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贵州省遵义市第四中学2015届高三数学上学期第三次月考试题 理

时间:2015-03-10

贵州省遵义市第四中学 2015 届高三数学上学期第三次月考试题 理
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知复数 z ?

(A) 2 ? i (D) ? 2 ? i 2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

1 ? 2i ,则它的共轭复数 z 等于 i5 (B) ?2 ? i (C) 2 ? i

(

)

)

3.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 4,则 P 的取值范围是





(A)

7 15 ?P? 8 16 15 (B) P ? 16
(B) (C)

7 15 ? p? 8 16

(D)

3 7 ? p? 4 8

4.若 “ 0 ? x ?1” 是 “ ( x ? a )[ x ? ( a ? 2)] ? 0 ” 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是 (


-1-

(A) ( ??,0] [1, ??) (C) [?1,0]

(B) ( ?1,0) (D) ( ??, ?1) (0, ??) ( (D) y ? x ? ) (A)

5.下列函数中, 既是奇函数又存在极值的是

y ? x3

(B) y ? ln(? x)

(C) y ? xe? x

2 x

6.某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社会活动, 如果要求至少有 1 名女生. 那 么不同的选派方法共有 21cnjy.co m( ) (A)14 种 (B)28 种 (C)32 种 (D)48 种 7.若把函数 y ? sin ? x ( ? ? 0 )的图象向左平移 则 ? 的值可能是 (A)
1 3

(B)

1 2

? 个单位后与函数 y ? cos?x 的图象重合, 3 ( ) 3 2 (C) (D) 2 3

8.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 的直线 a 2 b2
( (D) 2 (
8?5 2 9

交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 (A) 3 (B) 5 (C) 6

)

9.设 AB ? 1 ,若 CA ? 2 CB ,则 CA ? CB 的最大值为 (A)
1 3

)

(B)2

(C)

(D) 3

? ? 10. 已知 f ( x)( x ? R,且 x ? k

?
2

( k ? Z))是周期为 ? 的函数,当 x ? ( ?

? ? , )时, 2 2
( )

f ( x) ? 2 x ? cos x. 设 a ? f (?1), b ? f (?2), c ? f (?3) 则
(A)c<b<a (B)b<c<a (C)a<c<b (D)c<a<b

x y 11.已知点 p ( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 3 上移动,当 2 ? 4 取得最小值时,过点 p ( x, y ) 引圆

1 1 1 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ? 的切线,则此切线长为 2 4 2
(A)

(

)

6 2

(B)

3 2

(C)

1 2

(D)

3 2

12. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点按从小到大的 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
( (D)45 )

顺序排列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 = (A) 2
10

?1

9 (B) 2 ? 1

(C)55

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
-2-

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

?2 x ? y ? 0, ? 13.若实数 x 、 y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3,则实数 b = ? y ? ? x ? b, ?
14. (a ? 2 x ? 3 x )(1 ? x) 的展开式中一次项的系数为 ? 3 ,则 x 的系数为
2 5
5

15.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径 r= 此结论类比到空间有________________________ 16.给出以下四个命题: ①若函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 的图象关于点 (1, 0) 对称,则 a 的值为 ?3 ;
3 2

a2+b2
2

,将

1 ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 是以 4 为周期的周期函数; f ( x) 1 ③在数列 {an } 中, a1 ? 1 , Sn 是其前 n 项和,且满足 S n ?1 ? S n ? 2 ,则数列 {an } 是等比数 2
②若 f ( x ? 2) ? 列; ④函数 y ? 3x ? 3? x ( x ? 0) 的最小值为 2. 则正确命题的序号是 。

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17(本小题满分 12 分) 已知数列 ? an ? ,? bn ? , 满足a1 ? 2,2an ? 1 ? an .an?1 , bn ? an ? 1(bn ? 0). (I)求证数列 {

1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; bn
, 求数列 ?c n ?的前 n 项和 S n .

(II)令 cn ? bn bn?1

-3-

19. (本小题满分 12 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩共分五组, 得到频率分布表如下表所示。

(I)请求出①②位置相应的数字,填在答题卡相应位置上,并补全频率分布直方图; (II)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的 方法抽取 12 人进入第二轮面试,求第 3、4、5 组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试; 假定考生“XXX”笔试成绩为 178 分,但不幸没入选这 100 人中,那这样的筛选方法对该 生而言公平吗?为什么? (III)在(II)的前提下,学校决定在 12 人中随机抽取 3 人接受“王教授”的面试,设 第 4 组中被抽取参加“王教授”面试的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

-4-

20. (本小题满分 12 分) 已知 F ,0), F2 (1,0), 线段PF PF2的 垂直平分线与 PF1 交于 Q 点. 1 (?1 1 ? 4, 线段 (I)求 Q 点的轨迹方程; (II)已知点 A(-2,0) , 过点 F2 且斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与 Q 点的轨迹相交于 E , F 两 点,直线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的斜 率为 k ? .求证: k ? k ? 为定值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln

x . a

(I)若曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线为 x ? y ? 1 ? 0 ,求 a 的值; (II)设 g ( x) ?

x?a ax

, a ? 0 ,证明:当 x ? a 时, f ( x ) 的图象始终在 g ( x) 的图象的下方; ( e 为自然对数的底数) ,h' ( x ) 表示 h( x) x ? g ( x)] ,

(III) 当 a ? 1 时, 设 h( x) ? f ( x) ? e[1 ?

-5-

导函数, 求证: 对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,x1 ? x2 , 存在唯一的 x 0 ? ( x1 , x2 ) , 使直线 AB 的斜率等于 h' ( x0 ) .

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 切线 AB 与圆切于点 B ,圆内有一点 C 满足 AB ? AC , ?CAB 的平分线 AE 交圆于 D , E , 延长 EC 交圆于 F ,延长 DC 交圆于 G ,连接 FG . (Ⅰ)证明: AC // FG ; (Ⅱ)求证: EC ? EG .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为(1, - 5) ,点 M 的极坐标为(4,

π π ) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心,4 2 3

为半径. (Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (II)试判定直线 l 与圆 C 的位置关系.

-6-

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 xf ( x) ? 3 ? 0 ; (Ⅱ)对于任意的 x ? (?3,3) ,不等式 f ( x) ? m ? x 恒成立,求 m 的取值范围.

-7-

数学(理科)答案 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 C 5 D 6 A 7 C 8 A 9 B 10 C 11 A 12 D

二、填空题: 15.在三棱锥 A—BCD 中,若 AB、AC、AD 两两互相垂 a2+b2+c2 直,且 AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥的外接球半径 R= 16①,② 2 13.9/4; 14.39; 三、解答题: 17.

18.解析: (1)? EF // 平面 ABCD ,且 EF ? 平面 EFAB , 又? 平面 ABCD ? 平面 EFAB ? AB , ? EF // AB (线面平行的性质定理). 又 M , N 是平行四形 ABCD 两边 AD, BC 的中点,? MN // AB ,? EF // MN ,

? E, F , M , N 四点共面.

????????? 2 分

-8-

? FN ? 平面EFNM ? ? FB ? FC ,? BC ? FN ,又? BC ? MN ,且 ? MN ? 平面EFNM , ? FN MN ? N ?

? BC ? 平面 EFNM . ??. 4 分 ? BC ? 平面 EFNM , (2)在平面 EFNM 内 F 做 MN 的垂线, 垂足为 H ,则由第 (1)问可知: 则平面 ABCD ? 平面 EFNM ,所以 FH ? 平面 ABCD ,
又因为 FN ? BC, HN ? BC ,则二面角 F ? BC ? A 的的平面角为 ?FNH ????..6 分 在 Rt ?FNB 和 Rt ?FNH 中,

FN ? FB2 ? BN 2 ? 68 , HN ? FN cos ?FNH ? 68 ?
FH ? 8

17 ?2 17

??????????????????6 分

过 H 做边 AB, CD 的垂线,垂足为 S , Q ,连接, FN , FS, FQ ,

解法一 由作图可知, AB ? SQ, AB ? FH ? AB ? 平 面 FSQ ,

面 FSQ, 由第(1)问, EF // AB ,? EF ? 平

-9-

? ?SFQ 是要求二面角 B ? EF ? C 的平面角.
在 ?SFQ 中, tan ?FSQ ? tan ?FQS ?

??.9 分

8 ? 4, 2

? tan?SFQ ? tan( ? ? ?FSQ ? ?FQS) ? ?
? cos ?SFQ ?

tan?FSQ ? tan?FQS 8 ? , 1 ? tan?FSQ? tan?FQS 15

15 15 ,即二面角 B ? EF ? C 的余弦值是 . ????.12 分 17 17

解法二 以 H 为坐标原点,以 HS , HN , HF 方向为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系,则由 解法一知: F (0,0,8) , S (2,0,0) , N (0,2,0) , B(2,2,0) 则 SF ? (?2,0,8) , SB ? (0,2,0) , 设平面 ABEF 的一个法向量为 n1 ? ( x, y,1) , 则由
? ? ?

?? ? ? ?? 2 x ? 8 ? 0 ?SF? n1 ? 0 ?? ? n1 ? (4,0,1) , ?? ? ? 2y ? 0 ? ? SB? n1 ? 0
?

???????.9 分

同理可求得设平面 CDEF 的一个法向量为: n 2 ? ( ?4,0,1) (也可根据对称性求得), ?????? 于是有: cos ? n1 , n 2 ??
? ?

10 分

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |
? ?

?

?

?

? 16 ? 0 ? 1 16 ? 1 ? 16 ? 1

?

? 15 , 17

根据法向量的方向,设二面角 B ? EF ? C 的平面角为 ? ,

15 ??????.12 分 17 19. (1)由题意知, 5 组频率总和为 1,故第 3 组频率为 0.3 ,即①处的数字为 0.3 ;?1 分 总的频数为 100 ,因此第 4 组的频数为 20 ,即②处数字为 20 ??2 分
则 cos ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? 频率分布直方图如下:

?

?

- 10 -

4 5 组共 60 名学生,现抽取 12 人,因此第 3 组抽取的人数为: (2)第 3、、

30 ? 12=6 人,第 60

20 10 ? 12=4 人,第 5 组抽取的人数为: ? 12=2 人. ??7 分 60 60 公平:因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取 100 人,每个人被抽到的概率是相同

4 组抽取的人数为:

的. ??????8 分(只写“公平”二字,不写理由,不给分) (3) ? 的可能取值为 0、 1、、 2 3.

P(? ? 0) ?

3 C8 14 ? 3 C12 55 1 2 C8 C4 12 ? 3 C12 55

P(? ? 1) ?

1 C82C4 28 ? 3 C12 55 3 C4 1 ? 3 C12 55

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

? 的分布列为:
?
0
14 55

1
28 55

2
12 55

3
1 55
??12 分

P
? E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 55 55 55 55

19. 解: (1)已知 F1 (?1,0), F2 (1,0), 由于 PF 1 ? PQ ? QF 1, 的椭圆 故所求 Q 点方程为

PF1 ? 4,

PF2 的垂直平分线与 PF1 交于 Q 点,

PQ ? QF2 所以 QF1 ? QF2 ? 4? 2 , 即 Q 点是以 F1 F2 为焦点
??????2 分

x2 y2 ? ? 1. 4 3

?????3 分

- 11 -

(1) 设过点 F2 (1,0) ) ,设点 E ( x1 , y1 ) , ,且斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 方程为 y ? k ( x ? 1 点 F ( x2 , y2 ) , ??4 分 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1, 4 3
???.5 分

整理得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,

因为点 P 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ? 0 恒成立, 且 x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x 2 ?

4k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

?????6 分

直线 AE 的方程为 y ?

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为 y ? ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 y ) ,点 N (3, 2 ) , x1 ? 2 x2 ? 2

所以点 P 的坐 (3, (

y 1 y1 ? 2 )) ??8 分 2 x1 ? 2 x2 ? 2

y2 1 y1 ( ? )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 y2 1 y / 直线 PF2 的斜率为 k ? ? ( 1 ? )? 3 ?1 4 x1 ? 2 x2 ? 2
1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k . ? ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
???10 分

8k 2 , 将 x1 ? x 2 ? 4k 2 ? 3

4k 2 ? 12 x1 x 2 ? 代入上式得, 4k 2 ? 3

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 2 2 1 3 / 4 k ? 3 4 k ? 3 k ? ? ?? . 2 2 4k ? 12 8k 4 4k ? 2? 2 2 4k ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ? 为定值 ? . ????12 分 4 1 1 21. 解析:(1) f '( x ) ? ,此时 f '(1) ? 1 ,又 f (1) ?ln ,所以曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处 x a 1 1 的切线方程为 x ? y ? 1 ? ln ? 0 ,由题意得, ?1 ? ln ? ?1 , a ? 1 . ??? 2 分 a a 2?

- 12 -

(2) ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ln a ?

x?a ax

, ( x ? a). 则 ? ?( x) ? ?

( x ? a )2 ? 0. 2 x ax

? ? ( x) 在 (0,??) 单调递减,且 ? (a) ? 0.

? 当 x ? a 时, ? ( x) ? ? (a) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) , ? 当 x ? a 时, f ( x) 的图像始终在 g ( x) 的图象的下方.
(3) 由题, h( x) ? ln x ? ex . ∵ h' ( x0 ) ? k AB ,∴ 即 x0 ln ????? 5分

x ? x1 x ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 ,∴ 2 ? ln 2 ? 0 , ?e ? x0 x1 x0 x2 ? x1
?????????7 分

x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 , x1

x2 ? ( x2 ? x1 ) ,则 ? ( x) 是关于 x 的一次函数, x1 故要在区间 ( x1 , x 2 ) 证明存在唯一性, 只需证明 ? ( x) 在上满足 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 .下面证明之: x x ? ( x1 ) ? x1 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , ? ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , x1 x1 为了判断 ? ( x1 ),? ( x2 ) 的符号,可以分别将 x1 , x 2 看作自变量得到两个新函数 ? ( x1 ),? ( x2 ) ,
设 ? ( x) ? x ln 讨论他们的最值:

? ( x1 ) ? x1 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ,将 x1 看作自变量求导得 ? ' ( x1 ) ? ln 2 ? 0 , x1 x1

? ? ( x1 ) 是 x1 的增函数,
∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? x2 ln 同理: ? ( x2 ) ? x2 ln

x2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ; x2

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ,将 x 2 看作自变量求导得 ? ' ( x2 ) ? ln 2 ? 0 , x1 x1

? ? ( x2 ) 是 x 2 的增函数,
∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x2 ) ? ? ( x1 ) ? x1 ln ∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,

x1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 ; x1

x2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 ,??..11 分 x1 x x x 又 2 ? 1,? ln 2 ? 0 ,函数 ? ( x) ? x ln 2 ? ( x 2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1 x ∴函数 ? ( x) ? x ln 2 ? ( x 2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,从而命题成立.?12 分 x1
∴函数 ? ( x) ? x ln 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
- 13 -

1 ? ? ? x ? 1? t x ? 1 ? cos ? t ? ? 2 ? ? 3 ?? 23、解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) ? y ? ?5 ? sin ? ? t ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 3 ? ? 2

M 点的直角坐标为(0,4)
圆 C 方程

x2 ? ( y ? 4)2 ? 16

得?

得圆 C 极坐标方程

? ? 8sin ? ????????????????????(5 分)
?4 ? 5 ? 3 2 9? 3 ?4 2

? x ? ? cos ? 代入 ? y ? ? cos ?

(II)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 圆心 M 到 l 的距离为 d ?

?

∴直线 l 与圆 C 相离. ?????????????????????????(10 分) 24.解: (Ⅰ)原不等式等价于 x x ? 2 ? 3 ? 0

?x ? 2 ? 0 ?? ? x ? (2 ? x) ? 3 ? 0

或?

?x ? 2 ? 0 ? x( x ? 2) ? 3 ? 0

?1 ? x ? 2 或 x ? 2 解得 ∴不等式解为 (-1,+ ? ).???????????????????????(5 分)
(Ⅱ) f ( x) ? m ? x ? f ( x) ? x ? m

x?2 ? x ? m

(?3 ? x ? 3)

设 g ( x) ? x ? 2 ? x 则

?2 ? 2 x ? g ( x) ? ?2 ?2 x ? 2 ?

?3? x ? 0 0? x?2 2? x?3
- 14 -

在(-3,0]上 g ( x) 单调递减,且 2 ? g ( x) ? 8 在(2,3)上 g ( x) 单调递增且 2 ? g ( x) ? 4 ∴在(-3,3)上 2 ? g ( x) ? 8 故m ? 8时 不等式 f ( x) ? m ? x 在(-3,3)上恒成立??????????(10 分)

- 15 -


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