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2015年高考重庆市理科数学真题含答案解析(超完美版)

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2015 年高考重庆市理科数学真题
一选择题 1.已知集合 A= ?1, 2,3? ,B= ?2,3? ,则( A. A ? B B.A ? B= ? ) C.A ? B ) D.6 D.B ? A

2.在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4, a4 =2,则 a6 =( A.-1 B.0 C.1

3.重庆市 2013 年各月的平均气温( oC )数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是( A.19 B.20
2

) C.21.5 ) D.23

4. “x>1”是“ log 1 (x+2)<0”的(

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

1 ?? 3

B.

2 ?? 3

C.

1 ? 2? 3

D.

2 ? 2? 3


6.若非零向量 a,b 满足|a|= A.

2 2 |b|,且(a-b) ? (3a+2b) ,则 a 与 b 的夹角为( 3
C.

? 4

B.

? 2

3? 4

D. ? )

7.执行如图所示的程序框图,若输入 K 的值为 8,则判断框图可填入的条件是(

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A.s ?

3 4

B.s ?

5 6

C.s ?

11 12

D.s ?

15 24

8.已知直线 l:x+ay-1=0(a ? R)是圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴. 过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 B. 4 2 C.6 )

D. 2 10

3? cos(? ? ) ? 10 ? ( 9.若 tan ? =2tan ,则 ? 5 sin(? ? ) 5
A.1 10.设双曲线 B.2 C.3



D.4

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 1,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分 a 2 b2
2 2

别作 AC,AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a ? a ? b ,则该双曲线的渐近线斜率的取值 范围是( ) B. (- ? ,-1) ? (1,+ ? ) D. (- ? ,- 2 ) ? ( 2 ,+ ? )

A. (-1,0) ? (0,1) C. (- 2 ,0) ? (0, 2 ) 二、填空题

11.设复数 a+bi(a,b ? R)的模为 3 ,则(a+bi) (a-bi)=________.
3 12. ? x ?

? ?

1 ? 8 ? 的展开式中 x 的系数是________(用数字作答). 2 x?

5

www.yitiku.cn 13.在 ? ABC 中,B= 120o ,AB= 2 ,A 的角平分线 AD= 3 ,则 AC=_______. 14. 如图, 圆 O 的弦 AB, CD 相交于点 E, 过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P, 若 PA=6, AE=9, PC=3,CE:ED=2:1,则 BE=_______.

15. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t (t 为参数) , 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系, ? y ? 1? t
3? 5? ?? ? ), 则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_______. 4 4

2 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos 2? ? 4( ? ? 0,

16.若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,则实数 a=_______. 17.端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个, 这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个。 (Ⅰ)求三种粽子各取到 1 个的概率; (Ⅱ)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望

18.已知函数 f ? x ? ? sin ?

?? ? ? x ? sin x ? 3 cos 2 x ?2 ?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)讨论 f ? x ? 在 ?

? ? 2? ? , 上的单调性. ?6 3 ? ?

19.如图,三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC, PC ? 3, ? ACB ? 且 CD ? DE ? 2, CE ? 2EB ? 2. (Ⅰ)证明: DE ? 平面 PCD (Ⅱ)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。

?
2

. D, E 分别为线段 AB, BC 上的点,

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3x 2 ? ax 20.设函数 f ? x ? ? ?a ? R? ex
(Ⅰ)若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。

?

?

21.如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 a 2 b2

PQ ? PF1
(Ⅰ)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2 求椭圆的标准方程 (Ⅱ)若 PF 1 ? PQ , 求椭圆的离心率 e.

22.在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an?1an ? ?an?1 ? ?an ? 0 ? n ? N? ?
2

(I)若 ? ? 0, ? ? ?2, 求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若 ? ?

1 1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? ? k0 ? N? , k0 ? 2 ? , ? ? ?1, 证明: 2 ? k0 3k0 ? 1 2 k0 ? 1

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2015 年高考重庆市理科数学真题详细答案
一选择题 1.答案:D 解析过程: 由于 2 ? A, 2 ? B,3 ? A,3 ? B,1? A,1? B , 故 A、B、C 均错,D 是正确的,选 D. 2.答案:B 解析过程: 由等差数列的性质得 a6 ? 2a4 ? a2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ,选 B. 3.答案:B 解析过程: 从茎叶图知所有数据为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32, 中间两个数为 20,20,故中位数为 20,选 B. 4.答案:B 解析过程:

log 1 ( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ? 1 ? x ? ?1 ,因此选 B.
2

5.答案:A 解析过程: 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,

1 1 1 1 V ? ? ?12 ? 2 ? ? ( ??1? 2) ?1 ? ? ? ,故选 A. 2 3 2 3
6.答案:A 解析过程: 由题意 (a ? b) ? (3a ? 2b) ? 3a ? a ? b ? 2b ? 0 , 即 3 a ? a b cos ? ? 2 b ? 0 ,

? ?

?

?

?2 ? ?

?2

?2

? ?

?2

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所以 3 ? (

2 2 2 2 2 2 , ) ? cos ? ? 2 ? 0 , cos ? ? 3 3 2

??

?
4

,选 A.

7.答案:C 解析过程: 由程序框图, k 的值依次为 0,2,4,6,8,

1 1 1 11 ? ? ? (此时 k ? 6 )还必须计算一次, 2 4 6 12 11 因此可填 s ? ,选 C. 12
因此 S ? 8.答案:C 解析过程: 圆 C 标准方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,圆心为 C (2,1) , 半径为 r ? 2 ,因此 2 ? a ?1 ? 1 ? 0 , a ? ?1 ,即 A(?4, ?1) ,

AB ?

AC ? r 2 ? (?4 ? 2)2 ? (?1 ? 1)2 ? 4 ? 6 .选 C.

2

9.答案:C 解析过程:

3? 3? 3? ) cos ? cos ? sin ? sin 10 ? 10 10 ? ? ? sin(? ? ) sin ? cos ? cos ? sin 5 5 5 3? 3? 3? ? 3? cos ? tan ? sin cos ? 2 tan sin 10 10 ? 10 5 10 ? cos(? ? 5 5 5 ? 3? ? 3? cos cos ? 2sin sin 5 10 5 10 ? sin tan ? cos

?

? sin

?

2 tan

?

cos

?

5

? sin

?

5

?

5

cos

?

5

? 1 5? ? ? 5? (cos ? cos ) ? (cos ? cos ) 3cos 10 ? 3 , 10 10 10 10 ? =2 1 2? ? sin cos 10 2 5
选 C. 10.答案:A 解析过程:

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由题意 A(a, 0), B(c,

b2 b2 ), C (c, ? ) , a a

由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上, 设 D( x, 0) ,由 BD ? AC 得

b2 b2 ?0 a ? a ? ?1, c? x a?c
解得 c ? x ?

b4 , a 2 (c ? a) b4 ? a ? a 2 ? b2 ? a ? c , a 2 (c ? a)

所以 c ? x ?

所以

b4 b2 b 2 2 2 ? c ? a ? b ? ? 1 ? 0 ? ? 1, 2 2 a a a

因此渐近线的斜率取值范围是 (?1,0) ? (0,1) ,选 A. 二、填空题 11.答案:3 解析过程: 由 a ? bi ? 3 得 a ? b ? 3 ,
2 2
2 2 即 a ? b ? 3,

所以 (a ? bi)(a ? bi) ? a ? b ? 3 .
2 2

12.答案: 解析过程:

5 2
7k 15? 1 )k ? ( )k C5k x 2 , 2 2 x

二项展开式通项为 Tk ?1 ? C5 ( x )
k

3 5? k

(

1

令 15 ?

7k 1 5 ? 8 ,解得 k ? 2 ,因此 x8 的系数为 ( ) 2 C52 ? . 2 2 2

13.答案: 6 解析过程: 由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

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2 3 , ? sin ?ADB sin120?

解得 sin ?ADB ?

2 , ?ADB ? 45? , 2

从而 ?BAD ? 15? ? ?DAC , 所以 C ? 180? ? 120? ? 30? ? 30? ,

AC ? 2 AB cos30? ? 6 .

14. 答案:2 解析过程:
2 首先由切割线定理得 PA ? PC ? PD ,

因此 PD ?

62 ? 12 , CD ? PD ? PC ? 9 , 3

又 CE : ED ? 2 :1 ,因此 CE ? 6, ED ? 3 , 再相交弦定理有 AE ? EB ? CE ? ED , 所以 BE ?

CE ? ED 6 ? 3 ? ?2. AE 9

15.答案: (2,? ) 解析过程: 直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 ,由 ? cos 2? ? 4 得
2

? 2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 ,直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4 ,
把 y ? x ? 2 代入双曲线方程解得 x ? ?2 , 因此交点.为 (?2, 0) ,其极坐标为 (2, ? ) . 16.答案:-6 或 4 解析过程: 由绝对值的性质知 f ( x ) 的最小值在 x ? ?1 或 x ? a 时取得,

www.yitiku.cn 若 f (?1) ? 2 ?1 ? a ? 5 , a ?

3 7 或 a ? ? ,经检验均不合; 2 2

若 f (a) ? 5 ,则 x ? 1 ? 5 , a ? 4 或 a ? ?6 ,经检验合题意, 因此 a ? 4 或 a ? ?6 . 17.答案:见解析 解析过程: (Ⅰ)令 A 表示事件“三种粽子各取 1 个” , 则由古典概型的概率计算公式有

P(A) ?

1 1 1 C2 C3C5 1 ? . 3 C10 4

(Ⅱ)X 的所有可能值为 0,1,2,且

P( X ? 0) ?

3 1 C8 C82C2 7 7 ? , P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C10 15 C10 15

2 1 C2 C 1 P( X ? 2) ? 3 8 ? , C10 15

综上知,X 的分布列为 X P 0 1 2

7 15

7 15

1 15

故 E( X ) ? 0 ?

7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? (个). 15 15 15 5

18.答案:见解析 解析过程: (Ⅰ) f ( x)= sin(

?
2

? x) sin x ? 3 cos 2 x

? cos x sin x ?

3 (1 ? cos 2 x) 2

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 3 , ? sin(2 x ? ) ? 3 2
因此 f ? x ? 的最小正周期为 ? ,最大值为

2? 3 . 2

www.yitiku.cn (Ⅱ)当 x ? [ 当 0 ? 2x ?

? 2?
6 , ?

5? 时, f ? x ? 单调递增, 3 2 6 12 ? ? 5? 2? ?x? 当 ? 2x ? ? ? , 即 时, f ? x ? 单调递减, 2 3 12 3 ? 5? 5? 2? ] 上单调递增;在 [ , ] 上单调递减. 综上, f ? x ? 在 [ , 6 12 12 3

?

?

3

] 时, 0 ? 2 x ? ,即

?
3

? ? 从而

?

?x?

19.答案:见解析 解析过程: (Ⅰ)证明: 由 PC ? 平面ABC , DE ? 平面ABC ,故 PC ? DE . 由 CE ? 2, CD ? DE ? 2 得△ CDE 为等腰直角三角形,故 CD ? DE . 由 PC ? CD ? C , DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线, 故 DE ? 平面 PCD .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,△ CDE 为等腰直角三角形, ?DCE ? 过 D 作 DF 垂直 CE 于 F . 易知 DF ? FC ? FE ? 1 , 又已知 EB ? 1 ,故 FB ? 2 . 由 ?ACB ?

?
4

.

?
2

得 DF ? AC ,

DF FB 2 3 3 ? ? ,故 AC ? DF ? . AC BC 3 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 以 C 为坐标原点,分别以 CA, CB, CP 的方向
为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 C (0, 0, 0), P (0, 0,3), A( , 0, 0), E (0, 2,0), D(1,1,0) ,

3 2

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??? ? 1 ??? ? ??? ? ED ? (1, ?1,0), DP ? (?1, ?1,3), DA ? ( , ?1, 0). 2 ?? 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z),

?? ??? ? ?? ??? ? n ? DP ? 0, n ? DA ? 0, 得 由 1 1
?? x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ? ?? ? 1 n x ? y ? 0 故可取 1 ? (2,1,1) . 1 1 ? ? 2
由(Ⅰ)可知 DE ? 平面 PCD , 故平面 PCD 的法向量 n2 可取为 ED ,即 n2 ? (1, ?1,0) ,

?? ?

??? ?

?? ?

?? ?? ? n n 从而法向量 1 , 2 的夹角的余弦值为
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 3 ? ? cos n1 , n2 ? ?? ??? . | n1 |? | n2 | 6
故所求二面角的余弦值为 20.答案:见解析 解析过程: (Ⅰ)对 f ( x ) 求导得

3 . 6

(6 x ? a)e x ? (3x 2 ? ax)e x ?3x 2 ? (6 ? a) x ? a ? f ( x) ? ? . (e x ) 2 ex
因为 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极值,所以 f ?(0) ? 0, 即 a ? 0. 当 a ? 0. 时, f ( x) ? 故 f (1) ?

3x 2 ?3x 2 ? 6 x ? f ( x ) ? , ex ex

3 3 , f ?(1) ? , e e

从而 f ( x ) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程为

y?

3 3 ? ( x ? 1) ,化简得 3x ? ey ? 0 . e e

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?( x) ?

?3x 2 ? (6 ? a) x ? a . ex

令 g ( x) ? ?3x2 ? (6 ? a) x ? a , 由 g ( x) ? 0 解得 x1 ?

6 ? a ? a 2 ? 36 6 ? a ? a 2 ? 36 , x2 ? . 6 6

当 x ? x1 时, g ( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 为减函数; 当 x1 ? x ? x2 时, g ( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 为增函数; 当 x ? x2 时, g ( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 为减函数. 由 f ( x ) 在 [3, ??) 上为减函数,知 x2 ? 故 a 的取值范围为 [? , ??) . 21.答案:见解析 解析过程: (Ⅰ)由椭圆的定义,

6 ? a ? a 2 ? 36 9 ? 3 ,解得 a ? ? , 2 6

9 2

2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? 4,
故 a ? 2. 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF ? PF , 因此 1 2

2c ?| F1F2 |? | PF1 |2 ? | PF2 | ? (2 ? 2)2 ? (2 ? 2) 2 ? 2 3,


2

c ? 3, 从而 b ? a2 ? c2 ? 1.
. y2 ? ?1 4 1

故所求椭圆的标准方程为 x 2

(Ⅱ)解法一:设点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,且 PF1 ? PF2 , 则
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1, x0 ? y0 ? c2 2 2 a b

求得 x0 ? ?

a 2 b2 a ? 2b2 , y0 ? ? . c c

www.yitiku.cn 由 | PF 1 | =|PQ |?| PF2 | 得 x0 ? 0, 从而

a a 2 ? 2b2 b2 2 | PF1 | ? ( ? c) ? 2 c c
2

? 2(a2 ? b2 )+2a a 2 ? 2b2 ? (a ? a 2 ? 2b2 )2 ,
由椭圆的定义,

| PF1 | ? | PF2 | =2a,| QF1 | ? | QF2 | =2a. 从而由 | PF1 |?| PQ |?| PF2 | ? | QF2 |, 有 | QF1 |? 4a ? 2 | PF1 |,
又由 PQ ? PF 因此 1 , PF 1 ? PQ , 知 | QF 1 |? 2 | PF 1 |,

(2 ? 2) | PF1 |? 4a, 即 (2+ 2)(a ? a2 ? 2b2 ) ? 4a,
于是 (2 ? 2)(1 ? 2c 2 ? 1) ? 4, 解得

e?

1 4 [1 ? ( ? 1)2 ] ? 6 ? 3. 2 2? 2

解法二: 由椭圆定义, | PF 1 | ? | PF 2 | =2a,| QF 1 | ? | QF 2 | =2a. 从而由 | PF 1 |?| PQ |?| PF 2 | ? | QF 2 |, 有 | QF 1 |? 4a ? 2 | PF 1 |, 又由 PQ ? PF 得 1 , PF 1 ? PQ , 知 | QF 1 |? 2 | PF 1 |,

|PF1 |? 2(2 ? 2)a,
从而 | PF2 |? 2a? | PF 1 |? 2a? | PF 1 |? 2( 2 ?1)a.
2 2 2 2 由 PF 1 ? PF 2 , 知 | PF 1 | ? | PF 2 | =|F 1F 2 | ? (2c) .

因此 e ?

| PF1 |2 ? | PF2 |2 c ? ? (2 ? 2)2 ? ( 2 ? 1)2 a 2a

? 9 ? 6 2 ? 6 ? 3.
22.答案:见解析

www.yitiku.cn 解析过程: (Ⅰ)由 ? ? 0, ? ? ?2, 有 an?1an ? 2an 2 (n ? N? ) , 若存在某个 n0 ? N? , 使得 an0 ? 0 , 则由上述递推公式易得 an0 ?1 ? 0 . 重复上述过程可得 a1 ? 0 ,与已知矛盾, 所以对任意的 n ? N ? , an ? 0 . 从而 an?1 ? 2an (n ? N? ) ,即 {an } 是一个公比 q ? 2 的等比数列. 故 an ? a1qn?1 ? 3 ? 2n?1 . (Ⅱ)由 ? ?

1 , ? ? ?1, 数列 {an } 的递推关系式变为 k0

an?1an ?

1 1 an ?1 ? an 2 ? 0, 变形为 an?1 (an ? ) ? an 2 (n ? N ? ). k0 k0

由上式及 a1 ? 3 ? 0 ,归纳可得

3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ? ? 0,
an 2 ? ? 1 1 ? 2 2 k0 k0 1 1 1 ? an ? ? ? , 1 k0 k0 k0 an ? 1 an ? k0

因为 an ?1 ?

an an ?

2

1 k0

所以对 n ? 1, 2,?, k0 求和得 ak0 ?1 ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ?? (ak0 ?1 ? ak0 ) = a1 ? k0 ?

1 1 1 1 1 ? ?( ? ??? ) k0 k0 k0 a1 ? 1 k0 a2 ? 1 k0 ak0 ? 1

? 2?

1 1 1 1 1 . ?( ? ??? ) ? 2? k0 3k0 ? 1 3k0 ? 1 3k0 ? 1 3k0 ? 1 ?????? ?????? ?
k0 个

另一方面,由上面已证的不等式知

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a1 ? a2 ? ? ? ak0 ? ak0 ?1 ? ? ? 2,
得 ak0 ?1 ? a1 ? k0 ?

1 1 1 1 1 ? ?( ? ??? ) k0 k0 k0 a1 ? 1 k0 a2 ? 1 k0 ak0 ? 1

? 2?

1 1 1 1 1 . ?( ? ?? ? ) ? 2? k0 2k0 ? 1 2k0 ? 1 2k0 ? 1 2k0 ? 1 ?????????????
k0 个

综上, 2+

1 1 ? ak0 ?1 ? 2 ? . 3k0 +1 2k0 +1


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