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2017年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题34直线及其方程Word版含解析

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1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2.掌握确定直线位置的几何要素。 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关 系。
热点题型一 直线的倾斜角与斜率
例 1、(1)直线 2xcosα-y-3=0??α∈??π6,π3????的倾斜角的变化范围是( ) A.??π6,3π?? B.??π4,π3?? C.??π4,π2?? D.??π4,23π??
(2)已知直线 l 过点 P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线 l 的斜率的取值范围是________。

∴直线 l 的斜率的取值范围是??-∞,-12??∪5,+∞)。
方法二:设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0。 ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上, ∴(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0, 即(k-5)(4k+2)≥0,∴k≥5 或 k≤-12。 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是
??-∞,-21??∪5,+∞)。
【提分秘籍】 已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 (1)求出斜率 k 的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为 90°)。 (2)利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围。 【举一反三】

直线 xsinα-y+1=0 的倾斜角的变化范围是( )
A.??0,π2?? B.(0,π) C.??-π4,π4?? D.??0,π4??∪??34π,π??
【解析】直线 x·sinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα, 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,
∴当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是??0,π4??; 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是??34π,π??。故选 D。
【答案】D 热点题型二 直线的方程 例 2、根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 1100; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12。
(2)由题设知截距不为 0,设直线方程为ax+12-y a=1, 又因为直线过点(-3,4), 所以-a3+124-a=1,解得 a=-4 或 a=9。 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0。 【提分秘籍】 求直线方程时的注意点 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件。 (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用。 【举一反三】

已知直线 l 过点(1,2),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍,则直线 l 的方程为( )

A.x+2y-5=0

B.x+2y+5=0

C.2x-y=0 或 x+2y-5=0 D.2x-y=0 或 x-2y+3=0

【解析】当直线在两坐标轴上的截距都为 0 时,设直线 l 的方程为:y=kx,把(1,2)代入方

程,得 2=k,即 k=2,所以直线的方程为:2x-y=0;当直线在两坐标轴上的截距都不为 0 时,设直线的方程为:2xb+by=1,把点(1,2)代入方程,得21b+2b=1,即 b=52,所以直线的方 程为:x+2y-5=0。

【答案】C

热点题型三 直线方程的综合应用

例 3.已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标

原点。求:

(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程;

(2)当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程。

(2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0, 直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),
则 A??1-1k,0??,B(0,1-k), 所以|MA|2+|MB|2=??1-1+1k??2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+k12≥2+2 k2·k12=4,
当且仅当 k2=k12,即 k=-1 时,|MA|2+|MB|2 取得最小值 4,此时直线 l 的方程为 x+y-2 =0。
【提分秘籍】 (1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过两条定直线交点的直线 系,即能够看出“动中有定”。

(2)求解与直线方程有关的最值问题,先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等 式求解最值。
【举一反三】 过 P(2,1)作直线 l,分别交 x 轴、y 轴正半轴于 A,B 两点,O 为坐标原点。 (1)当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线 l 的方程。 【解析】过 P 的直线 l 与 x,y 轴正半轴相交, ∴直线 l 的斜率 k 一定存在且小于零, ∴直线 l 的方程可设为 y-1=k(x-2)。
则 A??2-1k,0??,B(0,1-2k)。
(2)|PA|·|PB|= ??1k??2+1· 22+ k 2
= k42+4k2+8≥ 8+8=4。 当且仅当k42=4k2 即 k2=1 时取等号。 又∵k<0,∴k=-1,∴l 的方程为 x+y-3=0。

1.【2016 高考新课标 2 文数】已知 A 是椭圆 E : x2 ? y2 ? 1的左顶点,斜率为 k ?k>0?
43 的直线交 E 与 A , M 两点,点 N 在 E 上,
MA ? NA . (Ⅰ)当 AM ? AN 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 AM ? AN 时,证明: 3 ? k ? 2 .
? ? 【答案】(Ⅰ) 144 ;(Ⅱ) 3 2, 2 . 49

12

12

解得 y ? 0或 y ?

7

y1 ?
,所以

7

.

因此 ?AMN

的面积 S?AMN

?

2? 1 ?12 ?12 27 7

? 144 49

.

(Ⅱ)将直线 AM

的方程

y

? k(x ? 2)(k

? 0) 代入

x2 4

?

y2 3

?1


(3 ? 4k 2 )x2 ?16k 2x ?16k 2 ?12 ? 0 .



x1

? (?2)

?

16k 2 ?12 3 ? 4k 2



x1

?

2(3 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2

|
,故

AM

|?|

x1

?

2

|

1? k2

?

12 3

1? k ? 4k 2

2

.

由题设,直线 AN 的方程为

y

? ? 1 (x ? 2)

|

k

,故同理可得

AN

|?

12k 3k

1? k 2 +4

2

.

2

k

由 2 | AM |?| AN | 得 3 ? 4k 2 ? 3k 2 +4 ,即 4k3 ? 6k 2 ? 3k ? 8 ? 0 .

设 f (t) ? 4t3 ? 6t2 ? 3t ? 8 ,则是 f (t) 的零点, f ?(t) ? 12t2 ?12t ? 3 ? 3(2t ?1)2 ? 0 ,

所以 f (t) 在 (0, ??) 单调递增.又 f ( 3) ? 15 3 ? 26 ? 0, f (2) ? 6 ? 0 ,因此 f (t) 在 (0, ??)

有唯一的零点,且零点在 ( 3, 2) 内,所以 3 ? k ? 2 . 20.2016 高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线 C : y2 ? 2x 的焦点为 F ,平行于轴的两条直线

l1, l2 分别交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR FQ ;

(II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) y2 ? x ?1.

(Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故1? ab ? 0 .

记 AR 的斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k2 ,则

k1

? a?b 1? a2

?

a?b a2 ? ab

?

1 a

?

? ab a

? ?b

?

k2 .

所以 AR∥ FQ .

(Ⅱ)设与轴的交点为 D(x1,0) ,

则 S△ABF

? 1 b?a 2

FD

? 1 b?a 2

x1

?

1 2

, S△PQF

?

a?b 2

.

由题设可得 1 2

b?a

x1

?

1 2

?

a?b 2

,所以 x1

? 0 (舍去), x1

?1.

设满足条件的 AB 的中点为 E(x, y) .



AB 与轴不垂直时,由

k AB

?

kDE

可得

a

2 ?

b

?

x

y (x ?1

?

1)

.

而 a ? b ? y ,所以 y2 ? x ?1(x ? 1) . 2

当 AB 与轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y2 ? x ?1.

2.【2016 高考山东文数】(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2. (I)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是 线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B.
(i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值.

【答案】(Ⅰ) x2 ? y2 ? 1.(Ⅱ)(i)见解析;(ii)直线 AB 的斜率的最小值为

6
.

42

2

(Ⅱ)(ⅰ)设 P(x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) ,

由 M(0,m),可得 P(x0 , 2m),Q(x0, ?2m).

2m ? m m

k?

?

所以直线 PM 的斜率

x0

x0 ,

k? ? ?2m ? m ? ? 3m

直线 QM 的斜率

x0

x0 .

k? ? ?3

此时 k

.

k? 所以 k 为定值–3.

整理得 (2k 2 ?1)x2 ? 4mkx ? 2m2 ? 4 ? 0 .



x0 x1

?

2m2 2k 2

?4 ?1

,可得

x1

?

2(m2 ? 2) (2k 2 ?1)x0



2k(m2 ? 2)

所以

y1

?

kx1

?

m

?

(2k 2

? 1) x0

?

m
.

同理

x2

?

2(m2 ? 2) (18k 2 ?1)x0

,

y2

?

?6k(m2 ? 2) (18k 2 ?1)x0

?

m
.

所以

x2

? x1

?

2(m2 ? 2) (18k 2 ?1)x0

?

2(m2 ? 2) (2k 2 ?1)x0

?

?32k 2(m2 ? 2) (18k 2 ?1)(2k 2 ?1)x0



y2

?

y1

?

?6k(m2 ? 2) (18k2 ?1)x0

?

m?

2(m2 ? 2) (2k 2 ?1)x0

?

m

?

?8k(6k 2 ?1)(m2 ? 2) (18k2 ?1)(2k2 ?1)x0



kAB
所以

?

y2 x2

? ?

y1 x1

?

6k 2 ?1 4k

?

1 (6k 4

?

1 ). k

由 m ? 0, x0 ? 0 ,可知 k>0,

6k ? 1 ? 2 6

k? 6

所以 k

,等号当且仅当 6 时取得.

此时

m? 4 ? 8m2

6

6

m?
,即

14 7 ,符号题意.

6 所以直线 AB 的斜率的最小值为 2 .

3.【2016

高考天津文数】(设椭圆

x2 a2

?

y2 3

?1(a

?

3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,

已知 1 ? 1 ? 3e ,其中 O 为原点,为椭圆的离心率. | OF | | OA | | FA |

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点 A 的直线与椭圆交于点 B( B 不在轴上),垂直于的直线与交于点 M ,与 y

轴交于点 H ,若 BF ? HF ,且 ?MOA? ?MAO,求直线的斜率.

【答案】(Ⅰ) x2 ? y2 ? 1(Ⅱ) ? 6

43

4

(Ⅱ)解:设直线 l 的斜率为 k(k ? 0) ,则直线的方程为 y ? k(x ? 2) ,

设 B(xB ,

yB )

? x2

,由方程组

? ?

4

?

y2 3

? 1,

消去 y ,

?? y ? k(x ? 2)

整理得

(4k

2

?

3) x 2

?16k

2x

? 16k

2

?12

?

0 ,解得

x

?

2

,或

x

?

8k 2 4k 2

? ?

6 3



由题意得

xB

?

8k 2 4k 2

?6 ?3

,从而

yB

?

?12k 4k 2 ? 3



由(Ⅰ)知,

F (1, 0)

,设

H

(0,

yH

)

,有

FH

?

(?1,

yH

)



BF

?

9 ? 4k 2 ( 4k 2 ? 3

,

12k 4k 2 ?

) 3





BF

?

HF

,得

BF

? FH

?

0

,所以

4k 2 4k 2

?9 ?3

?

12kyH 4k2 ? 3

?

0,

解得

yH

?

9 ? 4k 2 12k

,因此直线 MH

的方程为

y

?

?

1 k

x?

9 ? 4k 2 12k



? y ? k(x ? 2),



M

( xM

,

yM

)

,由方程组

? ? ??

y

?

?

1 k

x

?

9

? 4k 12k

2

消去 y ,解得 xM

? 20k 2 12(k 2

?9 ? 1)



在△MAO 中, ?MOA ? ?MAO ? | MA |?| MO | ,

即 (xM

? 2)2

?

yM2

?

xM2

?

yM2

,化简得 xM

?

1

,即

20k 12(k

2 2

?9 ? 1)

?1,

解得 k ? ? 6 或 k ? 6 ,

4

4

所以,直线的斜率为 ?

6或

6
.

44

1.(2014·福建卷) 已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,

则 l 的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y=2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 【答案】D

2.(2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与

圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点.

(1)求 M 的轨迹方程;

(2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

【解析】解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,

所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

设 M(x,y),则 CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).

由题设知 CM·MP=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM.

因为 ON 的斜率为 3,所以直线 l 的斜率为-13, 故 l 的方程为 y=-13x+83.
又|OM|=|OP|=2 2,O 到直线 l 的距离为4 510, 故|PM|=4 510,所以△POM 的面积为156. 3.(2014·重庆卷) 如图 1-5,设椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点

D 在椭圆上,DF1⊥F1F2,||FD1FF12||=2

2,△DF1F2

的面积为

2 2.

(1)求该椭圆的标准方程.

(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交

点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明

理由.

图 1-5
(2)如图所示,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22+y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两 个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知, x2=-x1,y1=y2.
由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F→1P1=(x1+1,y1),F→2P2=(-x1-1,y1).再由 F1P1⊥F2P2 得-(x1+1)2+y21=0.
由椭圆方程得 1-x221=(x1+1)2,即 3x21+4x1=0,解得 x1=-43或 x1=0. 当 x1=0 时,P1,P2 重合,题设要求的圆不存在.

4.(2014·安徽高考)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜

角的取值范围是( )

A.??0,π6?? C.??0,6π??

B.??0,3π?? D.??0,π3??

【解析】选 D 法一:如图,过点 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A,B.由题意知 OP=2,

OA=1,则 sin α=12,所以 α=30°,∠BPA=60°.故直线 l 的倾斜角的取值范围是??0,π3??.选 D.

法二:设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ 3)-1,则由直线和圆有公共点知| 31k+-k12|≤1,解 得 0≤k≤ 3.
故直线 l 的倾斜角的取值范围是??0,π3??.

1.直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( )

A.??0,π4??

B.??34π,π??

C.??0,4π??∪??π2,π?? D.??π4,π2??∪??34π,π??

【解析】斜率 k=-a2+1 1,故 k∈-1, 0),由正切函数图象知倾斜角 α∈??34π,π??。

【答案】B

2.设 A(-2,3)、B(3,2),若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 有交点,则 a 的取值范围是( )
A.??-∞,-25??∪??43,+∞?? B.??-43,52?? C.??-52,43?? D.??-∞,-34??∪??52,+∞??

【答案】D 3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是( )

A

B

C

D

【解析】当 a>0 时,直线 y=ax 的倾斜角为锐角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a>0, A、B、C、D 都不成立;
当 a=0 时,直线 y=ax 的倾斜角为 0°,A、B、C、D 都不成立; 当 a<0 时,直线 y=ax 的倾斜角为钝角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a<0,只有 C 成立。 【答案】C 4.直线 l1:3x-y+1=0,直线 l2 过点(1,0),且它的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍,则直线 l2 的方程为( ) A.y=6x+1 B.y=6(x-1) C.y=34(x-1) D.y=-34(x-1) 【解析】由 tanα=3 可求出直线 l2 的斜率 k=tan2α=1-2tatannα2α=-34, 再由 l2 过点(1,0)即可求得直线方程。

【答案】D 5.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是( ) A.1 B.2 C.-12 D.2 或-12
【答案】D 6.函数 y=asinx-bcosx(ab≠0)的一条对称轴的方程为 x=π4,则以向量 c=(a,b)为方向向 量的直线的倾斜角为( ) A.45° B.60° C.120° D.135° 【解析】由 f(x)=asinx-bcosx 关于 x=π4对称,
得 f(0)=f??π2??,代入得 a=-b,
∴向量 c=(a,b)=(a,-a)=a(1,-1), ∴直线的斜率为 k=-1, 即倾斜角 α=135°。 【答案】D 7.实数 x、y 满足 3x-2y-5=0(1≤x≤3),则yx的最大值、最小值分别为______、______。
【答案】23 -1 8.直线 l 过点 P(-1,1)且与直线 l′:2x-y+3=0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形,

则直线 l 的方程为__________。

【解析】如图所示,由直线 l、l′与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形可知:l 与 l′的倾

斜角互补,从而可知其斜率互为相反数,由 l′的方程知其斜率为 2,从而 l 的斜率为-2,又过

点 P(-1,1),则由直线方程的点斜式,得

y-1=-2(x+1),即 2x+y+1=0。

【答案】2x+y+1=0

9.过点 P(-1,2),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是__________。

【解析】当直线过原点时,方程为 y=-2x;当直线不经过原点时,设方程为2xa+ay=1,

把 P(-1,2)代入上式,得 a=32,所以方程为 x+2y-3=0。

【答案】y=-2x 或 x+2y-3=0

10.已知直线 l:mx +4-y π=1。

(1)若直线的斜率小于 2,求实数 m 的取值范围;

(2)若直线分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,O 是坐标原点,求△AOB 面积的最

大值及此时直线的方程。

【解析】(1)直线 l 过点(m,0),(0,4-m),

则 k=4--mm<2,解得 m>0 或 m<-4 且 m≠4,

∴实数 m 的取值范围是 m>0 或 m<-4 且 m≠4。

(2)由 m>0,4-m>0 得 0<m<4,

则 S=m

-m 2

- =

m- 2

2+4,

所以 m=2 时,S 有最大值,直线 l 的方程为 x+y-2=0。

11.在△ABC 中,已知 A(5,-2)、B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N

在 x 轴上,求:

(1)顶点 C 的坐标;

(2)直线 MN 的方程。

(2)∵M??0,-25??,N(1,0),
∴直线 MN 的方程为1x+-y52=1,

即 5x-2y-5=0。 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R)。 (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值并 求此时直线 l 的方程。 【解析】(1)证明:直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,

令???x+2=0 解之得???x=-2

??1-y=0,

??y=1,

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1)。 (2)由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为-1+k2k,在 y 轴上的截距为 1+2k,要使

直线不经过第四象限,则必须有???-1+k2k≤-2 解之得 k>0; ??1+2k≥1,

当 k=0 时,直线为 y=1,合题意,故 k≥0。

=12·|1+k2k|·|1+2k|

=12·

+2k k

2

=12??4k+1k+4??

≥12(2×2+4)=4,

“=”成立的条件是 k>0 且 4k=1k,即 k=12,

∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0。


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