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圆锥曲线中的最值和范围问题

时间:2010-12-06


圆锥曲线专题

K104 班

圆锥曲线中的最值和范围问题
★★★高考在考什么 高考在考什么 【考题回放】 考题回放】

x2 y2 1.已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有 a b
且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C. [2, +∞)
2 2

D.(2,+∞)

2. P 是双曲线

x y ? = 1 的右支上一点, N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点, PM| M、 则| 9 16
D.9 ) D. 3

-|PN|的最大值为(

) A. 6 B.7 C.8 2 3.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是(

4 A. 3
4. 已知双曲线

7 B. 5

8 C. 5

x2 y2 ? = 1, ( a > 0, b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1、2, P 在双曲线的右支上, PF1|=4|PF2|, F 点 且| a2 b2
) (C) 2 (D) (B)
2

则此双曲线的离心率 e 的最大值为: ( (A)

4 3

5 3

7 3
2 2

5.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,则 y1 +y2 的最小值 是 . 2 6.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( ) (A) (-∞,0) (B) (-∞,2 ] (C) [0,2] (D) (0,2)

★★★高考要考什么 高考要考什么 热点透析】 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式 (组) ,通过解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数, 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 突破重难点 【例 1】已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |= 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.

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【例 2】给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 小值时,试求 B 点的坐标。

x2 y 2 5 + = 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB + BF 取得最 25 16 3

x2 + y 2 = 1 上移动,试求|PQ|的最大值。 【例 3】已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆 9
2 2

【点评 点评】 点评

对应的准线方程为 y = ? 已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ), 【 例 4】 成等差数列。 (1)求椭圆方程;

9 2 2 4 , 且离心率 e 满足: , e, 4 3 3

(2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x = ? 求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。

1 平分,若存在, 2

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长度为 a( a > 0 ) 的线段 AB 的两个端点 A 、B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动, P 在线段 AB 上, 点 【 例 5】 且 AP = λ PB ( λ 为常数且 λ > 0 ) . (1)求点 P 的轨迹方程 C ,并说明轨迹类型; (2)当 λ =2 时,已知直线 l1 与原点 O 的距离为 取值范围.

a ,且直线 l1 与轨迹 C 有公共点,求直线 l1 的斜率 k 的 2

【例 6】椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e =

2 , 过点 C(-1,0)的直线 l 与椭圆 3

E 相交于 A、B 两点,且满足点 C 分向量 A B 的比为 2. (2)当△OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程。 (1) 用直线 l 的斜率 k ( k≠0 ) 表示△OAB 的面积;

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x2 y2 ,和椭圆 + = 1 顺次交于 A、B 两点,若 AP = λ PB 试求λ的取 【例 7】设直线 l 过点 P(0,3) 9 4
值范围.

【例 8】我们把由半椭圆

x2 y2 + = 1 ( x ≥ 0 ) 与半椭圆 a2 b2
y
B2

y2 x2 + = 1 ( x ≤ 0) 合 成 的 曲 线 称 作 “ 果 圆 ” 其 中 , b2 c2
a2 = b2 + c2 , a > 0 ,b > c > 0 .
A1

.F . . O M . F
2

0

A2

x

F1 B1


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