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三角函数在高考中的应用。

时间:2016-12-30

(15 昌)1、. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 g ( x) ? f ( x ? 的单调递增区间.
O π 3 -2 13π 12 x y 2

? , x ? R ) 的部分图象如图所示. 2

? ? ) ? f (x ? ) 12 3

( 15 昌 文 ) 2 、 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 三 边 分 别 为 a , b, c , B ?

? ,且 3

b ? 3 3 ,a ? 2.
(Ⅰ)求 sin 2 A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

(朝 15)3. (本小题共 13 分) 在梯形 ABCD 中, (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求梯形 ABCD 的高.

(15 东)4、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x . sin x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及其最大值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间.

(15 丰一)5、.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) =cos x(cos x ? 3sin x) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间.

π 2

(15 丰 2)6、 (本小题共 13 分) 在△ ABC 中,A ? 30 ,BC ? 2 5 , 点 D 在 AB 边上, 且 ?BCD 为锐角,CD ? 2 , △ BCD 的面积为 4. (Ⅰ)求 cos ?BCD 的值; (Ⅱ)求边 AC 的长.
?

(15 丰文)7、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos (? x ?
2

(Ⅰ)求 ? 的值;

? ) (其中 ? ? 0 , x ?R)的最小正周期为 2 ? . 12
8 ,求 cos? 的值. 5

(Ⅱ)如果 ? ? [0, ] ,且 f (? ) ?

? 2

答案
1、. (本小题满分 13 分) 解: (I)由题意可知, A ? 2 ,

3T 9 ? 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 . ,得 T ? ? , T ? 4 12 ? ? ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 3 3 2? ? ? ? ? ? ? 2k ?? k ? Z , | ? |? , 即 3 2 2 ? ? 所以 ? ? ? ,故 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) .……………7 分 6 6
(II) g ( x) ? 2sin(2( x +

π π π π ) - ) - 2sin(2( x + ) - ) 12 6 3 6

π ? 2sin2 x - 2sin(2 x + ) 2 = 2sin2 x - 2cos2 x ? = 2 2 sin(2 x ? ) 4


?

? ? ? ? 2k ? ,? k Z, 2 4 2 ? ?? ? ? k? ? x ? ? k ?, k ? Z. 8 8 ? 2k ? ? 2 x?

?

故 g ( x)的单调递增区间是

[?

? ?? ? k ?, ? k ?], k ? Z. 8 8 .

……………13 分

2、(本小题满分 13 分)
解: (I) 由

a b a ? sin B 1 ? , 得 sin A ? ? . sin A sin B b 3
2 2 3
……………7 分

因为 a ? b ,所以 A ? B ,则 cos A ?

sin 2 A ? 2sin A cos A ?
2 2 2

4 2 . 9

(II)由 b ? a ? c ? 2ac cos B ,

27 ? 4 ? c 2 ? 2c ,解得 c ? 1 ? 2 6 , c ? 1 ? 2 6 (舍) ,

1 3?6 2 .……………13 分 故S?ABC ? ? a ? c ? sin B ? 2 2
法二:因为 a ? b ,所以 A ? B ,则 cos A ?

sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin(

2? 2? 2? ? A) ? sin cos A ? cos sin A, 3 3 3

2 2 . 3

sin C ?

3 2 2 1 1 2 6 ?1 , ? ? ? ? 2 3 2 3 6


c a ? , 得 c ? 1 ? 2 6, sin C sin A 1 3?6 2 ……………13 分 故S?ABC ? ? a ? c ? sin B ? 2 2 .
3. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)在 中,因为 ,所以 .由正弦定理得:

,即



(Ⅱ)在 中,由余弦定理得: 整理得 ,解得 (舍负) . 过点 作 于 ,则 为梯形 的高. 因为 , ,所以 . 在直角 即梯形 4、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 ,得 x ? k ?? k ? Z? . 中, 的高为 . .



所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k ?? k ? Z} . …………………2 分 因为 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x , sin x

? 2 cos x ? 2sin x

? ? 2 2 cos( x ? ) , 4

…………………6 分

所以 f ( x ) 的最大值为 2 2 . …………………7 分 (Ⅱ)函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [2k ? ? ?? 2k ? ? ??? ( k ? Z )

由 2k ? ? ? ? x ?

? ? 2k ? ? ?? , x ? k ?? k ? Z? ,且 x ? (0, ?? , 4
3? , ?? . ……13 分 4

所以 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间为 [

5、解:(Ⅰ) f ( x) = 3sin x cos x ? cos2 x
f ( x) = 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ) 2 2

f ( x) =(

f ( x) = sin(2 x ?

?
6

)?

1 2

T?

2? 2? ? ?? |? | 2

f ( x) 的最小正周期为 ? .

----------------------------------7 分

(Ⅱ)当 2k? ?

3? , k ? Z 时,函数 f ( x) 单调递减, 2 6 2 ? 2? ], k ? Z , 即 f ( x) 的递减区间为: [k? ? , k? ? 6 3 ? ? 2? ? ? ]=[ , ? ] , k ? Z 由 [0, ] ? [k? ? , k? ? 2 6 3 6 2 ? 2x ? ? 2k? ?

?

?

? ? 所以 f ( x) 的递减区间为: [ , ] . 6 2

------------------------------------13 分

6、
7、 (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2 cos (?x ?
2

?
12

) ? cos( 2?x ?

?
6

) ?1.

所以 T ?

2? ? 2? , 2?

1 .……………………5 分 2 ? 8 (Ⅱ)由(1)可知 f (? ) ? cos( ? ? ) ? 1 ? , 6 5 ? 3 所以 cos( ? ? ) ? , 6 5
因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 因为 ? ? [0, 所以 ? ?

?

? 2? ?[ , ] , 6 6 3 ? 4 所以 sin(? ? ) ? . 6 5
因为 cos ? ? cos[(? ?

?

2

],

?

? cos(? ?

?
6

) cos

?

6 6

)?

?
6

]

? sin(? ?

?
6

)sin

?
6

3 3 4 1 3 3?4 ? ? ? ? ? .……………………13 分 5 2 5 2 10

所以 cos ? ?

3 3?4 . 10


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