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【历年高一数学期末试题】陕西省西安市长安一中2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题

时间:2016-02-29


高一数学试题
注意事项: 1. 本试题卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 100 分钟. 2. 答题前,考生必须将自己的学校、班级、姓名、考号填写在本试题卷指定的位置上。 3. 选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮檫干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 4. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,在草稿纸、本试题卷 上答题无效。 5. 考试结束后,将答题卡交回。

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分)
2 1.若集合 A= x | x ? 1,x ? R , B= y | y ? x ,x ? R ,则 A ? B =( )

?

?

?

?

A.

?x | ?1 ? x ? 1?

B.

?x | x ? 0?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D. ?

2. 已知 m, n 为异面直线 , m ? 平面 ? , n ? 平面 ? , 直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? , 则( ) A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

3.已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( )

1 3

A. (

1 2 , ) 3 3
2

B. [
2

1 2 , ] 3 3

C. (

1 2 , ) 2 3

D. [

1 2 , ] 2 3


4.与⊙C:x +(y+4) =8 相切并且在两坐标轴上截距相等的直线有( A.4 条 B.3 条 C.2 条 D. 1 条

5. 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不 . 可能 等于( .. A. 1 ) B. 2 C.

2-1 2

D.

2+1 2
y

1
O ?1 1 2 x

第 6 题图

6.已知定义在区间 [0, 2] 上的函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 则 y ? ? f (2 ? x) 的图象为( )

y
1
O ?1 1 2 x

y

y

y

1
O ?1 1 2 x

1
O ?1 1 2 x

1
O ?1 1 2 x

A 7.直线 y= (

B

C

D

3 2 2 x 绕原点按逆时针方向旋转 30°后所得直线与圆 (x-2)+y =3 的位置关系是 3
B.直线与圆相交,但不过圆心 D.直线与圆没有公共点

) A.直线过圆心 C.直线与圆相切

8. 设 函 数 y = f(x) 在 ( - ∞ , + ∞) 内 有 定 义 , 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数 ?f?x? f?x?≤K, ? 1 - |x| 取函数 f(x)=2 ,当 K= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为 fk ( x) ? ? 2 ? K f ? x ? > K , ? ( ) A.(-∞,0)
2 2

B.(0,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(1,+∞) )个.

9.圆 x +y +2x+4y-3=0 上到直线 l:x+y+1=0 之距离为 2 的点有( A.1 B.2 C.3 D. 4

10 若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别 位于区间( ) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内

A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ??? 内

11.已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a 3 .若? AB O为直角三角形, 则必有 ( A. b ? a
3

?

?



B. b ? a ?
3

1 a

C. b ? a3 ? b ? a 3 ?

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 ?0 a

12.设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 则有( ) A. [-x] = -[x] B. [2x] = 2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D. [x-y]≤[x]-[y]

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) 13. 函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a, 则 a 的值为
2 2

.

14. 已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点, PA, PB 是圆 x +y -2x-2y+1=0 的两条切线, A、 B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 . 15. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1 C 上的动点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为____________。 16. 如图是正方体的平面展开图.在这个正方体 中,①BM 与 ED 平行 ;②CN 与 BE 是异面直 ... 线 ;③CN 与 BM 成 60°角 ;④DM 与 BN 垂直。以上四个命题中,正确命题的序号是 __________. 17. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存 在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的取值范围为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 5 小题,每小题 13 分, 共 65 分) 18. 设函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)>f(b) ,证明:ab<1.

16 题 图 9—3 (15 题图) 19.若直线 l:x+2y-3=0 与圆 x +y -2mx+m =0 相交于 P、Q 两点,并且 OP⊥OQ ,求实 数 m 的值.
2 2

20.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围; 21 . 在 三 棱 锥 S ? ABC 中 , 平 面 S A B ? 平 面 S B C , AB ? BC , AS ? AB , 过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G C

A B

22.已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1; ③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为

5 ,求该圆的方程. 5

高一数学参考答案及评分标准

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分) 1 C 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 C 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D

二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分)

13.

1 . 2

14.2

2.
4 . 3

15.

1 . 6

16。③④.

17. 0 ? k ?

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 5 小题,每小题 13 分, 共 65 分) 18.证明:方法一:由已知 f(x)=|lgx|= ?

?lg x, (1 ? x ? ?? ) ?? lg x, (0 ? x ? 1).

∵0<a<b,f(a)>f(b) ,∴a、b 不能同时在区间[1,+∞)上,又由于 0<a<b, 故必有 a∈(0,1) ; 若 b∈(0,1) ,显然有 ab<1. 若 b∈[1,+∞ ) ,由 f(a)-f(b)>0,有-lga-lgb>0,故 lgab<0,∴ab<1. 方法二:由题设 f(a)>f(b) ,即|lga|>|lgb|, 上式等价于(lga) >(lgb)
2 2

(lga+lgb) (lga-lgb)>0,lg(ab)lg

a >0, b

由已知 b>a>0,∴

a a <1,∴lg <0,∴lg(ab)<0,0<ab<1 b b
?x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2 ? x ? y ? 2mx ? m ? 0

19. 解:设 p( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,由 ?

消 x 可得

? ?? ? 16(m ? 3)2 ? 20(9 ? 5m) ? 0 ? 9 ? 5m ? 2 ,∴ 5 y ? 4(m ? 3) y ? 9 ? 5m ? 0 ? y1 y2 ? 5 ? 4(3 ? m) ? y1 ? y2 ? ? 5 ?
又由 ?

? x1 ? 3 ? 2 y1 ? x2 ? 3 ? 2 y2
24(3 ? m) 4(9 ? 5m) ? 5 5

可得 x1 x2 ? 9 ? 6( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 9 ? 又由 OP⊥OQ 可得 x1x2 ? y1 y2 ? 0

∴ m ? 18

b ?1 1 ?2 x ? 0 ? b ? 1 ? f ( x) ? 20.解: (1)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 2 , 又由? f (1) ? ? f (?1) 知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 1?
(2)[解法一]由(Ⅰ)知 f ( x) ?

……(5 分)

1 ? 2x 1 1 ?? ? x ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减 x ?1 2?2 2 2 ?1

函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:
2 2 2

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

等 价 于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) , 因 f ( x ) 为 减 函 数 , 由 上 式 推 得 :

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3 ……(8 分)

1 ? 2x [解法二]由(1)知 f ( x) ? .又由题设条件得: 2 ? 2 x ?1

1 ? 2t 2 ? 2t

2

? 2t

2

? 2t ?1

?

1 ? 22 t 2 ? 22 t

2

?k

2

? k ?1

? 0,

即 (22t

2

?k ?1

? 2)(1 ? 2t
?2t ?k

2

?2t

) ? (2t

2

?2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

) ? 0,

整理得 23t

2

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 21.证明:(1)∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA、SB 的中点 ∴EF∥AB

又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC 同理:FG∥平面 ABC 又∵EF 交 FG=F, EF、FG ? 平面 ABC∴平面 EFG // 平面 ABC ………(6 分) (2)∵平面 SAB ? 平面 SBC ,平面 SAB 交平面 SBC =BC AF ? 平面 SAB ,AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC ? 平面 SBC ∴AF⊥BC 又∵ AB ? BC , AB 交 AF=A, AB 、 AF ? 平面 SAB SAB∴BC⊥SA ………(7 分) 22.解:设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r . 令 x=0,得 y -2by+b +a -r =0. |y1-y2|=
2 2 2 2 2 2 2

∴BC⊥平面 SAB 又∵SA ? 平面

( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 2 r 2 ? a 2 =2,得 r2=a2+1 ①
2 2 2 2

令 y=0,得 x -2ax+a +b -r =0, |x1-x2|=

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 r 2 ? b 2 ? 2r ,得 r2=2b2
2 2



由①、②,得 2b -a =1

又因为 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为

5 , 5

得 d=

| a ? 2b | 5 ,即 a-2b=±1. ? 5 5

?2b 2 ? a 2 ? 1, ?2b 2 ? a 2 ? 1 ? a ? ?1 ? a ? 1 综上可得 ? 或? 解得 ? 或? ?b ? ?1 ?b ? 1 ?a ? 2b ? 1; ?a ? 2b ? ?1
于是 r =2b =2. 所求圆的方程为(x+1) +(y+1) =2 或(x-1) +(y-1) =2.
2 2 2 2 2 2


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