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MBA数学基本概念与公式合集(最详细、最清晰版)

时间:2016-09-07


颜教练的 MBA 数学——MBA 联考数学知识点系列

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考试大纲及考试题型
一、2016 年数学考试大纲 管理类专业学位联考综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻 辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力,通过问题求解和条件充分性判断两种形式 来测试。 试题涉及的数学知识范围有算术、代数、几何和数据分析方面的内容。 1. 算术部分包括整数及其运算(整除、公倍数、公约数、奇数、偶数、质数、合数)、 分数、小数、百分数、比与比例、数轴与绝对值; 2. 代数部分包括整数及其运算、整式的因式与因式分解、分式及其运算、函数、 (集 合、一元二次函数及其图像、指数函数、对数函数)、代数方程(一元一次方程、一元 二次方程、二元一次方程组)、不等式(不等式的性质、均值不等式、简单绝对值不等 式、简单分式不等式、不等式求解、一元一次不等式(组),一元二次不等式); 3. 数列(等差数列、等比数列); 4. 几何部分包括平面图形(三角形、矩形、平行四边形、梯形、圆与扇形)、空间 几何体(长方体、圆柱体、球体)、平面解析几何(平面直角坐标系、直线方程与圆的 方程、两点间距离公式与点到直线的距离公式); 5. 数据分析部分包括计数原理 (加法原理、 乘法原理、 排列与排列数、 组合与组合数) 、 概率(事件及其简单运算、加法公式、乘法公式、古典概型、贝努里概型); 6. 新增加考点:数据描述(平均值、方差与标准差?、数据的图表表示)、空间几何 体(长方体、圆柱体、球体)。

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二、数学试题的两种题型 在综合能力试题中,第一大题“问题求解” (含 15 个小题)及第二大题“条件充分性 判断” (含 10 个小题)为数学试题,每小题 3 分,共 75 分。 问题求解题的测试形式为单项选择题,要求考生从给定选项 A、B、C、D、E 中按题 目要求选出一项作为解答(选项中只有一项符合题目要求) 。 条件充分性判断的测试形式也是单项选择题,每个小题有一段题干叙述(含假设与结 论或只含结论)及两个条件:条件(1)和条件(2) ,要求判断所给出的条件是否充分支 持题干中陈述的结论,并按以下规则在 A、B、C、D、E 中择一作为解答。 A. 条件(1)充分,但条件(2)不充分。 B. 条件(2)充分,但条件(1)不充分。 C. 条件(1)和(2)单独都不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分。 D. 条件(1)充分,条件(2)也充分。 E. 条件(1)和(2)单独都不充分,且条件(1)和(2)联合起来也不充分。

由上可见,问题求解是作必要性判断,条件充分性判断题是作充分性判断。数学的两 种试题类型,是以简单的数学基础知识为平台作逻辑判断。

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第一章
第一节

算术

实数的概念及运算

一、数的分类与概念

ì ì ì ? ü ? ?正整数? ? ? ? ? ? 自然数( N ) ? ? ? ? ? ? ? Z 整数 0 ( ) ? í ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有理数(Q )? í ? ? ?负整数 ? ? 实数( R )í ? ? ? ì 正分数 ? ? ? ? ? ? 分数 í ? ? ? ? ? ? ?负分数 ? ? ? ? ? ? ? ?无理数(无限不循环小数)
ì ?奇数 整数 ? í ? ? ?偶数 2n ? 1 2n

(n ? Z );

ì 1 ? ? ? 正整数 ? í质数 . ? ? ? ? ?合数

二、质数(素数)与合数 大于 1 的正整数,如果除了 1 和自身之外,没有其他约数的数就称为质数(素数) , 否则就称为合数。 则:最小的质数为 2,最小的合数为 4。 【注】① 1 既不是质数也不是合数; ② 常见 30 以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.

三、奇数偶数运算性质 奇数±奇数=偶数, 奇数±偶数=奇数, 偶数±偶数=偶数; 奇数×奇数=奇数, 奇数×偶数=偶数, 偶数×偶数=偶数。

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【注】① 整数 m 与 m 同奇同偶; ② 整数 x, y ,则 x + y 与 x - y 同奇同偶。

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四、倍数与约数、公约数(最大公约数)与公倍数(最小公倍数) 如果有一个自然数 a 能被自然数 b 整除,则称 a 为 b 的倍数;称 b 为 a 的约数; 几个自然数公有的约数,称为这几个自然数的公约数;公约数中最大的一个公约数, 称为这几个自然数的最大公约数; 几个自然数共有的倍数称为这几个自然数的公倍数;其中除 0 以外最小的一个公倍 数,称为这几个数的最小公倍数。

五、正整数除法中的商数与余数 设正整数 n 被正整数 m 除的商数为 s ,余数为 r ,则可以表示为: n = ms + r ( s 和 r 为自然数, 0 ? r < m ).特例, n 能被 m 整除是指余数 r = 0 . 常见数整除的数字特征: 能被 2 整除的数:个位数字为 0,2,4,6,8; 能被 3 整除的数:各位数字之和必能被 3 整除; 能被 4 整除的数:末两位(个位和十位)数字必能被 4 整除; 能被 5 整除的数:个位数字为 0 或 5; 能被 6 整除的数:同时满足能被 2 和 3 整除的条件; 能被 8 整除的数:末三位能被 8 整除; 能被 9 整除的数:各位数字之和能被 9 整除; 能被 10 整除的数:个位数字为 0.

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六、实数的运算 (1) a ? a = a
m n m+ n

(2) a ? a = a
m n

m-n

(3) a (6) a

( m)
-m

n

= a mn

(4) (ab) = a b
1 n

m

m m

m ?a÷ ? a (5) ? ÷ = m ? ? èb÷ ? b

m

=

1 am
1
n

(7) a =

n

a

(8) a =

m n

n

a

m

(9) a

-

m n

=

am

第二节

比与比例

一、比与比例的概念及关系 1.两个数 a 与 b 之比为 k ,是指 即a :b =

a = k ,记 a : b = k ,称 k 是 a 与 b 的比值。 b

a =k. b a c = . b d
2

2.比例:相等的比称为比例,记作 a : b = c : d 或

特别的:当 a : b = b : c 时,称 b 为 a 和 c 的比列中项,即 b = ac . 3.正比:若 y = kx ( k 不为 0) ,则称 y 与 x 成正比, k 称为比例系数; 反比:若 y =

k ( k 不为 0) ,则称 y 与 x 成反比, k 称为比例系数。 x

4.比值常用百分率表示:称 a 是 b 的百分之 r 是指 a = b ? r % ;

个体量 ?100% ? 个体量 = 总量 ? 个体所占百分比 ; 总量 变后量 - 变前量 ② 变化率 = ?100% ? 变后量 = 变前量 ?(1 + 变化率) ; 变前量
① 个体所占百分比 =

? 现值为a (1 + p %) ③ 增长率 p % ?? ?
原值为a

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下降率 p % ?? ? ? 现值为a (1 - p %)
原值为a

④ 甲比乙大 p % ?

甲 -乙 = p % ? 甲 = 乙?(1 + p %) ; 乙

甲是乙的 p % ? 甲 = 乙 ? p % .

二、比例的基本性质 (1) a : b = c : d ? ad = bc (内项积等于外项积) (2) a : b = c : d ? b : a = d : c ? b : d = a : c ? d : b = c : a

三、比例的基本定理 1.更比定理: 2.反比定理: 3.合比定理: 4.分比定理:

a c a b = ? = ; b d c d a c b d = ? = ; b d a c a c a +b c+d = ? = ; b d b d a c a -b c - d = ? = ; b d b d

5.合分比定理:

a c a ? mc = = ; b d b ? md a c e a+c+e 6.等比定理: = = = . b d f b+d + f

其中:利用等比定理的前提是: a + c + e ? 0 且 b + d + f ? 0 .

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第三节

平均值

a + a2 + a3 +???+ an 1 n 一、算术平均值:给定 n 个数 a1 , a2 , a3 ,???, an ,称:a = ? ai = 1 n i=1 n
为这 n 个数的算术平均值。

二、几何平均值:如果 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,???, an ,称: ag = 的几何平均值。

n

a1 ? a2 ? a3 ??? an 为这 n 个数

三、均值不等式(算术平均值不小于几何平均值) 当两个正数 a , b ,则

a +b 。 ? ab (当且仅当 a ? b 时等号成立) 2

【注】均值不等式运用的 3 个要素:一正、二定、三相等。 常用变形:① a + b ? 2ab ;
2 2

?a + b? ÷ ② ? ÷ ? ab ; ? ? è 2 ÷ ?


2

③ x+

1 ? 2 ( x > 0) ; x

a b + ? 2 ( a ? b > 0) . b a

四、方差、标准差:设 n 个数 a1 , a2 , a3 ,???, an ,且他们的算术平均数为 a ,则
2 2 2ù 1 n 1é s = ? (ai - a) = ê(a1 - a) + (a2 - a) +???+ (an - a) ú , n i=1 n? ?

2

2

1 n 称为这组数据的方差,并称 s = s = ?(ai - a) 为这组数据的标准差。 n i=1
2

2

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第四节

绝对值

一、绝对值的概念 实数 a 的绝对值定义为: | a |= ? í

ì ?a,(a ? 0) ? ? ?-a,(a < 0)

【注】绝对值的几何意义:表示距离。 其中: x = a 表示与原点的距离为 a , 则 x = ?a ;

x - b = a 表示与 b 点的距离为 a ,
则x=b?a。

二、绝对值方程题型及解法: 题型一: f ( x ) = a ? f ( x ) = a 或 f ( x ) = -a ; 题型二: f ( x ) + g ( x ) = a ? 双层绝对值方程,由内而外分类讨论去绝对值求解; 题型三: f ( x ) + g ( x ) = a ? 多个绝对值方程,分区间段讨论去绝对值求解。

三、绝对值不等式题型及解法 题型一: f ( x ) ? a ? f ( x ) ? a或f ( x ) ? -a ; f ( x ) ? a ? -a ? f ( x ) ? a ;

ù é ù ; 题型二: f ( x ) ? g ( x ) ? é ? f ( x )? ? ? g ( x )? (注意平方差公式的运用) ì ? f ( x ) ? -g ( x ) 题型三: f ( x ) ? g ( x ) ? ? (求交集) í ? ? ? f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x) ? f ( x ) ? -g ( x) 或 f ( x ) ? g ( x) (求并集)
【注】此种题型若用画图求解,非常直观。 题型四: f ( x ) + g ( x ) ? a ? 多个绝对值不等式,分区间段讨论去绝对值求解。每个分

2

2

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类区间段求交集,最后求所有分类解集的并集。

四、绝对值的性质 (1)对称性: a = -a ; (2)等价性: a = a , a = a ; (3)自比性: - a ? a ? a ,进而推理可得:
2 2 2

a a

=

?1 a > 0 a ì =? ; í ? 1 a ? a<0 ?

(4)非负性: x ? 0 , x + x ? 0 , x - x ? 0 , 其他具有非负性的因素:平方数(或偶次乘方) ;开偶次根号。 (5)同号异号性质:

x + y = x + y ? xy ? 0 ; x - y = x + y ? xy ? 0 ; x - y < x + y ? xy > 0 ; x - y > x + y ? xy < 0 .
(6)三角不等式: a - b ? a + b ? a + b 其中:左边等号成立条件:ab ? 0 且 a ? b ;右边等号成立条件:ab ? 0 . 推论: a - b ? a - b ? a + b ,此时,左边等号成立条件为 ab ? 0 且 a ? b ;右边 等号成立条件为 ab ? 0 .

五、两个特殊绝对值模型 1、平底锅型: f ( x ) = x - a + x - b ,此种函数表达式,没有最大值,只有最小值。 图像的表现为两头高, 中间平, 类似于平底锅。 且在两个零点之间取得最小值 a - b 。 2、 “Z”字型: f ( x ) = x - a - x - b ,此种函数表达式,既有最大值也有最小值,分 别在零点的两侧取得且两个最值为 ? a - b 。图像的表现为两头平,中间斜。 【注】此种题型利用数形结合求解较为直观。

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第二章
第一节

整式与分式

整式的运算

一、常用的基本公式 1.平方差: a - b = (a + b)(a - b) ;
2 2

2.完全平方和: (a + b) = a + 2ab + b ;
2 2

2

完全平方差: (a - b) = a - 2ab + b ;
2 2

2

? 1? 1 2 ÷ x x 2 ? = ? + 特别的: ? ÷ ? ? è ? x÷ x2
3.十字分解: x + ( p + q ) x + pq = ( x + p )( x + q )
2

2

4.三项和的平方: (a + b + c ) = a + b + c + 2(ab + bc + ac ) ;
2 2 2

2

5.立方和: a + b = ( a + b) a - ab + b
3 3

2 ( 2 ); 3 3 2 2 立方差: a - b = (a - b)(a + ab + b ) ;
n n

6.二项式定理: ( a + b) = a + Cn a
k

1

n-1

2 n-2 2 k n-k k b + Cn a b + ? + Cn a b +? + bn ,

以上展开式共 n + 1 项,其中: Cn 称为二项式系数,且第 k + 1 项展开式的通项为:
k n-k k Tk +1 = Cn a b .

特别的:和的立方: (a + b) = a + 3a b + 3ab + b ;
3 2 2 3

3

差的立方: (a - b) = a - 3a b + 3ab - b .
3 2 2 3

3

7. n 次方的差: a - b = (a - b) a
n n

(

n-1

+ a n-2b + a n-3b 2 +???+ b n-1 ) .

特别的: x -1 = ( x -1) x
n

(

n-1

+ x n-2 +???+ x + 1)

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第二节

整式的除法

一、整式除法的定义 设 f ( x ) 为 n 次多项式, g ( x ) 为 m 次多项式且 m ? n ,将 f ( x ) 被 g ( x ) 除的结果表示为:

f ( x) = g ( x) h ( x) + r ( x) ,
其中: h ( x ) 是 n - m 次多项式,称 h ( x ) 为 f ( x ) 被 g ( x ) 除的商式,

r ( x )是方次低于 m 次的多项式,称 r ( x )为 f ( x )被 g ( x) 除的余式。
特例,若 f ( x ) 被 g ( x ) 除的余式 r ( x ) 等于 0,就称 f ( x ) 能被 g ( x ) 整除。 二、整除定理 1.若 f ( x ) 能被 ( x - a ) 整除 ? f ( x ) = ( x - a )? g ( x ) ? f (a ) = 0 ;

ì ? f (a ) = 0 2.若 f ( x ) 能被 ( x - a )( x - b) 整除 ? f ( x ) = ( x - a )( x - b)? g ( x ) ? ? . í ? f b = 0 ? ? ( )
三、带余除法定理 1.以 x - a 去除多项式 f ( x ) ,其余式 r ( x ) 必为一个常数 r ,且余数必为 r = f (a ) . 2.若 f ( x ) 被 ( x - a )( x - b) 存在余式,则其余式至多为一个一次式,解题时可待定

ì ? f (a ) = ma + n 其余式为 mx + n ,可得 ? . í ? f b mb n = + ? ? ( )

第三节

分式
A 的形式,如果 B 中含有 B

一、分式的概念:用 A,B 表示两个整式, A ? B 就可以表示成 字母,式子

A 就叫做分式,其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。 B

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【注】注意分母 B 不能为 0,且后面分式的各种变形、计算都是在分式有意义( B ? 0 ) 的前提下进行的。

二、分式的基本性质(设以下各式中分母均不为 0) (1)

ka a = (约分) kb b

(2)

a c a ? c a c ad ? cb ; ? = (通分) ? = b b b b d bd
k ?a? a ÷ (5) ? ÷ = k ? ? èb÷ ? b k

a c ac (3) ? = b d bd

a c a d ad (4) ? = ? = b d b c bc

三、分式方程的增根——使得分母为零的根。

四、分式方程无解:情况一:产生增根,即分母为零; 情况二:分式本身无解,即分子不为零。

五、特殊数学方法:待定系数法、整体思想、降幂思想、 “1”的代换。

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第三章
第一节

方程与不等式

方程

一、常考代数方程及其求解 1.一元一次方程:形如 ax + b = 0 (a ? 0) ;其根为 x = -

b . a

ì ?a1 x + b1 y = c1 2.二元一次方程组:形如 ? (其中 a1 与 b1 , a2 与 b2 分别不同时为零) , í ? + = a x b y c 2 2 ? ? 2
① 如果 ② 如果 ③ 如果

a1 b1 ? ,则该方程组有唯一解; a2 b2 a1 b1 c1 = = ,则该方程组有无数组解; a2 b2 c2 a1 b1 c1 = ? ,则该方程组无解。 a2 b2 c2

【注】一元二次方程组可看作为两条直线的位置关系求解,上述三种情况分别对应两条 直线的相交、重合、平行。 3.一元二次方程: ax + bx + c = 0 ( a ? 0 ). (1)根判别式: D = b - 4ac . 方程的解依 D 值的正负号不同分为如下三种情况:
2 2

-b ? b 2 - 4ac ; ① 当 D > 0 时,方程有两个不相等的实根,求根公式为: x1,2 = 2a b ; ② 当 D = 0 时,方程有两个相等的实根 x1 = x2 = 2a
③ 当 D < 0 时,此时方程没有实根。 【注】一元二次方程根的求解方法:先考虑十字分解,再考虑求根公式。 (2)根与系数关系——韦达定理

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ì b ? ? x1 + x2 = ? ? a. 2 ① 设 x1 , x2 是方程 ax + bx + c = 0 ( a ? 0) 的两个根 ? ? í ? c ? x1 ? x2 = ? ? a ? ?
② 韦达定理的对称轮换式变形: (1) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2
2 2 2

(2) | x1 - x2 |= (3)

( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1 x2 (方程两根之差的绝对值)

2

2

1 1 x + x2 + = 1 x1 x2 x1 x2
2 2

(4) x1 - x2 = ( x1 + x2 )( x1 - x2 )

( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 1 1 (5) 2 + 2 = 2 x1 x2 ( x1 x2 )
(6) x1 (7) x1
3

2

+ x23 = ( x1 + x2 )( x12 - x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 + x2 ) éê( x1 + x2 ) - 3x1 x2 ùú
2

?

?

3

- x23 = ( x1 - x2 )( x12 + x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 - x2 ) éê( x1 + x2 ) - x1 x2 ùú
2

?

?

【结论】若方程 ax + bx + c = 0 ( a ? 0) 的两个根分别为 x1 , x2 ,则 ① 方程 ax - bx + c = 0 的两个根分别为 -x1 , -x2 ; ② 方程 cx + bx + a = 0 的两个根分别为
2 2 2

2

1 1 , ; x1 x2 1 1 ,- . x1 x2

③ 则方程 cx - bx + a = 0 的两个根分别为 -

第二节

函数

一、常考函数及其图像性质
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1.一次函数: y = kx + b 其图像为一条直线,其中 k 为其斜率。

k > 0 时,在定义域内为单调递增函数,图像必过第一、三象限; k < 0 时,在定义域内为单调递减函数,图像必过第二、四象限。
2.反比例函数: y =

k x

k > 0 时,在定义域内为单调递减函数,图像过第一、三象限; k < 0 时,在定义域内为单调递增函数,图像过第二、四象限。
3.一元二次函数: f ( x ) = ax + bx + c ( a ? 0 ).
2

一元二次函数图像的三要素: ① 图像开口方向: 由二次项系数 a 的正负号决定: a > 0 时,图像开口向上; a < 0 时,图像开口向下;

b 4ac - b 2 ,且函数在对称轴位置取得最值 , ② 图像的对称轴: x对称轴 = 2a 4a
2 ? ? b 4 ac b ÷ + x+ ÷ ; 函数的顶点式为: y = a ? ? ? è ? 2a ÷ 4a 2

? b 4ac - b 2 ? ÷ 函数的顶点坐标为: ? ÷, ?- , ÷ ? 4a ÷ è 2a ? 4ac - b 2 4ac - b 2 若 a > 0 ,函数有最小值 ;若 a < 0 ,函数有最大值 . 4a 4a
③ 函数图像的纵截距:即函数图像与 y 轴交于 (0, c ) 点。 ④ 常见表达式: a + b + c = f (1) ; a - b + c = f (-1) ; 4a + 2b + c = f (2) .

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第三节

不等式

一、不等式的基本性质 1.反身性: a > b ? b < a ; 2.传递性: a > b, b > c ? a > c ; 3.倒数性: a > b, ab > 0 ?

1 1 < ; a b

4.可加性: a > b ? a + c > b + c ; a > b, c > d ? a + c > b + d ;

a > b, c < d (-c > -d ) ? a - c > b - d ;
; 5.可乘性: a > b, c > 0 ? ac > bc (不等号两边同乘以正数,不等号方向不变)

a > b, c < 0 ? ac < bc (不等号两边同乘以负数,不等号方向改变) ; a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd (正数同向可相乘,不等号方向不变) ; ?1 1 ? 1 1 ÷ a > b > 0, c > d > 0? > > 0 ? a ? > b ? ; ÷ ? ÷ ? èd c ? d c
6.乘方、开方性质: a > b > 0(n ? N ) ? a > b , n a > n b > 0 .
n n

二、一元一次不等式: kx > b ??? x >

k>0

b b k <0 ; kx > b ??? x < . k k

三、一元二次不等式: ,其具体解集情况见下表。 一般形式为 ax + bx + c > 0 ( a > 0 )
2

D = b 2 - 4ac

D>0

D=0

D<0

f ( x ) = ax 2 + bx + c

a>0

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f ( x ) = 0 的根
f ( x ) > 0 的解集 f ( x ) < 0 的解集

x1、 2 =

-b ? D 2a

x1、 2 =-

b 2a

方程无实根

x < x1 或 x > x2
x1 < x < x2

x ?-

b 2a

x 为一切实数
空集

空集

【注】解题时注意结合抛物线图像的分析。 【题型】一元二次不等式恒成立 【解法】 ax ? bx ? c ? 0 恒成立 ? ?
2

?a ? 0 ?a ? 0 2 ; ax ? bx ? c ? 0 恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?? ? 0

四、一元高次不等式:形如 ( x - a )( x - b)( x - c )???> 0 , 在数轴上依次标注各式子的零点, 从右上方画线, 穿线法: 确保 x 前系数均为正数时, 依次穿过每个零点,解集大于取上部分图像,小于取下部分图像。 总结为“自上而下,从右到左,奇次根一穿而过,偶次根一穿不过” 。

五、分式不等式类型

f ( x) g ( x)

> 0 ? f ( x )? g ( x ) > 0 ;

f ( x) g ( x)

< 0 ? f ( x )? g ( x ) < 0 .

【注】① 若不等号改为“ ? ”或“ ? ” ,则只能是分子等于 0、除去分母为 0 情况; ② 不等号右边不为零时,移项通分,再求解。

六、根式不等式类型

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ì f ( x) ? 0 ? ? ? 题型一: f ( x ) > g ( x ) ? ? ; í g ( x) ? 0 ? ? ? ? ? f ( x) > g ( x)

ì ? g ( x) ? 0 ? ? ? ; 题型二: f ( x ) ? g ( x ) ? ? í f ( x) ? 0 ? ? ? f ( x ) ? é g ( x)ù 2 ? ? ? ? ? ì f ( x) ? 0 ì ? ? ? ? f ( x) ? 0 . f ( x) ? g ( x) ? í 或 题型三: í 2 ? ? é ù ? f x g x ( ) ( ) ? ? ? g ( x) ? 0 ? ? ? ?

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第四章

数列

一、数列的基本概念
1.定义:依一定顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫这个数列的项。 数列的一般表达形式为 a1 , a2 , a3 ,???an , an+1 ,??? 或简记为 {an } .

其中: an 叫做数列 {an } 的通项,下标 n 为自然数叫做数列的项数。 如果通项 an 与项数 n 之间的函数关系,可以用一个关于 n 的关系式 f ( n) 表示,则称

an = f (n)为数列 {an } 的通项公式。
2.数列的前 n 项和 S n 即: S n = a1 + a2 +???+ an ,显然有: an = ? í

ì ?a1 ? ? ?Sn - Sn-1

n =1 n?2

二、等差、等比数列性质对比记忆

对比方面 定义 通项公式 1. S n =

等差数列

等比数列

an - an-1 = d an = a1 + (n -1)d
1. S n =

an = q (q ? 0) an-1

an = a1q n-1
a1 - an ? q (q ? 1) 1- q

a1 + an ?n 2 n ? (n -1) 前 n 项和公式 2. S n = n ? a1 + ?d 2 d d = n 2 + (a1 - )n 2 2
公差/公比性质

a1 (1 - q n) 2. S n = 1- q

d=

an - am 或 n-m
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q n-m =

an n-m 或 an = am q am

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an = am + (n - m)d
若项数 m , n , p , q 满足

m + n = p + q ,则
项数性质

若项数 m , n , p , q 满足

am + an = a p + aq .
如:

m + n = p + q ,则 am ? an = a p ? aq .
如:

a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ???

a1 ? an = a2 ? an-1 = a3 ? an-2 = ???

如果 a, b, c 三个数成等差数列,则 如 果 a, b, c 三 个 非 零 数 成 等 比 数

2b = a + c ,称 b 为 a与c 的等差中 列,则 b 2 = ac ,称 b 为 a与c 的等
中项性质 项: 1. 2ar = ar-1 + ar +1 = ar-s + ar +s 比中项: 1. ar = ar-1ar +1 = ar-s ar +s
2

2.如果等差数列项数 2r = m + n , 2 . 如 果 等 比 数 列 项 数 则 2ar = am + an 常用:

2r = m + n ,则 ar 2 = am ? an

Sn =
部分和性质

n(a1 + an ) n(ar + an-r +1 ) = 2 2
当项数满足:

当项数满足:

a + b, c + d , e + f ,??? 成等差数
??? 仍成 列,则 aa ab、ac ad、ae a f 、
等比数列

a + b, c + d , e + f ,??? 等差数列,则 aa + ab , ac + ad , ae + a f ,???
仍成等差数列

a1 + a2 +???+ an ,
阶段和性质

a1 + a2 +???+ an , an+1 + an+2 +???+ a2 n , a2 n+1 + a2 n+2 +???+ a3n ,??? 即 Sn , S2 n - Sn , S3n - S2 n ,??? 也是等

an+1 + an+2 +???+ a2 n , a2 n+1 + a2 n+2 +???+ a3n ,??? 即 Sn , S2 n - Sn , S3n - S2 n ,??? 也是等差
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2

数列(公差为 n d )

比数列(公比为 q )

n

1. a, b, c 即成等差又成等比,则 a = b = c ? 0 ; 2. 已知数列 {an } 为等差数列, 则数列 a 补充性质 公比为 a ; 3.已知数列 {an } 为各项为正的等比数列,则数列 {log a an } 为等差数列, 且其首项为 log a a1 ,公差为 log a q .
d

且其首项为 a { } 是等比数列,
an

a1



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第五章
第一节

排列组合与概率初步

排列与组合

一、基本原理 1.加法原理(分类计数原理) 如果完成一件事有 n 类办法,只要选择其中的任何一种方法,就可以完成这件事。若 在第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二类办法中有 m2 种不同的方法,…,在第 n 类办 法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N = m1 + m2 +???+ mn 种不同的方法。 2.乘法原理(分步计数原理) 如果完成一件事,需要依次连续地分为 n 个步骤,若完成第一个步骤有 m1 种不同的 方法,完成第二个步骤有 m2 种不同的方法,…,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事共有 N = m1 ? m2 ????? mn 种不同的方法。

二、排列与排列数公式 1.排列(无重复排列)的定义 若从 n 个不同的元素中,任取 m ( m ? n )个元素,按照一定的顺序排成的一列,叫 做从 n 个不同元素中任取 m 个元素的一个排列。 2.排列数 若从 n 个不同的元素中取出 m 个元素( m ? n )的所有排列的种数,称为从 n 个不同 元素中取出 m 个不同元素的排列数,记作 Pn 。当 m = n 时,称作 n 个元素的全排列,也
m

叫 n 的阶乘,即 Pn ,通常用符号 n! 表示。 3.排列数公式

n

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Pnm =

n! = n(n -1)(n - 2) ??? (n - m + 1) (n - m)!

4.全排列数

Pnn = n! = n ?(n -1)?(n - 2)????? 2 ?1
5.允许重复的排列 设每次从 n 个不同的元素中任取 1 个,取后放回,共取 m 次,则这 m 个取出的元素 排成一行的不同排法有 n 种。
m

三、组合与组合数公式 1.组合的定义 从 n 个不同的元素中,任意取出 m ( m ? n) 个元素并成的一组,叫做从 n 个不同的元 素中任取 m 个元素的一个组合。 2.组合数 从 n 个不同的元素中,取出 m ( m ? n) 个元素的所有组合的总数,称为从 n 个不同元 素中,取出 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 3.组合数公式
m

Pnm n(n -1)(n - 2) ??? (n - m + 1) n! C = = = m! m! m!(n - m)!
m n

【注】① 两个规定: Cn = 1 , Cn = 1
n

0

② 组合数常用性质: Cn = Cn
m

n-m

, Cn + Cn
m

m-1

m = Cn +1 .

三、常见题型解法汇总 1、两个原理题型: 组建数问题、区域特色问题、路径问题——对特征做好合理的分类、分布求解;

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2、排列题型: ① 特殊元素、特殊位置题型——优先照顾; ② 相邻题型——捆绑法:先将相邻的元素“捆绑”起来视作一个整体元素,然后再考虑 其与其他元素的排列。 ③ 不相邻题型——插空法:先将其他元素排列好,然后结合题意,再将不相邻的元素在 这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。 ④ 人住房题型——幂次式,结果为“房”的“人”次方。 3、组合题型: ①至多至少题型——反面处理或分类讨论; ②容斥型题型——反面处理或分部分讨论; ③分组分配题型——先分组后分配;尤其注意当元素被均分时,务必除以均分组数的阶 乘。 ④名额分配型——隔板法:将 n 个相同元素,分给 m 的个体,若每个个体均不空,则有
m-1 m-1 Cn -1 种分法;若允许个体为空,则有 Cn+m-1 种分法。

⑤ 换座位题型——座位轮换和对调两种情况讨论,记忆法。 ⑥ 取鞋配对题型——注意不同双鞋子的来源即可; ⑦ 其他题型——正难则反、几何特征枚举、枚举找规律。

第二节

概率初步

一、概率事件基本概念及关系 1.必然事件、不可能事件与随机事件 必然事件:每次试验必发生的事件,记为: W 。
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不可能事件:每次试验中都不可能发生的事情,记为: ? 。 随机事件:在试验中可能发生也可能不发生的事件,常用 A , B , C ,…表示。

2.事件的图形表示:利用集合中的Venn 图来表示 ① 将必然事件 W 画为一个矩形。 当随机点落入区域 A 时表示事 ② 将一般的随机事件 A 画为矩形 W 内的一块平面区域, 件 A 发生,当随机点并未落入区域 A 时表示事件 A 不发生。 ③ 将不可能事件 ? 画为空区域,随机点不会落入空区域。 ④ 事件的包含:若事件 A 的发生必然导致事件 B 发生, 则称事件 B 包含事件 A ,记为 A ? B 或 B ? A 。 3.随机事件的运算及图形表示 【事件的运算】设 A 与 B 是两个随机事件 ① 事件的并: A + B 或记 A ? B .

A + B = { A 与 B 中至少有一个发生},
用Venn 图表示为: A 图形与 B 图形的并, 所以 A 加 B 又称 A 与 B 的并。 ② 事件的减法: A - B : 定义为 A - B = { A 发生但 B 不发生}, 用Venn 图表示为:在 A 图形中挖去它与 B 图形的 公共部分。 ③ 事件的交: AB 或 A ? B 定义为 AB = { A 发生 B 也发生} 用Venn 图表示为: A 图形与 B 图形的相交部分,

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所以 AB 也称 A 与 B 的交。 ④ 事件 A 的逆事件或对立事件 A 定义为

A = { A 不发生}, 用Venn 图表示为: 在 W 的矩形中挖去 A 图
形。

4.事件间的相互关系: 设 A, B 为两个随机事件 ① 若事件 A 与事件 B 不能同时发生,即 AB = ? ,则称事 件 A 与事件 B 互斥或互不相容。从Venn 图上看,图形 A 与图形

B 分离。
② 若事件 A 与事件 B 满足 A + B = W ,则称事件 A 与事 件 B 互补。从Venn 图上看,图形 A 与图形 B 的并为必然事件

W。
③ 若事件 A 与事件 B 既互斥又互补,就称事件 A 与 B 互逆或对立,即 A 不发生时必 发生 B , B 不发生时 A 必发生。

A, B 互逆 ? B = A ? A = B .

二、概率的计算 1.常用的概率运算性质 加法公式: 设 A 与 B 是两个随机事件,则 P ( A ? B ) = P ( A) + P ( B ) - P ( A ? B ) 。 特别,当 A 与 B 互不相容即互斥时,成立

P( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ,即 P( A ? B ) = P ( A) + P( B) .

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逆事件概率公式: 记 A 的逆事件即对立事件为 A ,则 P ( A) = 1 - P ( A) 。 特别,因为由德摩根定律: A + B = AB , AB = A + B ,所以有

P( A + B) = 1 - P( AB) , P( AB) = 1 - P( A + B) .
2.三种常见事件的概率计算 ① 等可能事件的概率(古典概率)

【定义】事件满足两个特征: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同; 我们称具有这两个特征的概率称为古典概率模型,简称古典概型。 例如:掷两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率。 取样本空间:{ 甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反 } 这里四个基本事件是等可能发生的,故属古典概型,且所有基本事件个数为 n = 4 ,出现 两个正面的次数为 m = 1 ,则该事件发生的概率为 p = 对于古典概型中任一事件 A 的概率 P ( A) 定义为:

1 . 4

P( A) =

m A包含的基本事件个数 . = n 基本事件的总数

古典概率题型及解法 摸球模型——分母为“人住房”模型 类型一:将不同的球放入不同的盒子,则分子为分组分配模型; 类型二:将相同的球放入不同的盒子,则分子为名额分配模型; 类型三:又放回的摸球,则总数每次都一样; 类型四、无放回的摸球,即抽奖、开密码锁模型——中奖机会均等。
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骰子道具与几何特征模型——特征枚举法 立方体多面涂色模型——大立方体表面涂色,加工成立方数的小立方体中 三面涂色小立方体——8 个顶点处产生,共 8 个 二面涂色小立方体——棱上(非顶点)的数量乘以 12 一面涂色小立方体——每个面中间小立方体的数量乘以 6 没有涂色小立方体——剥去一层皮的内核立方体的数量



相互独立事件的概率:

这样的两个事件叫做相互独立事件。 【定义】 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响, 数学中:随机事件 A 和 B 满足概率关系 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ,就称事件 A 与事件 B 相互 独立。 【性质】若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立。 【注】互斥事件与相互独立事件是有区别的: 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立是指不同试验下, 二者互不影响;两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发 生。

相互独立事件题型及解法 多个体游戏、猜谜题型——注意“至少” 、 “至多”提问的反面或分类; 串并联电路题型——串联“正面正常”考虑; 并联“反面不正常”考虑; 闯关游戏题型——分情况分类讨论



N 次独立重复试验的二项概率公式:

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一般的,在相同条件下重复做的 N 次试验称为 N 次独立重复试验。 【特点】 (1)独立重复试验,是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验; (2)每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果。 “失败”的概率为1 - p 。 每次试验“成功”的概率都 p , 例如,在 3 次独立实验中,实验成功的概率为 p ,求 3 次实验中恰好成功 2 次的概率。 解: P (3 次实验中恰好成功 2 次) = P AAA + P AAA + P AAA

(

)

(

)

(

)

= P ( A) P ( A) P ( A) + P ( A) P ( A) P ( A) + P ( A) P ( A) P ( A) = 3 p 2 (1 - p )
【二项概率公式】在成功率为 p ( 0 < p < 1)的 n 次独立重复试验中恰好成功 m 次的概 率为

Pn (m) = Cnm p m (1- p) n-m
注:对照引出例,公式中

( m = 0,1, 2,???, n ).

Cnm ——对应于: n 次中的 m 次成功有多少种可能性; p m (1 - p ) n-m ——对应于:某 m 次成功而其余 n - m 次失败的概率。
特别的: n 次全成功的概率为: P ( n次全成功) = p ;
n

n 次全失败的概率为: P(n次全失败) = (1 - p ) n .

N 次独立重复题型及解法 几局几胜制比赛——最后一场单独胜,前面场次 N 次独立重重 “至少”题型——反面的“全失败”或“全成功”考虑 打靶、导弹命中率——提炼“至少”

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第六章
第一节

几何

平面几何

一、线与角 【角的平分线性质】角平分线上的一点,到角两边的距离相等。 【线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等。 【平行线中角的定义】对顶角、同位角、内错角与同旁内角 如图所示,一直线与两条平行直线相交所形成的角中: 1. ?1与 ?2 互为对顶角,且 ?1 = ?2 (对顶角相等) 2. ?1与 ?4 互为同位角,且 ?1 = ?4 (两直线平行内错角相等) 3. ?2 与 ?4 互为内错角,且 ?2 = ?4 (两直线平行内错角相等) 4. ?3 与 ?4 互为同旁内角,且 ?3 + ?4 = 180 (两直线平行同旁内角互补) 【平行线比例性质】直线被一组平行线截得的线段成比例
?

二、三角形 【性质】 如右图,任意三角形 ABC 中, 1. 三角形内角和等于180 ,即: ?1 + ?2 + ?3 = 180 。
? ?

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2. 3.

三角形一个外角等于不相邻两内角之和,如

?4 = ?2 + ?3 。

三角形三边关系:任意两边之和大于第三边,即 a + b > c ;任意两边之差小于第

三边,即 a - b < c 。 4. 三角形中位线:三角形两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边边长的一半。 5. 三角形面积公式:

S = ah = p ( p - a )( p - b)( p - c) ,其中: p = (a + b + c) 。
其中: h 是 a 边上的高, p 为三角形的半周长。 6. 三角形四心: 内心:三条内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心) 外心:三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心) 重心:三条中线的交点 垂心:三条高线的交点

1 2

1 2

【三角形分类】 1.直角三角形:有一个内角为直角的三角形。 【勾股定理】 在直角三角形 ABC 中,角 ?C 为直角,则有 c 2 ? a 2 ? b 2 。 常见的勾股数:3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17;9、12、 15 等。 【勾股定理推论】设三角形三边 a, b, c 中最大的为 c ,则

直角三角形 ? c = a + b ;

2

2

2

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锐角三角形 ? c < a + b ; 钝角三角形 ? c > a + b 。 三种情况下,最大边 c 对应的三角形的最大内角分别为直角、锐角和钝角。
2 2 2

2

2

2

【射影定理】直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 角 ?C 为直角, 斜边 AB 上 如图, 直角三角形 ABC 中, 的 高 CD 分 斜 边 为 AD 和 BD 。 则 有 :

CD 2 = AD ? BD BC 2 = BD ? BA .



AC 2 = AD ? AB



2.等腰直角三角形: 两直角边长度相等的直角三角形(有一内角为 45 或 (1)边长比关系:1:1: 2 。 (2)面积公式: S =
? ?

p 的直角三角形) 4

1 2 1 2 a = c ,其中 a 为直角边, c 为斜边。 2 4

3.角为 30 的直角三角形: 其中 30 角所对的直角边边长为斜边边长的一半。则三边边长比关系为:1: 3 : 2 . 4.等腰三角形: 有两个边的长度相等的三角形(或有两个内角相等的三角形) 。底边四线合一。 5.等边三角形(正三角形) : 三角形三个边长度都相等的三角形。面积公式: S = 【两三角形全等、相似】
?

3 2 a ,其中 a 为边长。 4

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1.两个三角形全等: DABC @ DA B C ,其含义为两三角形的大小与形状完全一致。 【性质】 (1)两全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (2)判定两三角形全等的充分条件: ① 两三角形有 2 条边及其夹角对应相等; ② 两三角形有 2 只角及其夹边对应相等; ③ 两三角形的三条边对应相等。 2.两三角形相似: DABC ? DA ' B ' C ' ,其含义是两三角形的图形是放大、缩小关系。 【性质】 (1)以下都是相似三角形的性质 ① 两相似三角形对应边长成比例(称为相似比) ,对应角相等。 ② 两相似三角形的对应线段的比等于相似比 ③ 两相似三角形的周长比等于相似比 ④ 两相似三角形的面积比等于相似比的平方 (2)以下都是两三角形相似的充分条件 ① 两三角形有一个内角对应相等,其两夹边对应成比例; ② 两三角形有 2 组内角对应相等; ③ 两三角形的 3 条边对应成比例。

三、四边形 1.平行四边形:两对对边分别平行的四边形称为平行四边形。 【性质】 (1)平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 (2)一对对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (3)平行四边形的面积为底乘高: S ABCD ? ah

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特例:四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形, 即为菱形。 且菱形的对角线互相垂直、对角线平分顶角。 2.内角都是直角的四边形称为矩形(长方形) 。 【性质】 (1)两对角线相等且互相平分,即

AC = BD = 2 AE = 2 EC = 2 BE = 2 DE
(2)矩形的面积等于长乘宽,即 S ABCD ? CD ? BC ? ab . (3)四边相等的矩形称正方形, 则对角线相互垂直还平分顶角, S ABCD

? a2 .

3.只有一对对边平行的四边形称为梯形,平行的两边称为梯形的 上底与下底,梯形两腰中点的连线 MN 称为梯形的中位线。 【性质】 (1)梯形的中位线: MN ?

1 ( a ? b) 2

(2)梯形的面积等于中位线与高的乘积,即

1 S ABCD ? (a ? b)h 2
【等腰梯形】两腰长度相等(或两底角相等)的梯形。 【性质】 (1)等腰梯形的两条腰相等; (2)等腰梯形在同一底上的两个底角相等; (3)等腰梯形的两条对角线相等; (4)等腰梯形中,若两对角线相互垂直,则该梯形的高与中位线长度相等。

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【直角梯形】有一个角是直角的梯形。

四、圆 【定义】与定点 A 距离等于 r 的平面上动点的轨迹称为以 A 为圆心、半径为 r 的圆。 【性质】如图在圆 O 中,半径为 r ,线段 AB1 , AB2 是过圆外点 A 的两条切线,则 (1)半径为 r 的圆,面积等于 pr ,圆周长等于 2pr ; (2)直径所对的圆周角是直角; (3)弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半; (4)等弧对等角(圆周角、圆心角) ; (5)圆的切线在切点处与半径垂直; (6)从圆外一点所作圆的两根切线相等。即: AB1 = AB2 . 五、扇形
2

q? ? 2p r 扇形的弧长: l = a ? r = 360?

1 q? 扇形的面积公式: S = lr = ? pr 2 ? 2 360
【注】 a 为扇形圆心角的弧度数, q 为圆心角的角度数。 弓形面积: S弓形ACB = S扇 - SDAOB .

第二节

解析几何

一、平面直角坐标系基本概念 1.平面直角坐标系、象限及平面内点的坐标: 表示为: P ( x, y ),其中:

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x 为点的横坐标, y 为点的纵坐标。
象限中的点坐标关系如右图所示。 2.两点间距离公式: 两点 A( x A , y A ) 及 B ( xB , yB ) 间的距离 d 为

d ? ( x A ? xB ) 2 ? ( y A ? y B ) 2 .
特别地:点 P( x, y ) 与坐标原点 O(0, 0) 的
2 2 距离 d 为 d ? x ? y .

3.中点公式: 设 A( x A , y A ) ,B ( xB , yB ) , 则线段 AB 的中点 C ( xC , yC ) 的坐标

1 1 x ? ( x A ? xB ) , yC ? ( y A ? yB ) . 为: C 2 2
4.定比分点: 【分线段的比】

??? ? AP ? 为点 P 分线段 AB 的定比。 若点 P 是线段 AB 或其延长线的一点,则称 l = ??? PB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 其中: AP 与 PB 为有向线段,当 AP 与 PB 的方向一致时, l > 0 ,反之 l < 0 ; ??? ? ??? ? l 的数值为线段 AP 的长度 AP 与线段 PB 的长度 PB 的比值。
【定比分点坐标公式】 设两点 A( x A , y A ) , B ( xB , yB ) ,点 P 是线段 AB 或其延长线的一点,并且分 AB 的定比为

??? ? ??? ? l ,( AP = l PB, 且l ? -1)

则点 P 的坐标为: ? ?

? x A + l xB y A + l y B ? ÷ , ÷ . ? è 1+ l ? 1+ l ÷

二、平面直线 1.直线的倾斜角与斜率:

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?

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?

直线的倾斜角:直线与 x 轴正方向的夹角,记为: a 且 0 ? a ? 180 。 ( a ? 90 ) 。 直线的斜率:反映直线的倾斜程度,记为: k = tan a , 常见直线倾斜角所对应的直线斜率值:
?

a

0?
0

30?

45?
1

60?

120?

135?

150?

tan a

3 3

3

-1

- 3

-

3 3

2.斜率计算公式:经过点 A( x A , y A ) 和 B ( xB , yB ) 的直线 L 的斜率为 k ? tan ? ?

yB ? y A . xB ? x A

3.直线方程的常见形式: 1. 水平直线与竖直直线:

过点 ( x0 , y0 ) 的水平直线为 y ? y0 ;竖直线为 x ? x0 。 2. 直线的点斜式:

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

表示:斜率为 k 且过点 ( x0 , y0 ) 的一条直线。 3. 直线的斜截式: y = kx + b

表示:斜率为 k 且与 y 轴相交于点 (0, b) 的直线, 其中称 b 为直线的纵截距。 4.

y ? yA x ? xA ? 直线的两点式: y B ? y A xB ? x A
yB ? y A xB ? x A ,

求过点 A( x A , y A ) 与 B ( xB , yB ) 的直线方程 因为直线 AB 的斜率为 k ?

把直线 AB 看做经过点 A( x A , y A ) 且斜率为

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k?

yB ? y A xB ? x A 直线,按直线的点斜式,则方程为

y ? yA ?

yB ? y A ( x ? x A ), xB ? x A

常把这一方程写成关于 A 和 B 的对称形式:

y ? yA x ? xA ? yB ? y A xB ? xA ,此时为直线的两点式。
5.

x y 直线的截距式: ? ? 1. a b

表示:直线与

x 轴及 y 轴都相交且直线与
y 轴交于点 (0, b) ,

x 轴交于点 (a, 0) ,与

称 a 为直线的横截距, b 为直线的纵截距。 6. 直线的一般方程: Ax + By + C = 0 ( A 与 B 不全为 0)

若 A ? 0 ,方程则为水平直线 y ? ? 若 B ? 0 ,方程则为竖直直线 x ? ? 若 C ? 0 ,直线经过原点 (0,0) ; 若 B ? 0 ,则方程可改写为 y ? ? 直线的斜率为 k ? ?

C ; B

C ; A

A C x ? ,此时: B B

C A C ,纵截距为 y ? ? ,横截距为: x ? ? . B B A

4.两直线的夹角公式: 设直线 L1 和直线 L2 的斜率分别为 k1 和 k2 , 记 ? 是两直线夹出的锐角,则

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tan ? ?

k1 ? k2 1 ? k1k2

.

【性质】两直线 L1 与 L2 平行(含重合)的充要条件是 k1 两直线 L1 与 L2 互相垂直的充要条件是 k1k2

? k2 ;

? ?1 .

【推论】对于两直线 L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 和 L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 , 若 L1 // L2 ? A1 B2 - A2 B1 = 0 ;若 L1 ^ L2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 . 5.点到直线的距离公式: 设点 ( x0 , y0 ) 是直线 Ax + By + C = 0 外的一个点,则它到直线的距离 d 的计算公式为

d=

Ax0 + By0 + C A +B
2 2



如果 L 取 y = kx + b 形式,则 d ?

y0 ? kx0 ? b 1? k 2

.

【推论】两平行直线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 间距离为 d ? 两平行直线 y = kx + b1 与 y = kx + b2 间距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2



b1 ? b2 1? k 2

.

三、圆的方程 1.圆的标准方程 以 O ( a, b) 为圆心, r 为半径的圆的方程为 ( x - a ) + ( y - b) = r .
2 2 2

形如 x + y + Dx + Ey + F = 0 的方程,称为圆的一般方程。 (以上 D, E , F 必须使方程能化为圆的标准方程,

2

2

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2 2

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? ? D2 + E 2 - 4F D? E? D2 + E 2 - 4F ÷ ÷ ? ? > 0 ). 即: ? x + ÷ + ? y + ÷ = ,当且仅当: ? è ? ? è ? 4 2÷ 2÷ 4
2.直线与圆的位置

方法:通过圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的关系判断 (2)相切 ? d = r ; (3)想离 ? d > r . (1) 相交 ? d < r ; (2) 弦长公式: AB =2 r - d 3.圆与圆的位置
2 2

方法:通过两圆心的距离 d 与两圆半径间的关系判断 (1) 包含 ? 0 < d < R - r ; (2) 内切 ? d = R - r ; (3) 相交 ? R - r < d < R + r ; (4) 外切 ? d = R + r ;

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(5) 相离 ? d > R + r . 四、常用的对称关系: 设点坐标为 ( x, y ) ① 关于 X 轴对称的对称点的坐标为 ( x, - y ) ② 关于 Y 轴对称的对称点的坐标为 (-x, y ) ③ 关于原点对称的对称点坐标为 (-x, - y ) ④ 关于点 ( a, b) 对称的对称点坐标为 (2a - x, 2b - y ) ⑤ 关于直线 y = x 对称的对称点坐标为 ( y , x ) ⑥ 关于直线 y = -x 对称的对称点坐标为 (- y , -x ) ⑦ 关于直线 y = x + m 对称的对称点坐标为 ( y - m, x + m) ⑧ 关于直线 y = -x + m 对称的对称点坐标为 ( m - y , m - x )

第三节

常见空间几何体

【长方体】体积V = abc , 全面积 F = 2(ab + ac + bc ) , 体对角线 d =

a 2 + b2 + c2 .

【圆柱体】圆柱体底面半径为 r ,高为 h , 则:体积 v = p r h ; 侧面积 S = 2p rh ; 全面积 F = 2prh + 2p r . 【球体】 半径为 r 的球体,体积 v =
2
2

4 3 pr ,表面积 s = 4pr 2 . 3
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附:指数函数与对数函数 一、指数函数 ① 指数函数: 一般地,函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域 是 R。 ② 指数函数的图象与性质:
x

a>1

0<a<1



像 图 (1)定义域:R 像 (2)值域: (0,+∞) 性 (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 质 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

二、对数函数 ① 对数及其运算( y = log a N , a > 0 且 a ? 1) (1)对数恒等式: y = log a N ? N = a (2) log a ( MN ) = log a M + log a N
y

;N =a

log a N

,更常用 N = e

ln N

(3) log a (

M ) = log a M - log a N N

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(4) log a M = n log a M
n

(5) log a n M =

1 log a M n log b M lg M = log b a lg a

(6) log a

n

1 M = log a M n 1 log b a

(7)换底公式: log a M = (9) log a 1 = 0 , log a a = 1

(8) log a b = ② 对数函数:

函数 y = log a x(a>0, a≠1) 叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 (0, +?) 。 ③ 对数函数的图象与性质:

a>1

0<a<1





图 像 性 质

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0) ,即 x=1 时,y=0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数

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