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圆锥曲线定点定值的习题

时间:2015-01-31


圆锥曲线的定点定值问题练习题

李远敬

例 1、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 定点坐标为 ( , 0). 例 2 在直角坐标系 xOy 中,点 M 到 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) 的距离之和为 4,点 M 的轨迹 C 与 x 轴的负半轴交于点 A,不过点 A 的直线 l :y=kx+b 与轨迹 C 交与不同的两点 P 和 Q. (1) 求轨迹 C 的方程; (2)当 AP AQ ? 0 时,求 k 与 b 的关系,并证明直线 l 过定点.

2 7

答案: (1)

6 x2 ? y 2 ? 1(2) (? , 0), ( ?2, 0)(舍) 5 4

练习 1.已知离心率为

5 的双曲线 C 的中心在坐标原点,左、右焦点为 F1、F2 在 x 轴上, 2

双曲线 C 的右支上存在一点 A,使 AF 1 ? AF 2 ? 0 且 ?F 1 AF2 的面积为 1。 (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 C 相交于 E、F 两点(E、F 不是左右顶点) ,且以 EF 为直径的圆过双曲线 C 的右顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标 。

10
定点坐标为( 3 ,0) 练习 2.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 e ? 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 S( ?

1 2 2 ,且其中一个焦点与抛物线 y ? x 4 2

1 ,0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平 3 面上是否存在一个定点 T,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T,
若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 定点坐标为(1,0)

例 3 已知椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,长轴的左右端点分别为 A 1 (?2,0), A 2 (2,0) . 2

(1) 求椭圆 C 的方程; (2)设直线 x=my+1 与椭圆 C 交与 P、Q 两点,直线 A1P与A2Q 交 于点 S。试问:当 m 变化时,点 S 是否在一条定直线上?若是,请写出这条直线方

程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。 答案: (1)

x2 ? y 2 ? 1(2)在直线 x=4 上。 4

例 4 已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F (1, 0) 的距离比它到直线 x ? ?2 的距离小 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? ? x ? b 与曲线 C 相交于 A, B 两点, P (1, 2), 设直线 PA、PB 的斜率分别为

k1 , k2 ,
求证: k1 ? k2 为定值. 0

练习 4.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F (0, 2), 且长轴长与短轴的比是 2 :1。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 上在一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值。

x2 y 2 ? ? 1 (2) K AB ? 2 答案(1) 2 4
例 5. 已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为

2 ? 1 ,离心率为 e ?
(1)求椭圆 E 的方程;

2 , 2

(2) 过点 (1,0) 作直线 l 交椭圆 E 于 P、 Q 两点, 试问: 在 x 轴上是否存在一个定点 M, MP MQ 为定值?若存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 答案: (1)

x2 ? y 2 ? 1(2)设直线 L:y=k(x-1),P ? x1 , y1 ? Q ? x2 , y2 ? ,M(m,0), 2
2 2

?1 ? 4m ? 2m ? k 因为 MP MQ ?

? m2 ? 2

2k 2 ? 1
2 2

5 1 ? 4m ? 2m 2 m? ?2, 为定值,所以 4 m2 ? 2

练习 5.已知定点 C(-1,0)及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在点 M,使 MA MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理 由. 答案:y=k(x+1),M(m,0)

m??

7 3

?3m MA MB ?

2

? 6m ? 1? k 2 ? m2 ? 5 3m2 ? 6m ? 1 ?3, , m2 ? 5 3k 2 ? 1

圆锥曲线的定点定值练习题 1 过抛物线 y 2 ? 2 px ( p>0 )上一定点 M ( x0 , y0 ) ? y ? 0? ,作两条直线分别交抛物线于

A( x1 , y1 ) , B ? x2 , y2 ? ,当 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时,则
A.-2 B.2 C.4 D.-4

y1 ? y2 等于()A y0

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点 F 作直线交椭圆于 P、Q 两点,若线段 FP 和 FQ 2 过椭圆 4 a 4a 2 a 2
的长分别为 m、n,则 A.

1 a

B.

1 2a

1 1 ? 等于()C m n 4 C. D. 2 a a

3.若双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 中点,设 a 2 b2
b2 kOM =_____ ? 2 a

AB、OM 的斜率分别为 k AB , kOM , k AB
2

4.已知抛物线 C : y ? 4 x 与直线 l : y ? kx ? b 交于 A, B 两点, O 为坐标原点。 (1)当 k ? 1 ,且直线 l 过抛物线 C 的焦点时,求 | AB | 的值; (2)当直线 OA, OB 的倾斜角之和为 45°时, 求 k , b 之间满足的关系式, 并证明直线 l 过定点。 (-4,-4)

5.已知椭圆的焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x ? 4 y 的焦点,离心率 e ?
2

2 , 5

过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l,交椭圆与 A、B 两点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点,在 x 轴上是否存在一个定点 N,使得 C、B、N 三点 共线?若存在,求出定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由。 答案:(1)

x2 ? y 2 ? 1(2)设直线 L 的方程 y=k(x-2),设 A(x1, y1), C( x 1 , ? y1 ), B ( x ,2 y ) 2 5



2 y1 y2 k ?2 N(x,0), x ? y1 ? y2

5 5 ? 1 ? 2 4 ? 2 ? 5 ? y ? y ? 1 ? 0 ,x= 2 ,存在 N( 2 ,0) k ?k ?
6.已知椭圆的两个焦点 F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) ,过 F1 且与坐标轴不平行的直线 l1 与椭圆 交于 M , N 两点,如果 ?MNF2 的周长等于 8。 (1)求椭圆的方程; (2)若过点 (1,0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P, Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 E ( m,0) , 使 PE ? QE 恒为定值?若存在,求出点 E 的坐标及定值;若不存在,说明理由。 6.1)

x2 ? y2 ?1 4
17 ,0 ) 8
定值

(2) E (

33 64

7. 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

2 5 ,它的一个顶点恰好是抛物线 5

y?

1 2 x 的焦点.(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 直线 l 交椭圆 C 与 A、 4

B 两点,交 y 轴与 M 点, MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值. 答案: (1)

x2 ? y 2 ? 1(2)-10 5
2

MN 为圆 A 在 x 轴 8.如图, 已知圆 A 过定点 B(0, 2) , 圆心 A 在抛物线 C : x ? 4 y 上运动,
上所截得的弦. (Ⅰ)证明: MN 是定值; 4 相离

(Ⅱ)讨论抛物线 C 的准线 l 与圆 A 的位置关系;

(Ⅲ) 设 D 是抛物线 C 的准线 l 上任意一点, 过 D 向抛物线作两条 切线 DS , DT (切点是 S , T ),判断直线 ST 是否过定点,并 证明你的结论. (0,1)

(第 8 题图)


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