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高中数学 考前归纳总结 导数中的恒成立问题

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导数中的恒成立问题

一、常见基本题型:
(1)已知某个不等式恒成立,去求参数的取值范围; (2)让你去证明某个不等式恒成立。
解此类问题的指导思想是:构造函数,或参变量分离后构造函数,转化为求新函 数的最值问题。
例 1:已知函数 f (x) ? x2 ? 2x ? a ln x , 当 t ? 1时,不等式 f (2t ?1) ? 2 f (t) ? 3 恒成立,
求实数 a 的取值范围.
解:不等式 f (2t ?1) ? 2 f (t) ? 3 可化为 2t2 ? 4t ? 2 ? a ln t2 ? a ln(2t ?1) ,

即 2t2 ? a ln t2 ? 2(2t ?1) ? a ln(2t ?1) .

记 g(x) ? 2x ? a ln x(x ? 1) ,要使上式成立,

只须 g(x) ? 2x ? a ln x(x ? 1) 是增函数即可.
即 g '(x) ? 2 ? a ? 0 在[1, ?? )上恒成立, x
即 a ? 2x 在[1, ??) 上恒成立,故 a ? 2 ,
所以实数 a 的取值范围是(- ? ,2] .
例 2:已知 a ? 0 ,函数 f (x) ? x2 ? 2a(a ? 1) ln x ? (3a ? 1)x . 2
(1)若函数 f (x) 在 x ? 1处的切线与直线 y ? 3x ? 0 平行,求 a 的值;

(2)在(1)的条件下,若对任意 x ? ?1,2? , f (x) ? b2 ? 6b ? 0 恒成立,求实数 b 的取

值组成的集合.
解:(1) f '(x) ? x ? 2a(a ?1) ? (3a ?1) ,由已知 f '(1) ? 3 , x
即 2a2 ? a ? 3 , 2a2 ? a ? 3 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? ?1, 2
又因为 a ? 0 ,所以 a ? 3 . 2

(2)当 a ? 3 时, f (x) ? x2 ? 15 ln x ? 11x ,由(2)知该函数在 (0, 5) 上单调递增,

2

22

2

2

因此在区间 ?1,2?上 f (x) 的最小值只能在 x ? 1处取到.

又 f (1) ? 1 ? 11 ? ?5 , 22
若要保证对任意 x ? ?1,2? , f (x) ? b2 ? 6b ? 0 恒成立,应该有 ?5 ? b2 ? 6b ,

即 b2 ? 6b ? 5 ? 0 ,解得 ?5 ? b ? ?1, 因此实数 b 的取值组成的集合是{b | ?5 ? b ? ?1}.

例 3. 函数 f (x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ? 2x,b ? R ,设 g(x) ? f (x) ? 2x ,若 b ? 2 ,

求证:对任意 x1, x2 ? (?1,??) ,且 x1 ? x2 ,都有 g(x1 ) ? g(x2 ) ? 2(x1 ? x2 ) . 证明:因为 f (x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ? 2x ,

所以 f '(x) ? 2x ? b ? 2 ? 2x2 ? b ? 2 (x ? ?1) ,

x ?1

x ?1

因为 b ? 2 ,所以 f '(x) ? 0 (当且仅当 b ? 2, x ? 0 时等号成立),

所以 f (x) 在区间 (?1,??) 上是增函数,

从而对任意 x1, x2 ? (?1,??) ,当 x1 ? x2 时, f (x1) ? f (x2 ) ,

即 g(x1 ) ? 2x1 ? g(x2 ) ? 2x2 ,所以 g(x1 ) ? g(x2 ) ? 2(x1 ? x2 ) 。

二、针对性练习

1.已知函数 f (x) ? In(2 ? 3x) ? m x2 在 x ? 1 处取得极值,若对任意 x ?[1 , 1] ,不等

2

3

63

式| a ? Inx | ?In[ f / (x) ? 3x] ? 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

解:函数的定义域为

? ? ?

x

|

x

?

?

2 3

? ? ?

又 f ' (x) ? 3 ? mx , 3x ? 2

由题设 f (x) 在 1 处取得极值,∴ f ' (1) ? 0 ,即或1 ? m ? 0, m ? ?3 。

3

3

3

∴ f ' (x) ? 3 ? 3x 。 3x ? 2

不等式| a ? Inx | ?In[ f ' (x) ? 3x] ? 0 恒成立,

即| a ? Inx | ?In 3 ? 0 恒成立。 3x ? 2

又 x ?[1 , 1], ∴ In 3 ?[0, 6] ,当且仅当 x ? 1 时 In 3 ? 0 ,

63

3x ? 2 5

3 3x ? 2

故 a ? In 1 时,不等式| a ? Inx | ?In[ f ' (x) ? 3x] ? 0 恒成立。 3
2、设函数 f (x) = ln x - px + 1

(Ⅰ)求函数 f (x) 的极值点;

(Ⅱ)当 p>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f (x) ? 0 ,求 p 的取值范围;

解:(1)? f (x) ? ln x ? px ?1,? f (x)的定义域为(0,??) ,

f ?(x) ? 1 ? p ? 1 ? px

x

x

当 p ? 0时,f ?(x) ? 0, f (x)在(0,??) 上无极值点

f ?(x) ? 0,? x ? 1 ? (0,??), f ?(x)、f (x)随x

当 p>0 时,令

p

的变化情况如下表:

1

1

x

(0, p )

p

(1 ,+ ? ) p

f '(x)

+

0



f (x)



极大值



x? 1 从上表可以看出:当 p>0 时, f (x) 有唯一的极大值点 p

x= 1

f ( 1 ) = ln 1

(Ⅱ)当 p>0 时在 p 处取得极大值 p

p ,此极大值也是最大值,

f ( 1 ) = ln 1 ? 0

要使 f (x) ? 0 恒成立,只需 p

p,

∴ p? 1。

3.已知函数 f (x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)若函数 y ? f (x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45? ,问: m 在什么范

围取值时,对于任意的 t

? ?1,2?,函数

g(x)

?

x3

?

x

2

? ??

m 2

?

f

'(x)??? 在区间 (t,3)

上总存在



值?
解:(Ι )由 f '(x) ? a(1? x) 知: x
当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ;

当 a ? 0时,函数 f (x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ;

(Ⅱ)由 f ' ?2? ? ? a ? 1 ? a ? ?2 ,∴ f ? x? ? ?2ln x ? 2x ?3 , f ' ? x? ? 2 ? 2 .

2

x



g(x)

?

x3

?

x2

?m ?? 2

?

f

'( x) ???

?

x3

? (2 ?

m)x2 2

? 2x



∴ g '(x) ? 3x2 ? (4 ? m)x ? 2 , ∵ 函数 g(x) 在区间 (t,3) 上总存在极值,

∴ g'(x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t,3) 内

又∵函数 g'(x) 是开口向上的二次函数,且 g'(0) ? ?2 ? 0 ,∴

? g'(t) ? 0 ??g'(3) ? 0

? ? 由 g'(t) ? 0 ? m ? 2 ? 3t ? 4 ,∵ H (t) ? 2 ? 3t ? 4 在 1,2 上单调递减,

t

t

所以 H(t)min ? H(2) ? ?9;∴ m ? ?9 ,

由 g'(3) ? 27 ? (4 ? m) ? 3 ? 2 ? 0 , 解得 m ? ? 37 ; 3

? ? 综上得: ? 37 ? m ? ?9. 所以当 m 在 (? 37 ,?9) 内取值时,对于任意的 t ? 1,2 ,函数

3

3

g(x)

?

x3

?

x

2

? ??

m 2

?

f

' ( x)???

在区间 (t,3) 上总存在极值。


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