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导与练普通班2017届高三数学一轮复习第十二篇复数算法推理与证明第3节合情推理与演绎推理课件理

时间:2017-03-24


第3节 合情推理与演绎推理

最新考纲 1.了解合情推理的含义,能利用 归纳和类比等进行简单的推理, 了解合情推理在数学发现中的 作用.

2.了解演绎推理的含义,掌握演 绎推理的 “三段论” ,并能运用 “三 段论”进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间 的联系和差异.

知识链条完善
考点专项突破 易混易错辨析

知识链条完善

把散落的知识连起来

【教材导读】 1.归纳推理与类比推理的主要特点是什么? 提示:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是 特殊到特殊的推理. 2.演绎推理的主要形式是什么? 提示:三段论,即大前提、小前提和结论. 3.演绎推理所获得的结论一定可靠吗? 提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才一定是真

实的,错误的前提则可能导致错误的结论.

知识梳理
1.合情推理 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些 特征,推出该类事物的 全部对 . 定义 象都具有这些特征 的推理,或者 由个别事实概括出 一般结论 的 推理 由 部分 到 整体 、由 个别 到 特点 一般 的推理 (1)通过观察个别情况发现某些 一般 相同性质; 步骤 (2)从已知的相同性质中推出一 个明确的一般性命题(猜想) 类比推理

由两类对象具有某些类似特征和 其中一类对象的某些已知特征推 出另一类对象也具有这些特征的 推理
由 特殊 到 特殊 的推理 (1)找出两类事物之间的相似性 或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另 一类事物的性质,得出一个明确 的命题(猜想)

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、 共性 比较、联想,再进行 归纳 、 类比 ,然后提出猜想的推理,它

们得到的结论不一定成立需要进一步证明
2.演绎推理 从 一般性的原理 出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称 为演绎推理,简言之,演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理.“三段论” 是演绎推理的一般模式,包括 (1)大前提—— 已知的一般原理 ;

(2)小前提—— 所研究的特殊情况 ;
(3)结论—— 根据一般原理,对特殊情况做出的判断 .

【重要结论】 1.在演绎推理中,若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的, 所得的结论就是错误的. 2.在演绎推理中,若大前提不明确,可找一个使结论成立的充分条件作为 大前提.

夯基自测
1.下面几种推理是合情推理的是( C ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所 有三角形的内角和都是180°; ③李锋某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分; ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°, 由此得凸n边形内角和是(n-2)· 180°. (A)①② (B)①③ (C)①②④ (D)②④ 解析:①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推理,所以①②④为合情 推理.故选C.

2.下面几种推理过程是演绎推理的是( A ) (A)两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角, 则∠A+∠B=180° (B)某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三所有班 人数均超过 50 人 (C)由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
1? 1 ? * a ? (D)在数列{an}中,a1=1,an= ? n ?1 ? (n≥2,n∈N ),由此归纳出{an}的 2? an ?1 ?

通项公式

解析:两条直线平行,同旁内角互补,(大前提)
∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,(小前提) ∠A+∠B=180°.(结论)

B、C、D选项均不是演绎推理.

3.(2016重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,则预计到第6年 树的分枝数为( D ) (A)5 (B)6 (C)7

(D)8

解析:由题意得,这种树从第一年开始的分枝数分别是1,1,2,3,5,…,则
2=1+1,3=1+2,5=2+3,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第6 年树的分枝数是3+5=8.故选D.

4.(2016 银川模拟)如图,根据图中的数构成的规律,a 所表示的数是 1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5 ?

.

解析:由题意a=12×12=144.
答案:144

5.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2, 则
S1 1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC 的内切球体积 S2 4 V1 = V2

为 V1,外接球体积为 V2,则

.

解析:从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可得如下结论:正四面体的 外接球和内切球的半径之比是 3∶1,故正四面体 P-ABC 的内切球体积 V1 与外接 球体积 V2 之比等于
答案:
1 27

V1 1 1 =( )3= . 27 3 V2

考点专项突破

在讲练中理解知识

考点一 归纳推理(高频考点)
考查角度 1:与数式有关的归纳推理. 【例 1】(1)(2015 青岛模拟)观察下列等式: ×
3 1 1 3 1 4 × =1- 2 , × + 1? 2 2 2 1? 2 2 2?3

1 1 3 1 4 1 5 1 1 =1, × + × + × =1,?,由以上等式推 2 3 2 2 3 3? 2 1? 2 4? 2 2 2 2?3 2 3? 4 2

测到一个一般结论为
解析:(1)观察可得右侧为 1+

1 3 1 4 1 , 左侧为 × + × 1? 2 2 2?3 22 ? n ? 1? 2n

.

n?2 5 1 ? × 3 +…+ × n . 3? 4 2 2 n ? n ? 1? n?2 1 3 1 4 1 5 1 1 答案:(1) × + × 2 + × 3 +?+ × n =11? 2 2 2?3 2 3? 4 2 2 n ? n ? 1? ? n ? 1? 2n
(n∈N*)

(2)(2015 揭阳校级模拟)观察式子:1+ +

1 3 1 1 5 1 1 < ,1+ + < ,1+ + 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3

1 7 < ,?,则可归纳出式子为 . 2 4 4 1 3 1 1 5 1 1 1 7 解析:(2)根据题意,1+ 2 < ,1+ 2 + 2 < ,1+ 2 + 2 + 2 < ,…, 2 2 2 3 3 2 3 4 4

第 n 个式子的左边应该是 1+ 右边应该是

1 1 1 + + … + , 2 2 2 2 3 n

2n ? 1 ,并且 n 满足不小于 2, n

所以第 n 个式子为 1+
答案:(2)1+

1 1 1 2n ? 1 + + … + < (n≥2). 2 2 2 n 2 3 n

1 1 1 2n ? 1 + + ? + < (n≥2) n 22 32 n2

反思归纳

与数字有关的等式、不等式、函数解析式等有关的归纳推理,

解决此类问题时,需要细心观察式子的结构特征,找出其中的变化规律,

推出一个明确表述的一般性结论.

考查角度 2:与图表有关的归纳推理. 【例 2】 (2016 大庆校级模拟)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个 蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个 图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,第六个 图的蜂巢总数为( )

(A)61

(B)90

(C)91

(D)127

解析:由于f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=2×6, f(4)-f(3)=37-19=3×6, f(5)-f(4)=61-37=4×6,… 因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),

所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.
又f(1)=1=3×12-3×1+1,

所以f(n)=3n2-3n+1.
当n=6时,f(6)=3×62-3×6+1=91. 故选C.

反思归纳 与图形变化相关的归纳推理,解决的关键是抓住相邻图形之 间的关系,合理利用特殊图形,找到其中的变化规律,得出结论,可用赋值

检验法验证其真伪性.

考点二 类比推理
【例 3】 设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r, 则 r=
2S ,类比这个结论可知,四面体 S ABC 的四个面的面积分别为 a?b?c

S1,S2,S3,S4,内切球半径为 R,四面体 S ABC 的体积为 V,则 R 等于( (A) (C)

)

V S1 ? S2 ? S3 ? S4 3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

(B) (D)

2V S1 ? S2 ? S3 ? S4 4V S1 ? S2 ? S3 ? S4

解析:设四面体的内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面的距离都是 R,由平 面图形中 r 的求解过程类比空间图形中 R 的求解过程可得四面体的体积等 于以 O 为顶点,分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和.则四面体的体 积为 V= V四面体SABC =
3V 1 (S1+S2+S3+S4)R,所以 R= .故选 C. 3 S1 ? S2 ? S3 ? S4

反思归纳

类比推理的分类及处理方法

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法. (1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型题时,可以 借助原定义来求解; (2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提 出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入 思考两者的转化过程是求解的关键;

(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方
法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.

【即时训练】 数列{an}是正项等差数列,若 bn=

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,则 1? 2 ? 3 ??? n

数列{bn}也为等差数列,类比上述结论,正项等比数列{cn},若 dn= 则数列{dn}也为等比数列.

,

解析:因为根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列和下标 一致的数字倍的和,除以下标的和,所以根据等比数列构造新的等比数列,
2 3 乘积变化为乘方 c1 c2 c3 … c ,原来的除法变为开方 ? c c c ? c

n n

2 3 1 2 3

1 n 1? 2 ? 3 ? ? ? n n

?

n 2 3 (c1 c2 ). c3 … c n

答案: ? c c c ? c
2 3 1 2 3

1 n 1? 2 ? 3 ? ? ? n n

?

考点三

演绎推理
a +bx,其中 a>0,b>0,x∈(0,+∞),试确定 f(x)的单 x

【例 4】 已知函数 f(x)=

调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.
?a ? ? a ? ? a ? ? b? . 解:法一 设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= ? ? bx1 ? - ? ? bx2 ? =(x2-x1)· ? ? x1 ? ? x2 ? ? x1 x2 ?

当 0<x1<x2≤

a a a 时,因为 a>0,b>0,所以 x2-x1>0,0<x1x2< , >b, b x x b 1 2

所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在(0, 当 x2>x1≥

a ]上是减函数; b

a a a >0 时,x2-x1>0,x1x2> , <b,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), b x1 x2 b

? a ? 所以 f(x)在 ? , ?? ? 上是增函数. ? ? ? b ?

法二

因为 a>0,b>0,x∈(0,+≦),
a a +b=0, 得 x= , 2 x b

所以令 f′(x)=当 0<x≤

a a a 时,- 2 ≤-b,所以- 2 +b≤0, x x b

即 f′(x)≤0(仅在 x= 所以 f(x)在(0, 当 x≥

a 时,f′(x)=0), b

a ]上是减函数; b

a a a 时,- 2 +b≥0,即 f′(x)≥0(仅在 x= 时,f′(x)=0), x b b

? a ? 所以 f(x)在 ? , ?? ? 上是增函数. ? b ? ? ?

反思归纳

演绎推理的结构特点

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是 由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断:

第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小
前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一般原理 和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论. (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正 确的大前提.一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分 条件作为大前提.

【即时训练】数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= (1)数列{
Sn }是等比数列; n

n?2 * Sn(n∈N ).证明: n

(2)Sn+1=4an.
证明:(1)因为 an+1=Sn+1-Sn,an+1= 即 nSn+1=2(n+1)Sn.所以 故{
n?2 Sn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), n

Sn ?1 S =2· n , n ?1 n

Sn }是以 2 为公比,1 为首项的等比数列. n S S S n ?1? 2 (2)由(1)可知 n ?1 =4· n ?1 (n≥2),所以 Sn+1=4(n+1)· n ?1 =4· n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

·Sn-1=4an(n≥2),又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,所以对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.

备选例题
【例 1】 (2016 黄冈校级模拟)已知结论:“在△ABC 中,各边和它所对角的正弦 比相等,即
a b c = = ”,若把该结论推广到空间,则有结论:“在三棱 sin A sin B sin C

锥 A BCD 中,侧棱 AB 与平面 ACD,平面 BCD 所成的角为α ,β ”,则有( (A)
BC AD = sin ? sin ?

)

(B)

AD S BC S = (C) ?BCD = ?ACD sin ? sin ? sin ? sin ?

(D)

S ?ACD S?BCD = sin ? sin ?

解析:分别过 B,A 作平面 ACD,平面 BCD 的垂线,垂足分别为 E,F,则∠BAE=α, ∠ABF=β, VBACD =
1 1 1 1 S△ACD·BE= S△ACD·AB·sin α, VABCD = S△BCD·AF= S△BCD 3 3 3 3

1 1 S S ·AB·sin β,又 S△ACD·AB·sin α= S△BCD·AB·sin β,即 ?BCD = ?ACD . sin ? sin ? 3 3

故选 C.

x x * (x>0),且 f1(x)=f(x)= ,当 n∈N 且 n≥2 x?2 x?2 * 时,fn(x)=f[fn-1(x)],则 f3(x)= ,猜想 fn(x)(n∈N )的表达式 为 .

【例 2】 设函数 f(x)=

x x ,fn(x)=f[fn-1(x)](n≥2),所以 f2(x)=f( )= x?2 x?2 x x x ? 2 = x .f3(x)=f[f2(x)]=f( x )= 3x ? 4 = x . x x 3x ? 4 3x ? 4 7x ? 8 ?2 ?2 x?2 3x ? 4 n n 由所求等式知,分子都是 x,分母中常数项为 2 ,x 的系数比常数项少 1,为 2 -1, x 故 fn(x)= n . n 2 ?1 x ? 2

解析:因为 f1(x)=

?

?

答案:

x 7x ? 8

x ? 2n ? 1? x ? 2n

【例3】 (2016青岛模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出 发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的 每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段 两两夹角为120°,?,依此规律得到n级分形图.

(1)n级分形图中共有

条线段;

解析:(1)从分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级 分形图中有3=(3×2-3)条线段,二级分形图中有9=(3×22-3)条线段,三级分 形图中有21=(3×23-3)条线段,按此规律n级分形图中的线段条数为an=3×2n -3(n∈N*). 答案:(1)3×2n-3

(2)n级分形图中所有线段长度之和为

.

1 解析: (2)从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段,所以 n 级 3

分形图中第 n 级的所有线段的长度和为 bn=3×(

2 n-1 ) (n∈N*),所以 n 级分形图中所有 3
n

?2? 1? ? ? 2 2 2 2 3 线段长度之和为 Sn=3×( )0+3×( )1+…+3×( )n-1=3× ? ? =9-9×( )n. 2 3 3 3 3 1? 3 2 n 答案: (2)9-9×( ) 3

2 【例 4】 请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a12 + a 2 =1,那么 a1+a2≤ 2 .

证明:构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) =2x -2(a1+a2)x+1.因为对一切实数 x,恒有
2 f(x)≥0,所以Δ ≤0,从而得 4(a1+a2) -8≤0,所以 a1+a2≤ 2 .根据上述证明方法,

2

2

2

2 2 若 n 个正实数满足 a12 + a 2 +?+ a n =1 时,你能得到的结论为

.

解析:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,由对一 切实数 x,恒有 f(x)≥0.所以Δ≤0,得 a1+a2+…+an≤ n .
答案:a1+a2+?+an≤ n

易混易错辨析

用心练就一双慧眼
归纳不准确致误

【典例】 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个 点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项,如表所示.

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4
)

x5

y5

x6

y6

按如此规律下去,则a2 013+a2 (A)1 004 (B)1 007

014+a2 015等于(

(C)1 011

(D)2 014

解析:a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,…,这个数列的规律 是奇数项为1,-1,2,-2,3,…,偶数项为1,2,3,…,故a2 1 007,故a2
013+a2 014+a2 015=1 013+a2 015=0,a2 014=

007.故选B.

易错提醒:本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的 坐标和数列的对应关系,归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两 种:一是归纳时找不准“前几项”的规律;二是弄错奇偶项的关系.本题 中各个点的纵坐标对应数列的偶数项,并且逐一递增,即a2n=n(n∈N*),各 个点的横坐标对应数列的奇数项,正负交替后逐一递增,并且满足a4n-3+

a4n-1=0(n∈N*),如果弄错这些关系就会得到错误的结果,如认为当n为偶
数时an=n,就会得到a2
013+a2 014+a2 015=2

014的错误结论,而选D.


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