nbhkdz.com冰点文库

【优化方案】2014年高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和配套课件 新人教A版必修5

时间:2013-09-24


2.5 等比数列的前n项和
2.5.1 等比数列的前n项和

学习目标 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 过程. 2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题. 3.进一步提高解方程(组)的能力,以及整体代换 思想的应用能力.

课前自主学案

温故夯基

an+1 1. 数列{an}为等比数列? =q(q≠0 且 n∈N*). an - 2.等比数列{an}的通项公式为 an=a1qn 1(n∈N*).
n?a1+an? 2 3.等差数列的前 n 项和公式是:__________=
1 na1+ n(n-1)d. 2 _______________

知新盖能
等比数列的前n项和公式

课堂互动讲练

考点突破
等比数列前n项和的有关计算

a1-anq a1?1-qn? Sn= , n= S (q≠1)均为等比数列的 1-q 1-q 求和公式,一共涉及 a1,an,Sn,n,q 五个量, 通常已知其中三个,可求另外两个,而且方法就 是解方程组,这也是求解等比数列问题的基本方 法.

在等比数列{an}中, (1)若 a1=1,a5=16,且 an>0,求 S7; (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 5 (3)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S5. 4
【思路点拨】 (1) 由an=a1q
n- 1

例1

― → 求出q ― → 求S7 ― ― 数据 公式

代入

利用

a1?1-qn? n- 1 代入 (2) Sn= ,an=a1q ― → 列方程组 ― 求解 ― → 已知量 1-q (3) 据an=a1qn
-1

― → 列方程组 ― 求a1,q ― 求a4和S5 ― → →

代换

【解】 (1)设数列{an}的公比为 q(q>0), 则有 a5=a1q4=16, a1?1-q7? 1-27 ∴q=2, 数列的前 7 项和为 S7= = 1-q 1-2 =127. a1?1-qn? n-1 (2)由 Sn= ,an=a1q 以及已知条件得 1-q
? a1?1-2n? ?189= , 1-2 ? ? 96=a1·n-1, 2 ?

192 ∴a1· =192,∴2 = . 2 a1 192 n ∴189=a1(2 -1)=a1( -1),∴a1=3. a1 96 n-1 又∵2 = =32,∴n=6. 3 (3)设公比为 q,由通项公式及已知条件得
n n

?a1+a1q2=10, ? ? 5 3 5 ?a1q +a1q = , 4 ? ?a1?1+q2?=10, ? ? 5 3 2 ?a1q ?1+q ?= . ② 4 ?

即 ①

∵a1≠0,1+q2≠0, 1 1 3 ∴②÷ ①得,q = ,即 q= ,∴a1=8. 8 2 13 3 ∴a4=a1q =8×( ) =1, 2 15 a1?1-q5? 8×[1-?2? ] 31 S5= = = . 1 2 1-q 1- 2

变式训练 1 在等比数列{an}中, (1)已知 a1=3, n=96, n=189, n; a S 求 7 63 (2)已知 S3= ,S6= ,求 an. 2 2 a1-anq 解:(1)由 Sn= 可得 1-q 3-96q 189= ,解得 q=2. 1-q 又 an=a1qn-1,∴96=3·n-1,即 2n-1=32, 2

∴n-1=5,即 n=6.

7 63 (2)已知 S6≠2S3,则 q≠1,又∵S3= ,S6= , 2 2
?a1?1-q3? 7 ? = 2 ? 1-q 即? 6 ?a1?1-q ? 63 ? 1-q = 2 ?

① ②

②÷ ①得 1+q3=9,∴q=2. 1 将 q=2 代入①,可求得 a1= , 2 n-1 n-2 因此 an=a1q =2 .

等比数列前n项和的性质

等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中, 公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; a1+a2n+2 ②若共有 2n+1 项,则 S 奇-S 偶= (q≠1 1+q 且 q≠-1).

(2)“片断和”性质:等比数列{an}中,公比为q,前
m项和为Sm(Sm≠0),则Sm,S2m-Sm,S3m-

S2m,…,Skm-S(k-1)m,…构成公比为qm的等比
数列,即等比数列的前m项的和与以后依次m项

的和构成等比数列.

例2

已知等比数列{an}中,前10项和S10=10,

前20项和S20=30,求S30.

【 思 路 点 拨 】 法 二

法 一 : 设公比为q :

→ 根据条件列方程组 → 解出q → 代入求S30 根据题意S10,S20-S10,S30-S20成等比数列 → S10=10,S20=30 → S30

【解】 法一:设公比为 q,则
?a1?1-q10? ? =10 ? 1-q ? 20 ?a1?1-q ? ? 1-q =30 ?

① ②

② 得 1+q10=3,∴q10=2, ①

a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70. 法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又 S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-S20=S30-30= , 10 即 S30=70.

等比数列的综合应用
例3

已知等差数列{an},a2=9,a5=21.

(1)求{an}的通项公式;
(2)令bn=2an,求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 首先求出a1和d,再计算an,由bn

=2an可判断数列{bn}的类型.

【解】

(1)设等差数列{an}的公差为 d,

?a1+d=9, 依题意得方程组? ?a1+4d=21,

解得 a1=5,d=4. 所以{an}的通项公式为 an=4n+1.

(2)由 an=4n+1 得 bn=24n+1, 所以{bn}是首项为 b1=25, 公比为 q=24 的等比数 25×?24n-1? 列.于是得{bn}的前 n 项和 Sn= = 4 2 -1 32?24n-1? . 15

【名师点评】

在解决等差、等比数列的综合题

时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比 数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问 题的关键.

变式训练2

已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,

an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和.
解:设{bn}的前 n 项和为 Sn′, 当 n=1 时,a1=S1=1.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =3-2n, 又∵an=log5bn, ∴bn=53-2n.

bn + 1 5 1 ∵ = 3-2n = ,b1=5, bn 25 5 1 ∴{bn}是以 5 为首项, 为公比的等比数列, 25 1 n 5[1-? ? ] 25 125 1 ∴Sn′= = (1- n). 1 24 25 1- 25

3-2?n+1?

方法感悟
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共 涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和 公比q为基本量,且“知三求二”. 2.在前n项和公式的应用中,要注意对前n项和 公式进行分类讨论,因为q≠1和q=1时有不同的

公式形式,不可忽略q=1的情况.

3.理解等比数列前 n 项和公式与函数的关系. a1?1-qn? a1 a1 n a1 Sn = = - q ,设 a= ,则 1-q 1-q 1-q 1-q Sn=a-aqn,Sn 为一个常数 a 减去 a 与指数函数 的积,即若 Sn=a-aqn,则数列为等比数列. 4.等比数列{an}前 n 项和 Sn(Sn≠0),前 n 项积 T2n T3n Tn, Sn, 2n-Sn, 3n-S2n, 则 S S ?和 Tn, , , ? Tn T2n 都成等比数列.


高中数学第2章2.5.1等比数列的前n项和配套课件新人教A....ppt

高中数学第2章2.5.1等比数列的前n项和配套课件新人教A版必修_数学_高中教育

优化方案高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第2课....doc

【优化方案】 2017 高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和 第 2 课时 数列求和应用案巩固提升 新人教 A 版必修 5 [A 基础达标] ) 1.已知 an=...

....1等比数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5_图....ppt

【优化方案】高中数学 第2章2.4.1等比数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式 学习...

...(人教A版)必修5配套课件:2.5.1 等比数列的前n项和_....ppt

【随堂训练】高中数学(人教A版)必修5配套课件:2.5.1 等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。高中数学(人教A版)必修5配套课件 ...

...第2章2.4.2等比数列的性质课件 新人教A版必修5_图文....ppt

【优化方案】高中数学 第2章2.4.2等比数列的性质课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 等比数列的性质 学习目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通...

...人教版必修5)配套课件:2.5 等比数列的前n项和 第2课....ppt

【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件:2.5 等比数列的前n项和 第2课时 - 成才之路 数学 人教A版 必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 ...

最新高中数学人教A版必修5课件:2.5 等比数列的前n项和.ppt

2.5 等比数列的前n项和 配套精品教学课件/人教版 高中数学(必修五) 授课老师:XX XX XX 授课日期:201X.XX.XX -1- 2.5 等比数列的前n项和 高中数学必修五(...

...人教版必修5)配套课件:2.5 等比数列的前n项和 第1课....ppt

【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件:2.5 等比数列的前n项和 第1课时 - 成才之路 数学 人教A版 必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 ...

...章数列2.5等比数列前n项和教学课件新人教A版必修5_....ppt

河北省宁晋县高中数学第二章数列2.5等比数列前n项和教学课件新人教A版必修5 - 2.5 等比数列前n项和课时 学习目标 体会等比数列前n项和公式的推导过程 ...

...1等比数列的概念及通项公式配套课件新人教A版必修_....ppt

高中数学第2章2-4-1等比数列的概念及通项公式配套课件新人教A版必修 - 2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.掌握等比数列的定义,理解...

...审定人教A版高中数学必修五:2.5.1 等比数列的前、n....ppt

最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 等比数列的前 n 项和 【学习目标】 1.掌握等比数列{ an}前 n 项和公式. 2.通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程...

...第2章2.4.2等比数列的性质课件 新人教A版必修5_图文....ppt

【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.2等比数列的性质课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。高中 数学 课件 2.4.2 等比数列的性质 . 学习目标 1....

...高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5_图....ppt

【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 新人教A版必修5 - 本章优化总结 知识体系网络 本章优化总结 专题探究精讲 知识体系网络 专题探究精讲 数列通...

人教A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和课件(共21....ppt

人教A版高中数学必修2.5等比数列的前n项和课件(共21张PPT) - 高中数学人教A版选修4-5选修4-4选修2-2课件(PPT)

2012高中数学 2.5等比数列的前n项和(第2课时)教案 新人....doc

2012高中数学 2.5等比数列的前n项和(第2课时)教案 新人教A版必修5_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修五 第二章 数列 教案 ...

【优化方案】2014年高中数学人教版必修5 配套课件 第1....ppt

【优化方案】2014年高中数学人教版必修5 配套课件 第1章1.1.1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。优化方案系列丛书 第1章 解三角形课 前自主学案 1.1 正弦...

优化方案高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数....doc

【优化方案】2017 高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第 2 课时 等比数列的性质应用案巩固提升 新人教 A 版必修 5 [A 基础达标] ) 1.已知{an}是公比为...

高中数学 第二章 数列 2_5 等比数列的前n项和(一)课件 ....ppt

高中数学 第二章 数列 2_5 等比数列的前n项和()课件 新人教A版必修5 第二章 数列 §2.5 等比数列的前n项和() 学习 目标 1.掌握等比数列的前n项和...

高中数学 2-5等比数列的前n项和精品课件同步导学 新人....ppt

高中数学 2-5等比数列的前n项和精品课件同步导学 新人教A版必修5_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第二章 解三角形 第五节 等比数列的前n项和 ? 1.理解...

高中数学 251等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5课....ppt

高中数学 251等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5课件 第二章 数列 §2.5...【分析】 (1)本题已知等比数列的前3项和前6项的和,求 通项an,可利用等比...