 就产生许多不同类型的数学模型。

为了叙述方便,用下列符号来表示种群之间的关系。

例 1 三种群的关系如右图 所示,建立其伏特拉模型。



aij ? 0

i ? 1,2,3; j ? 1,2,3

例2 捕食链如右 图所示,建立其伏 特拉模型。 解 数学模型为

例3 三种群竞争且各自 受密度制约,如右图所示, 建立其伏特拉模型。 解 数学模型


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