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2012年北约自主招生--数学(试题及答案)

时间:2013-01-17


2012 年北约自主招生数学试题 1、求 x 的取值范围使得 f ( x) ? x ? 2 ? x ? x ? 1 是增函数;

2、求 x ? 11 ? 6 x ? 2 ?

x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实数根的个数;

3、已知 ( x ? 2 x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的 4 个根组成首项为
2 2

1 的等差数列,求 m ? n ; 4

4、如果锐角 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,求 O 到三角形三边的距离之比;

5、已知点 A(?2,0), B(2,0) ,若点 C 是圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 上的动点,求 ?ABC 面积的最小值。

6、在 1,2,?,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?

7、求使得 sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? a 在 [0, ? ) 有唯一解的 a ;

8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;

9、求证:对于任意的正整数 n , (1 ? 2 ) n 必可表示成 s ? s ? 1 的形式,其中 s ? N ?


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