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吉林省2017届高三数学第五次模拟考试试题文

时间:2017-08-30


吉林省 2017 届高三数学第五次模拟考试试题 文
第 Ⅰ 卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) (1)若集合 A ? ? 2,3? , B ? x x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,则 A ? B ? (A) ? 2,3? (2)若复数 z ? (B) ?2,3? (C) ? (D) ? 2,3?

?

?

2?i ,则复数 z 在复平面内对应的点在 i5

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限

( 3)命题“ ?x ? ?1, 2? , x 2 ? 3x ? 2≤0 ”的否定为 (A) ?x ? ?1, 2? , x 2 ? 3x ? 2 ? 0 (C) ?x0 ??1,2? , x02 ? 3x0 ? 2 ? 0 (4)函数 y ? ln x2 ? 4x ? 3 的单调递减区间为 (A) ? 2, ?? ? (B) ? 3, ?? ? (C) ? ??, 2 ? (D) ? ??,1? (B) ?x ? ?1, 2? , x 2 ? 3x ? 2 ? 0 (D) ?x0 ??1,2? , x02 ? 3x0 ? 2 ? 0

?

?

(5)已知

2? ? ?? 6 ,则 sin ? 的值为 ? sin ? cos ? ? 2 ? 2 2? 3

(A) ?

1 3

(B)

1 3

(C)

2 2 3

(D) ?

2 2 3

(6)已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 2 , Sn ? Sn?3 ? 54 ? n ? 3? , Sn ? 100 ,则 n ? (A)7 (B)8
2

(C)9

(D)10

(7)已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( (A).2 ) ( B).2 2 (C).2 3 ( D).4 )

(8)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

(A) 20? (C) 28?

(B) 24? (D) 32?

1

(9)已知向量 a , b 满足: a ? b ? a ? b ? 1 ,则 2a ? b ? (A)3 (B) 3
2 2

(C) 7

(D) 7
2 2

(10)已知双曲线 mx -ny =1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆 mx +ny =1 的离心率为 1 (A). 2 (B). 6 3 (C). 3 3 2 3 (D). 3

(11)关于函数 f ? x ? ? 3 cos2 x ? 2sin x cos x ? 3sin 2 x ,有如下命题: ①x? 平移
π 是 f ? x ? 的图象的一条对称轴;② ?x ? R , 12
?π ? ?π ? f ? ? x ? ? ? f ? ? x ? ;③将 f ? x ? 的图象向右 ?3 ? ?3 ?

π 个单位,可得到一个奇函数的图象;④ ?x1,x2 ? R , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ≥4 . 3

其中真命题的个数为 (B)2 (C)3 (D)4 1 ? 2 ? ? x, x ? 0 (12)已知函数 f ? x ? ? ? x ,则关于 x 的方程 ? ? f ? x ?? ? ? f ? x ? ? a ? 0 ? a ? R ? 的实根个数不 . ? ln x , x ? 0 ? 可能 为 .. (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (A)1

第 Ⅱ 卷

(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22) 、 (23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. )
?2 x ? y ? 2≥0 ? (13)已知 ? x ? y ? 2≤0 ,则函数 z ? 3x ? y 的最小值为 ? y ? 1≥0 ?



(14) ? , ? 是两个平面, m, n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m ? n, m ? ? , n / / ? ,那么 ? ? ? . (2)如果 m ? ? , n / /? ,那么 m ? n .

2

(3)如果 ? / / ? , m ? ? ,那么 m / / ? . (4)如果 m / / n, ? / / ? ,那么 m 与 ? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等. 其中正确的命题编号有 .

( 15 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 点 P 是 直 线 3x ? 4y ? 3? 0 上 的 动 点 , 过 点 P 作 圆 C :

x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,切点分别为 A,B,则 AB 的取值范围是



(16)已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e? x?1 ? x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, 2) 处的切线方 程式_____________________________.

三、解答题: (解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ) (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 ? b ? 2a ? ? cos C ? c ? cos B ? 0 . (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c ? 2 , S?ABC ? 3 ,求边长 a,b 的值.

(18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 , an+1 ? Sn ? 2 n ? N ? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2 an , cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

3

(19) (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ADMN 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2 AD ? 6 ,点 E 为线段 AB 上一点. (Ⅰ)若点 E 是 AB 的中点,求证:BM∥平面 NDE; (Ⅱ)若直线 EM 与平面 ABCD 所成的线面角的大小为 求 VE ? ADMN : VE ?CDM .
N M

π , 6
D

C E B

A

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
3 x2 y 2 ,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1. ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 M 为椭圆上第一象限内一动点,A,B 分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线 MB 与 x 轴交 于点 C,直线 MA 与 y 轴交于点 D,求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

4

y M D A O B C x

(21) (本小题 满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? ln x ,a,b ? R . (Ⅰ)当 a ? b ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)当 b ? 2a ? 1 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)当 a ? 1 , b ? 3 时,记函数 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的两个零点是 x1 和 x 2 ? x1 ? x2 ? . 求证: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
3 ? ln 2 . 4

请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

5

? ? x ? 2cos ? 已知曲线 C1 的参数方程为 ? (θ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴, ? ? y ? 3 sin ?
取相同单位长度,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 . (Ⅰ)分别写出曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知 M,N 分别为曲线 C1 的上、下顶点,点 P 为曲线 C2 上任意一点,求 PM ? PN 的最大值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a . (Ⅰ)若不等式 f ? x ?≤3 的解集为 ?x ?1≤x≤5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数 x,使不等式 f ? x ? ? f ? x ? 5? ? m 成立,求实数 m 的取值范围.

6

2017 届高三第五次模拟考试数学参考答案 一、选择题: 题 1 号 答 B 案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. )
5 (13) ? ; 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

D

A

D

C

C

B

B

C

A

(14)(2)(3)(4);

(15) ? ? 3, 2 ; (16) y ? 2 x .

?

三、解答题: (17 解: (Ⅰ)由已 知及正弦定理得: ? sin B ? 2sin A? cos C ? sin C cos B ? 0 ,??2 分 即 sin B cos C ? cos B sin C ? 2sin A cos C , 即 sin ? B ? C ? ? 2sin A cos C , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos C ? (Ⅱ)因为 S ?ABC ?
1 . 2

即 sin A ? 2sin A cos C . ??4 分 ??5 分,又因为 C ? ? 0, ? ? ,所以 C ?

?
3

?6 分

1 3 ab sin C ? ab ? 3 ,所以 ab ? 4 ①. 2 4

????8 分

由余弦定理得: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C , 因为 c ? 2 , C ?

?
3

, ab ? 4 ,所以 a 2 ? b2 ? 8 ②.

????10 分

?a ? 2 由①,②联立可得: ? . ?b ? 2

????12 分

(18)解: (Ⅰ)因为 an+1 ? Sn ? 2 ?①,

所以当 n≥2 时, an ? Sn?1 ? 2 ? ②, ????3 分 ????4 分

①-②,得: an?1 ? an ? ? Sn ? Sn?1 ? ? 0 ,即: an +1 ? 2an ? n≥2? , 又因为 a2 ? S1 ? 2 且 S1 ? a1 ? 2 ,所以 a2 ? 4 ,所以 a2 ? 2a1 , 即

an +1 ? 2 对任意 n ? N ? 恒成立, 所以数列 ?an ? 为首相为 2,公比为 2 的等比数列. an

所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: bn ? log2 an ? log2 2n ? n , cn ? an ? bn ? n ? 2n

????5 分 ????7 分

所以 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ③, 2Tn ?1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? n ? 2n?1 ④,?9 分

7

③-④,得: ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ? 所以 Tn ? ? n ? 1? ? 2n?1 ? 2 .

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? n ? 2n ?1 ? ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 ,

????12 分 ????2 分

(19)解: (Ⅰ)证明:连结 AM,设 AM ? ND ? F ,连结 EF. 因为四边形 ADMN 为正方形,所以 F 是 AM 中点. 又因为 E 是 AB 中点,所以 EF∥BM. 又因为 EF ? 平面 NDE, BM ? 平面 NDE, 所以 BM∥平 面 NDE. (Ⅱ)略

????4 分

????6 分

?c 3 ? ? 2 ?a ? 2b 2 ?a ? 2 x2 (20 解: (Ⅰ)由已知可得: ? 解得: ? ;C 的方程为: ? y 2 ? 1 4 分 ?1 4 ?b ? 1 ? a 2 2 2 ?a ? b ? c ? ?

x2 ? y 2 ? 1 ,所以 A ? ?2,0? , B ? 0, ?1? .????5 分 4 m2 设 M ? m, n ?? m ? 0, n ? 0? ,则 ? n2 ? 1 ,即 m2 ? 4n2 ? 4 . 4 n ?1 m 则直线 BM 的方程为: y ? ; ????7 分 x ? 1 ,令 y ? 0 ,得 xC ? m n ?1
(Ⅱ)因为椭圆 C 的方程为: 同理:直线 AM 的方程为: y ?
n 2n ???9 分 ? x ? 2? ,令 x ? 0 ,得 yD ? m?2 m?2
2

所以 S ABCD ?

1 1 m 2n 1 ? m ? 2n ? 2 ? ? AC ? BD ? ? ?2 ? ?1 ? ? 2 2 n ?1 m?2 2 ? m ? 2 ?? n ? 1?

1 m2 ? 4n2 ? 4 ? 4mn ? 4m ? 8n 1 4mn ? 4m ? 8n ? 8 ? ? ? ? ?2. 2 mn ? m ? 2n ? 2 2 mn ? m ? 2n ? 2
即四边形 ABCD 的面积为定值 2. (21)解: (Ⅰ)因为 a=b=1,所以 f(x)=x 1 从而 f ′(x)=2x -1+ .
2

????12 分 -x+lnx,

x

因为 f(1)=0,f ′(1)=2,故曲线 y=f(x)在 x=1 处 即 2x-y-2=0.
2

的切线方程为 y-0=2(x-1),

???2 分

(Ⅱ)因为 b=2a+1,所以 f(x)=ax -(2a+1)x+lnx, 1 2ax -(2a+1)x+1 (2ax-1)(x-1) 从而 f ′(x)=2ax-(2a+1)+ = = ,x>0. ??3 分
2

x

x

x

8

①当 a≤0 时,

x∈(0,1)时,f ′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,

所以,f(x)在区间(0,1)上单 调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. ????4 分 1 ②当 0<a< 时, 2 由 f ′(x)>0 得 0<x<1 或 x> 1 1 ,由 f ′(x)<0 得 1<x< , 2a 2a

1 1 所以 f(x)在区间(0,1)和区间( ,+∞)上单调递增,在区间(1, )上单调递减.?5 2a 2a 1 ③当 a= 时, 2 因为 f ′(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号) , ????6 分

所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 1 ④当 a> 时, 2

1 1 由 f ′(x)>0 得 0<x< 或 x>1,由 f ′(x)<0 得 <x<1, 2a 2a

1 1 所以 f(x)在区间(0, )和区间(1,+∞)上单调递增,在区间( ,1)上单调递减. 2a 2a 2x -bx+1 (Ⅲ)方法一:因为 a=1,所以 f(x)=x -bx+lnx,从而 f ′(x)= (x>0).
2 2

x

1 2 由题意知,x1,x2 是方程 2x -bx+1=0 的两个根,故 x1x2= . 2 1 3-b 2 记 g(x) =2x -bx+1,因为 b>3,所以 g( )= <0,g(1)=3-b<0, 2 2 2 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 bxi=2xi+1 (i=1,2). 2 2 2 2 2 x1 x1 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)-(bx1-bx2)+ln =-(x1-x2)+ln . x2 x2 2 1 2 1 因为 x1x2= ,所以 f(x1)-f(x2)=x2- -ln(2x2),x2∈(1,+∞). 2 4x2 2 2 t 1 令 t=2x2∈(2,+∞),φ (t)=f(x1)-f(x2)= - -lnt. 2 2t (t-1) 因为 φ ′(t)= ≥0,所以 φ (t )在区间(2,+∞)单调递增, 2 2t 3 3 所以 φ (t)>φ (2)= -ln2,即 f(x1)-f(x2)> -ln2. 4 4
2 2

????12 分

2x -bx+1 2 方法二:因为 a=1,所以 f(x)=x -bx+lnx,从而 f ′(x)= (x>0).

x

由题意知,x1,x2 是方程 2x -bx+1=0 的两个根. 1 3-b 2 记 g(x) =2x -bx+1,因为 b>3,所以 g( )= <0,g(1)=3-b<0, 2 2 1 所以 x1∈(0, ),x2∈(1,+∞),且 f(x)在[x1,x2]上为减函数. 2

2

9

1 1 b 1 3 b 所以 f(x1)-f(x2)>f( )-f(1)=( - +ln )-(1-b)=- + -ln2. 2 4 2 2 4 2 3 b 3 因为 b>3,故 f(x1)-f(x2)>- + -ln2> -ln2. 4 2 4 (22)解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 曲线 C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 . ????12 分 ????2 分 ????4 分

x2 y 2 ? ?1, 4 3

? x ? 2 cos ? (Ⅱ)由 C2: x2 ? y 2 ? 4 ,可得其参数方程为 ? (θ 为参数) ,点 P 为 ? 2cos ? , 2sin ? ? , ? y ? 2sin ?

因此 PM ? PN ?

? 2cos? ? 0?

2

? 2sin ? ? 3

?

?

2

?

? 2cos ? ? 0?
2

2

? 2sin ? ? 3

?

?

2

? 7 ? 4 3sin ? ? 7 ? 4 3sin ? ,?8 分

? PM

? PN ? ? 14 ? 2 49 ? 48sin 2 ? .

当 sin ? ? 0 时, ? PM ? PN ? 有最大值 28,
2

因此 PM ? PN 的最大值为 2 7 .?10 分 (23)解: (Ⅰ)由 f(x)≤3 得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以?
?a-3=-1, ? ? ?a+3=5,

??2 分

解得 a=2.

????5 分

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|. 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立)得,

g(x)的最小值为 5.
从而,若存在实数 x,使不等式 f ? x ? ? f ? x ? 5? ? m 成立, 即 g(x)min<m,则 m 的取值范围为 ? 5, ?? ? .

????8 分

????10 分

10


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