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【新】2018年高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3简单线性规划的应用达标练习北师大版必修5

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小中高 精品 教案 试卷

3.4.3 简单线性规划的应用
[A 基础达标] 1.某学校用 800 元购买 A、B 两种教学用品,A 种用品每件 100 元,B 种用品每件 160 元,两 种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A、B 两种教学用品应各买的件数为( A.2 件,4 件 C.4 件,2 件 B.3 件,3 件 D.不确定 )

解析:选 B.设买 A 种教学用品 x 件,B 种教学用品 y 件,剩下的钱为 z 元, 100x+160y≤800, ? ?x≥1, 则? y≥1, ? ?x,y∈N ,


求 z=800-100x-160y 取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3). 2.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装 磁盘.根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( A.5 种 C.7 种 B.6 种 D.8 种 )

60x+70y≤500, ? ? 解析:选 C.设购买软件 x 片,磁盘 y 盒,则?x≥3,x∈N+, 画出线性约束条件表示的平面 ? ?y≥2,y∈N+, 区域,可行域内的整点有(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2)共 7 个整点. 3.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目 2 乙投资的 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元 3 的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个 项目上共可获得的最大利润为( A.36 万元 C.30.4 万元 ) B.31.2 万元 D.24 万元

解析:选 B.设对项目甲投资 x 万元,对项目乙投资 y 万元,

? 2 ?x≥3 y, 则? x≥5, ? ?y≥5.

x+y≤60,

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目标函数 z=0.4x+0.6y.作出可行域如图所示,由直线斜率的关系知目标函数在 A 点取最大 值,代入得 zmax=0.4×24+0.6×36=31.2,所以选 B. 4.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料 需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料 需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能 完成至多 70 箱原料的加工.每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车 间每天总获利最大的生产计划为( )

A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析: 选 B.设甲车间加工原料 x 箱, 乙车间加工原料 y 箱(x, y∈N), 根据题意,得约束条件

x+y≤70, ? ? ?10x+6y≤480, ? ?x≥0,y≥0,
画出可行域如图.目标函数 z=280x+200y, 7 z 即 y=- x+ , 5 200 7 作直线 y=- x 并平移,得最优解 A(15,55). 5 所以当 x=15,y=55 时,z 取最大值. 5.车间有男工 25 人,女工 20 人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组要求有 5 名男工,3 名 女工,乙组要求有 4 名男工,5 名女工,并且要求甲种组数不少于乙种组数,乙种组数不少于 1 组,则要使组成的组数最多,甲、乙各能组成的组数为( A.甲 4 组、乙 2 组 C.甲、乙各 3 组 解析:选 D.设甲种 x 组, B.甲 2 组、乙 4 组 D.甲 3 组、乙 2 组 )

乙种 y 组.则

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? ?3x+5y≤20, x≥y, ?y ≥1, ? ?x∈N ,y∈N
5x+4y≤25,




总的组数 z=x+y,作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分,寻找整点分析,

x=3,y=2 时,为最优解.
6.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有 甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润 之和的最大值为________元. 解析:由题意,设产品 A 生产 x 件,产品 B 生产 y 件,利润 z=2 100x+900y,线性约束条件 为

? ?x+0.3y≤90, x+3y≤600, ?5 x≥0, ? ?y≥0.

1.5x+0.5y≤150, 作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示,又由 x∈N,

y∈N, 可知取得最大值时的最优解为(60, 100), 所以 zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).

答案:216 000 7.小明准备用积攒的 300 元零用钱买一些科普书和文具,作为礼品送给山区的学生.已知科 普书每本 6 元,文具每套 10 元,并且买的文具的数量不少于科普书的数量.那么最多可以买 的科普书与文具的总数是________. 解析:设买科普书 x 本,文具 y 套,总数为 z=x+y. 6x+10y≤300, ? ?x≤y, 由题意可得约束条件为? x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N,

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作出可行域如图中阴影部分整点所示,

?75 75? 将 z=x+y 化为 y=-x+z, 作出直线 y=-x 并平移, 使之经过可行域, 易知经过点 A? , ? ?4 4?
时,纵截距最大,但因 x,y 均属于正整数,故取得最大值时的最优解应为(18,19),此时 z 最大为 37. 答案:37 8.某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品,甲种产品每件体积为 5 m ,重量为 2 吨,运出后, 可获利润 10 万元;乙种产品每件体积为 4 m ,重量为 5 吨,运出后,可获利润 20 万元,集 装箱的容积为 24 m ,最多载重 13 吨,装箱可获得最大利润是________. 解析:设甲种产品装 x 件,乙种产品装 y 件(x,y∈N),总利润为 z 万元,
3 3 3

5x+4y≤24, ? ? 则?2x+5y≤13,且 z=10x+20y.作出可行域,如图中的阴影部分所示. ? ?x≥0,y≥0, 作直线 l0:10x+20y=0,即 x+2y=0.当 l0 向右上方平移时 z 的值变大,平移到经过直线 5x +4y=24 与 2x+5y=13 的交点(4,1)时,zmax=10×4+20×1=60(万元),即甲种产品装 4 件、乙种产品装 1 件时总利润最大,最大利润为 60 万元. 答案:60 万元 9.A,B 两仓库各有麻袋 50 万个、30 万个,现需调运到甲地 40 万个,乙地 20 万个,已知从

A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为 120 元/万个,180 元/万个,从 B 仓库调运到甲、乙两
地的运费分别为 100 元/万个,150 元/万个,怎样安排调运,能使总运费最少?最少总运费为 多少? 解:设从 A 仓库调运 x 万个到甲地,y 万个到乙地,则从 B 仓库调 40-x 万个到甲地,20-y 万个到乙地,总运费记为 z 元,

x+y≤50, ? ?40-x+20-y≤30, 则有? 0≤x≤40, ? ?0≤y≤20,
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z=120x+180y+100(40-x)+150(20-y),
即 z=20x+30y+7 000,作出可行域及直线 l0:20x+30y=0,经平移知直线经可行域上点

M(30,0)时与原点距离最小,即 x=30,y=0 时,z 有最小值,zmin=20×30+30×0+7 000
=7 600(元),即从 A 仓库调运 30 万个到甲地,从 B 仓库调运 10 万个到甲地,20 万个到乙地 总运费最小,其最小值为 7 600 元.

10.雾霾大气严重影响人们的生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品,策划部制定 投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且还要考虑可能出现的亏损,经过市场调查, 公司打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 60%, 可能的最大亏损率分别为 20%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的 资金亏损不超过 1.6 万元. (1)若投资人用 x 万元投资甲项目,y 万元投资乙项目,试写出 x,y 所满足的条件,并在直角 坐标系内作出表示 x,y 范围的图形. (2)根据(1)的规划,投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解:(1)由题意,知 x,y 满足的条件为

x+y≤10, ? ?0.2x+0.1y≤1.6, ?x≥0, ? ?y≥0,
上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界). (2)根据第一问的规划和题设条件,可知目标函数为 z=x+0.6y. 如图所示,作直线 l0:x+0.6y=0. 当直线 l0 经平移过直线 x+y=10 与 0.2x+0.1y=1.6 的交点 A 时,其纵截距最大,解方程组
?x+y=10, ?x=6, ? ? ? 解得? ?0.2x+0.1y=1.6, ?y=4, ? ?

即 A(6,4),此时 z=6+0.6×4=8.4(万元), 所以当 x=6,y=4 时,z 取得最大值. 即投资人用 6 万元投资甲项目,4 万元投资乙项目,才能确保亏损不超过 1.6 万元,且使可能

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的利润最大. [B 能力提升]

11.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、20 元,生产甲产品每件需用 A 原 料 2 kg、B 原料 4 kg,生产乙产品每件需用 A 原料 3 kg、B 原料 2 kg.A 原料每日供应量限额 为 60 kg,B 原料每日供应量限额为 80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于 10 件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( A.500 元 C.400 元 B.700 元 D.650 元 )

解析:选 D.设每天生产甲、乙两种产品分别为 x,y 件,

?4x+2y≤80, ?y-x≤10, 则 x,y 满足? x≥0, ?y≥0, ?x,y∈N.
2x+3y≤60, 利润 z=30x+20y.

不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点,根据目标函数的几何意义, 在直线 2x+3y=60 和直线 4x+2y=80 的交点 B 处取得最大值,解方程组得 B(15,10),代入 目标函数得 zmax=30×15+20×10=650. 12.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送 180 吨支援物资的任务,该公司有 8 辆载重 为 6 吨的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返的次 数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次,每辆卡车每天往返的成本费用为 A 型卡车为 320 元,B 型 卡车为 504 元.每天调配 A 型卡车______辆,B 型卡车______辆,可使公司所花的成本费用最 低. 解析:设每天调出 A 型卡车 x 辆,B 型卡车 y 辆,公司所花的成本为 z 元,依题意有

? ?y≤4, x+y≤10, ?4 ×6x+3×10y≥180(4x+5y≥30), ? ?x,y∈N,
x≤8,
目标函数 z=320x+504y(其中 x,y∈N).
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作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分,即可行域.

由图易知,直线 z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中,点(8,0)使 z=320x+504y 取 得最小值,

zmin=320×8+504×0=2 560(元).
答案:8 0
3

13. 某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂, 流经第一化工厂的河流流量为 500 万 m /天, 在两个化工厂之间还有一条流量为 200 万 m /天的支流并入大河(如图).第一化工厂每天排放 含有某种有害物质的工业废水 2 万 m ;第二化工厂每天排放这种工业废水 1.4 万 m ,从第一 化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前,有 20%可自然净化.环保要求:河流中工业废 水的含量应不大于 0.2%,因此,这两个工厂都需各自处理部分工业废水,第一化工厂处理工 业废水的成本是 1 000 元/万 m ,第二化工厂处理工业废水的成本是 800 元/万 m .试问:在满 足环保要求的条件下,两个化工厂应各自处理多少工业废水,才能使这两个工厂总的工业废 水处理费用最小?
3 3 3 3 3

解:设第一化工厂每天处理工业废水 x 万 m , 2-x 需满足: ≤0.2%,0≤x≤2; 500 设第二化工厂每天处理工业废水 y 万 m ,需满足: 0.8(2-x)+(1.4-y) ≤0.2%,0≤y≤1.4. 700 两个化工厂每天处理工业废水总的费用为 z=1 000x+800y 元. 问题即为:在约束条件
3

3

? 500 ≤0.2%, ?0.8(2-x)+(1.4-y) ≤0.2%, 700 ? 0≤x≤2, ? ?0≤y≤1.4
2-x
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x≥1, ? ?4x+5y-8≥0, 即? 0≤x≤2, ? ?0≤y≤1.4,

求目标函数 z=200(5x+4y)的最小值.如图,作出可行域.可知当 x=1,y=0.8 时目标函数 有最小值,即第一化工厂每天处理工业废水 1 万 m ,第二化工厂每天处理工业废水 0.8 万 m , 能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小. 14.(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮 甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料 甲 乙
3 3

A
4 5

B
8 5

C
3 10

现有 A 种原料 200 吨, B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料. 已 知生产 1 车皮甲种肥料, 产生的利润为 2 万元; 生产 1 车皮乙种肥料, 产生的利润为 3 万元. 分 别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润. 解:(1)由已知,x,y 满足的数学关系式为

? ?8x+5y≤360, x+10y≤300, ?3 x≥0, ? ?y≥0.
4x+5y≤200, 设二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分.

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(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y. 2 z 2 z 考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=- x+ , 这是斜率为- ,随 z 变化的一族平行直线. 为 3 3 3 3 直线在 y 轴上的截距,当 取最大值时,z 的值最大.又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 3 可知,当直线 z=2x+3y 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大. 3
? ?4x+5y=200, 解方程组? 得点 M 的坐标为(20,24). ?3x+10y=300, ?

z

z

所以 zmax=2×20+3×24=112. 即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元.
.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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