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高考数学复习点拨:浅析高考题中求离心率的策略

时间:2013-07-04


浅析高考题中求离心率的策略
求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现.为此,本文结合高考题,介绍求圆锥 曲线的离心率的几种常用方法,以达到更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律,提高分析问 题和解决问题的能力. c 一、根据条件先求出 a,c,利用 e= 求解 a [例 1]若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为( ) 3 2 1 1 A.4 B.3 C.2 D.4 [解析]:由 F1、F2 的坐标知 2c=3﹣1,∴c=1,又∵椭圆过原点,∴a﹣c=1,a+c=3,∴a=2, c 1 c=1,所以离心率 e=a=2.故选 C. [例 2]如果双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线的离心率为( 3 6 3 A. B. C.2 D2 2 2 c 3 [解析]:由题设 a=2,2c=6,则 c=3,e=a=2,因此选 C )

二、根据圆锥曲线的统一定义求解 x2 y2 [例 3]设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂直于 x 轴的弦的长 a b 等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 . [解析]:如图1所示,AB是过F1且垂直于x轴的弦, ∵AD⊥l1于D,∴|AD|为F1到准线l1的距离, 1 |AB| |AF1| 2 1 1 1 根据椭圆的第二定义,e= = = ,即 e= .故填 . |AD| |AD| 2 2 2 图1 三、构建关于 a,c 的齐次等式求解 x2 y2 [例 4]设双曲线a2 ﹣b2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 L 过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直 线的距离为 A.2 3 c,则双曲线的离心率为( 4 B. 3 ) C. 2 D. 2 3 3

[解析]:由已知,直线 L 的方程为 bx+ay -ab=0. ab 3 由点到直线的距离公式,得 = c,又 c2=a2+b2, ∴4ab= 3c2, 2 2 4 a +b 两边平方,得 16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以 a4,并整理,得 3e4-16e2+16=0. 4 c2 a2+b2 b2 2 2 2 解得 e =4 或 e = .又 0<a<b ,∴e =a2= a2 =1+a2 >2, 3 ∴e2=4,∴e=2.故选 A. [例 5]双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1,F2,∠F1MF2=120?,则双曲线的离心 率为( ) 6 6 3 A. 3 B. C. D. 2 3 3 [解析]:如图 2 所示,不妨设 M(0,b),F1(-c,0), F2(c,0),则 |MF1|=|MF2|= c2+b2.又|F1F2|=2c, 在△F1MF2 中,由余弦定理,得
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|MF1|2+|MF2|2﹣|F1F2|2 (c2+b2)+(c2+b2)﹣4c2 1 cos∠F1MF2= ,即 )=cos120?=﹣ , 2 2 2 2 2|MF1|·|MF2| 2 2 c +b · c +b b2﹣c2 1 ﹣a2 1 3 6 2 2 2 ∴ 2 2=﹣ ,∵b2=c2﹣a2,∴ 2 .故选 B. 2=﹣ ,∴3a =2c ,∴e = ,∴e= b +c 2 2c ﹣a 2 2 2 x2 y2 [例 6]双曲线a2 ﹣b2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( ) 3 A.2 B. 3 C. 2 D. 2 c [解析]:由条件易知,双曲线为等轴双曲线,∴a=b,∴c= 2a,∴e= = 2.故选 C. a 四、根据曲线方程列出含参数的关系式,求 e 的取值范围 ? [例 7]设θ ∈(0, ),则二次曲线 x2cotθ ﹣y2tanθ =1 的离心率的取值范围为( 4 1 A.(0, ) 2 1 2 B.( , ) 2 2 C.( 2 , 2) 2 D.( 2,+∞)

)

? [解析]:由 x2cotθ ﹣y2tanθ =1,θ ∈(0, ),得 a2=tanθ ,b2= cotθ ,∴c2=a2+b2=tanθ 4 2 c tanθ + cotθ ? + cotθ ,∴e2=a2= =1+ cot2θ ,∵θ ∈(0, ),∴cot2θ >1,∴e2>2,∴e> 2.故选 tanθ 4 D. 五、构建关于 e 的不等式,求 e 的取值范围 → [例8]如图,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为λ ,双 2 3 曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当 ≤λ ≤ 时,求双曲线离心率e的取值范围. 3 4 [解析]:以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立如图 3 所示的直角坐标系 xOy,则 CD⊥y 轴. 因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、 c 1 D 关于 y 轴对称.依题意,记 A(﹣c,0),C( ,h),E(x0,y0),其中 c= | 2 2 AB|为双曲线的半焦距,h 是梯形的高. c -c+λ · 2 (λ -2)c λ h 由定比分点坐标公式得 x0= = ,y0= . 图3 1+λ 2(1+λ ) 1+λ 2 2 x y c 设双曲线的方程为 2﹣ 2=1,则离心率 e= . a b a c2 h2 由点 C、E 在双曲线上,所以,将点 C 的坐标代入双曲线方程得 2﹣ 2=1①, 4a b c2 λ ﹣2 2 λ h2 将点 E 的坐标代入双曲线方程得 2( ) -( )2 =1 ②. 4a 1+λ 1+λ b2 c e2 h2 h2 e2 e2 λ ﹣2 2 1 2h2 再将 e= ①、②得 ﹣ 2=1,∴ 2= ﹣1 ③, ( ) -( ) =1 ④. a 4 b b 4 4 1+λ 1+λ b2 e2 3 将③式代入④式,整理得 (4-4λ )=1+2λ ,∴λ =1- 2 . 4 e +2 2 3 2 3 3 由题设 ≤λ ≤ 得, ≤1- 2 ≤ .解得 7≤e≤ 10. 3 4 3 e +2 4 所以双曲线的离心率的取值范围为[ 7, 10] .

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