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宁夏银川市唐徕回民中学2015届高三第四次模拟考试数学(理)试题

时间:2016-07-25


银川唐徕回中 2014~2015 学年度第二学期高三年级四模考试

数学试卷(理科)
(考试时间:120 分钟;满分:150 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第四象限 2.函数 f ? x ? ?
2

? 5i 在复平面内表示的点位于( 2 ? 3i
C.第二象限 )

) D.第一象限

B.第三象限

x ?1 的值域是( x ? 2x ? 2 1 1 A. ( ? , ) 2 2 1 1 C. [ ? , ] 2 2

B. (?? , ? ) ∪ [ , ? ?) D. [ -1,1 ]

1 2

1 2

3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ?d ? 0? ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,则 m 的 值 为( A.12 4.已知样本: 10 8 8 9 6 11 10 9 13 12 8 9 ) C.9.5~ 11.5
3

) B.8 C.6 D.4

10 10

12 11

11 12

7 11

那么频率为 0.2 的范围是( A.5.5~ 7.5
3 4

B.7.5~ 9.5
50

D.11.5 ~ 13.5 ) D. C47 ) D. 6 )
4

5.在 ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ?1 ? x? 的展开式中, x 的系数为( A. C51 6.由曲线 y ? A.
3

B. C50

4

C. C51

4

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的封闭图形的面积为(
B.

16 3

10 3

C. 4

7.设 m , n 是两条不同的直线, ?,? 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( A. m // ?,n ? ?,m // n ? ? ? ?

B. m ? ?,m // n ? n ? ? C. m ? n,n ? ?,m ? ? ? ? ? ? D. m // ?,m ? ?,? ? ? ? n ? m // n 8. 一个算法的程序框图如图所示,如果输入的 x 的值为 2014, 则输出的 i 的结果为( A.3 C. 6 B. 5 D. 8 )

9. 假如清华大学给某市三所重点中学 7 个自主招生的推荐名额, 则每所中学至少分到一个名额的方法数为( A.10 C. 21 B. 15 D. 30 )

10. 函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

?? ?? 1 ? ? cos ? x ? ? ? 在 y 轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为 4? 4? 2 ?
) C. 3? D. 4 ?

P 1, P 2, P 3 ,? ,则 P 2P 4 等于(
A. ? B. 2 ?

11.已知 F1、F2 为双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为双曲线 C 右支上一点,且 a 2 b2 ????? ????? PF2⊥F1F2,PF1 与 y 轴交于点 Q,点 M 满足 F1M ? 3MF2 ,若 MQ⊥PF1,则双曲线 C 的离心率
为( )
2

A.

B.

3

C.

2? 3 2

D.

2? 6 2

12. 设 e ? x ? 10 , 记a ?n l n l? x , ?b g l? g l ,? x n lc?g l ?, 关系( ) B. c ? d ? a ? b

x g ln ld ?

?

?

x?

? 则 a, b, c, d 的大小
D. b ? d ? c ? a

A. a ? b ? c ? d

C. c ? b ? d ? a

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 若等边△ABC 的边长为 1,平面内一点 M 满足 ,则 = .

14.若各项均为正数的等比数列{ an }满足 a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 a19 a20 a21 =________.

?x ? 0 ? 15. 点P( x , y )在不等式组 ? x ? y ? 3 表示的平面区域内,若点P( x , y )到直线 ?y ? x ?1 ?

y ? kx ? 1?k ? 0? 的最大距离为2 2 ,则 k =



16. 已知点 F 为抛物线 y ? ?8 x 的焦点, O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点, A 在抛
2

物 线上,且 AF ? 4 ,则 PA ? PO 的最小值是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 A= (I)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

? 2 5 , cos B ? . 4 5

18. (本小题满分 12 分) 实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核测试,在本次考核中只有合 格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予 10 分降分资格;考核为优秀,授予 20 分降分资 格。假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
2 2 1 、 、 ,他们考核所得的等次相互独立。 3 3 2

(I)求在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率; (Ⅱ) 记在这次考核中甲、 乙、 丙三名同学所得的降分之和为随机变量 ? , 求随机变量 ? 的 分布列和数学期望 E? 。

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折 起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM .

(Ⅰ)求证: AD ? BM ;

A

(Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 . 5

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? 点, ?PF 1 F2 的周长为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 S(4,0)且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 Q,R 两点,点 Q 关于 x 轴的对 称点为 Q1 ,过点 Q1 与 R 的直线交 x 轴于 T 点,试问△TRQ 的面积是否存在最大值?若存在, 求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

1 ,P 为椭圆上任意一 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (Ⅰ)当 a ?
a x?2

25 时,求 f ( x) 的单调递减区间; 4

(Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围;
1 1 1 1 (Ⅲ)求证: ln(n ? 1) ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) 3 5 7 2n ? 1

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 在答题卡涂上题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于 点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证: (Ⅰ) ?DEA ? ?DFA ; (Ⅱ)AB =BE?BD-AE?AC.
2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,直线经过点 P ? ?1,0? ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴非 负半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线 C 的极坐标方程 为 ? 2 ? 6? cos? ? ? ? ? (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点求 x ? y 的取值范围.

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设关于 x 的不等式 log 2 (| x | ? | x ? 4 |) ? a (Ⅰ)当 a ? 3 时,解这个不等式; (Ⅱ)若不等式解集为 R ,求 a 的取值范围.

高三数学(理科)答题卷
成绩:____________

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案
准考证号(学号)_________

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 14. 15. 16.

班级_________

三、解答题:
17.(12 分)

考场号_________ 班级

座位号_________

姓名_________

18.(12 分)

19. (12 分)

A

20. (12 分)

21.(12 分)

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 在答题卡涂上题号. 22 23 24

22 题图

四模数学答案

一.选择题 ACBDC ACABA DC 二.填空题 13, ﹣ 14 . 40 15. 1 16. 2 13
…………2 分

17. (Ⅰ)? cos B ?

2 5 5 ? ? 且 B ? (0 ,180 ) ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? 5 5

3? cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos( ? B) 4
? cos

……………………………………………4 分

3? 3? 2 2 5 2 5 10 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10
1 ? cos2 C ? 1 ? (? 10 2 3 10 ) ? 10 10

…………………………6 分 ……………………8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 由正弦定理得

BC

sin A sin C

?

AB

,即
2 5 2 2 ? AB 3 10 10

,解得 AB ? 6 . ………………………………10 分

在 ?BCD 中, CD2 ? (2 5 ) 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 2 5 ? 18.解:

2 5 ? 5 ,所以 CD ? 5 5

(1)记“甲考核为优秀”为事件 A,“乙考核为优秀”为事件 B,“丙考核为优秀”为事件 C,“甲、 乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. 则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 A BC 与事件 E 是对立事件,于是

1 1 1 17 P ( E ) ? 1 ? P ( A BC ) ? 1 ? ? ? ? . 3 3 2 18 (2) ? 的所有可能取值为 30,40,50,60 .

……4 分

19. 解: (Ⅰ)证明:连接 BM,则 AM=BM= 2 ,所以 AM ? BM 又因为面 ADM ? 平面 ABCM , 面ADM ? 面ABCM=AM

所以, BM ? 面ADM ? BM ? AD

…………4 分

(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz 由(I)可知,平面 ADM 的法向量 m ? (0,1, 0) 设平面 ABCM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

??

?

所以, A( 2, 0, 0), B(0, 2, 0), D(

2 2 , 0, ), M (0, 0, 0) 2 2

??? ? ??? ? 2 2 ???? 2 2 DB ? (? , 2, ? ), DE ? ? DB ? E ((1 ? ? ) , 2? , (1 ? ? ) ) 2 2 2 2
???? ???? 2 2 MA ? ( 2,0,0), ME ? ((1 ? ? ) , 2? ,(1 ? ? ) ) 2 2 ? ???? n ? MA ? 0 ? ? ? ………………………10 分 ? ???? ? ? n ? (0,1 ? ? , ?2? ) n ? ME ? 0 ? ?

二面角 E ? AM ? D 的余弦值为 得, ? ?

5 5

1 ,即:E 为 DB 的中点。 …………………12 分 2

20. 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ……………4 分 4 3

? x ? my ? 4 ? 2 2 (Ⅱ)联立 ? x 2 y 2 消 x 得 (3m ? 4) y ? 24my ? 36 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

? ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 144(m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4
设 Q( x1 , y1 ) , R( x2 , y2 ) ,则 Q '( x1 , ? y1 )

……………6 分

24m ? y1 ? y2 ? ? 2 , (1) ? ? 3m ? 4 由韦达定理有 ? ? y y ? 36 , (2) ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
直线 RQ 的方程为 y ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) ? y1 x2 ? x1

令 y = 0 ,得 x ?

x1 y2 ? x2 y1 (my1 ? 4) y2 ? y1 (my2 ? 4) 2my1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? ? y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

将(1) , (2)代人上式得 x = 1 ,………………9 分 又 S?TRQ ?

1 3 | ST || y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2
=

3 ?24m 2 4 ? 36 ( 2 ) ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 m2 ? 4 3m2 ? 4

= 18 ?

=18

m2 ? 4 3(m2 ? 4) ? 16
1 3 m2 ? 4 ? 16 m2 ? 4

=18

?

3 3 4

当m =
2

28 时取得. …………12 分 3

21. (Ⅰ) 当 a ?

25 4x 2 ? 9x ? 9 (4 x ? 3)(x ? 3) 时 f ' ( x) ? ? 2 4 4( x ? 1)(x ? 2) 4( x ? 1)(x ? 2) 2

3 ? f ( x) 的单调递减区间为 ( ? ,3) …………4 分 4 a ? 1 得 a ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ln(x ? 1) (Ⅱ) 由 ln( x ? 1) ? x?2
记 g ( x) ? ( x ? 2)?1 ? ln(x ? 1)?

g ' ( x) ? 1 ? ln( x ? 1) ?
' 当 x ? 0 时 g ( x) ? 0

x?2 1 ? ? ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1

? g ( x) 在 (0,??) 递减

又 g (0) ? 2 ? ?1 ? ln1? ? 2

? g ( x) ? 2 ( x ? 0)
x x?2

?a ? 2

………… 8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ln( x ? 1) ?

2 ? 1 ( x ? 0) x?2

? ln( x ? 1) ?

1 1 1 k ?1 1 )? 取 x ? 得 ln( ? 1) ? k 即 ln( 1 k k 2k ? 1 k ?2 k 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ??? …………12 分 ? ln ? ln ? ln ? ? ? ln 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1

22 证明: (1)连结 AD 因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆 ∴∠DEA=∠DFA 又△ABC∽△AEF …………5 分 (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF

AB AC ? AE AF ∴ 即:AB?AF=AE?AC
∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) =AB^2 …………10 分

24.(1) a

? 3, log 2 (| x | ? | x ? 4 |) ? 3 ? log 2 (| x | ? | x ? 4 |) ? log 2 8

| x | ? | x ? 4 |? 8 当 x ? 4
当0 ?

x? x?4?8

得: x ? 6

x ? 4 x ? 4 ? x ? 8 不成立 当 x ? 0 ?x ? 4 ? x ? 8 得: x ? ?2
∴不等式解集为 {x | x ? ?2或x ? 6} (2) | x | ? | x ? 4 |?| x ? 4 ? x |? 4 ∴ log 2 (| x | ? | x ? 4 |) ? log 2 4 ? 2 ∴若原不等式解集为 R ,则 a ? 2 …………10 分 …………5 分


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