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河北省唐山市第一中学2016届高三数学下学期开学考试试题 文

时间:2016-02-27

唐山一中 2016 届高三年级数学调研试卷 数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22—24 题 为选考题,其它题为必考题,共 150 分,考试时间 120 分钟. 考生作答时,将答案在答题纸上,在本试卷上答题无效. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 M ? {x | x ? 2}, N ? {x | x ? 0} ,则 M∩N= A. ? B. {x | x ? 0} C. {x | x ? 2} ( )

D. {x | 0 ? x ? 2}

2.复数 z 满足(1- 3 i)z= 13 + 3 i,则|z|= A.1 B.2 C. 3 D.





1 2
( )

3.等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 1, 则a4 ? a5 ? a6 ? A.2
2

B.3

C. 4

D.5

4.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中的横坐标为 3, 则|AB|等于 A.2 ( B.4 C. 8 D.16 ( ). )

5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 2? ? 2 3 C. 2? ? B. 4? ? 2 3 D. 4? ?

2 3 3

2 3 3

6. P 是△ABC 所在平面内一点, 若 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA, 则 P 是△ABC 的 ( A.外心 7. 函数 y ? a
x ?3



B.内心

C.重心

D.垂心

且点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上 ? 2(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A,

1

(m ? 0, n ? 0) ,则
A.12

1 3 ? 的最小值为 m n
B.10 C. 8 D.14





8. 若函数 f(x)=asinx-bcosx(a≠0)在 x=

π 3π 处取得最小值,则函数 y=f( -x)是 ( 4 4 3π A.偶函数且图象关于点(π ,0)对称 B.偶函数且图象关于点 ( ,0) 对称 2 3π C.奇函数且图象关于点 ( ,0) 对称 D.奇函数且图象关于点(π ,0)对称 2
2 2

)

9.在半圆 x +y =4(y≥0)上任取一点 P,则点 P 的横坐标小于 1 的概率是 A.

(

)

3 4

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 4
( )

10.函数 f ( x) ?

x ,当0 ? x ? 1 时,下列式子关系正确的是 ln x
B. f ( x 2 ) ? f 2 ( x) ? f ( x) D. f ( x 2 ) ? f ( x) ? f 2 ( x)

A. f 2 ( x) ? f ( x 2 ) ? f ( x) C. f ( x) ? f ( x 2 ) ? f 2 ( x)

11.数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 an?1 ? an ? 2n (n ? N? ) ,则 a2010 为 A. 2
2010
x

( D. 2
2011



?1

B. 2

2010

C. 2

2010

?2

?1
( )

12.设方程 2 |lnx|=1 有两个不等的实根 x1 和 x2,则 A. x1x2<0 B. x1x2=1 C. x1x2>1

D.0<x1x2<1

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须做答.第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.用 e≈1+

1 1 1 1 + + +…+ 求 e 的近似值 (n!=1×2×3×…×n) , 1 ! 2! 3! n!

流程图如图所示.在①、②处分别填上适当的式子. ①_________,②_________.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14.设变量 x、y 满足下列条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=xy 的最大值 ?y ? 0 ?
为 ________.

x2 y2 15.已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)左右焦点分别为 F1,F2, a b
过 F2 的直线交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,如果|AF1|=3a,|BF1|=5a,则此双曲线 的 渐 近 线 方 程 为 2
主视图 2 2 4 俯视图 4 左视图

2

_______________. 16.一个几何体的三视图如图所示,它的外接球的体积 为______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 如图,A、B 两点在河岸的南侧,C、D 两点在河岸的北侧,由 A 点看 B、C 两点时,张 角为 45°,由 A 点看 C、D 两点时,张角为 75°;由 B 点看 A、D 两点时,张角为 30°, 由 B 点看 C、D 两点时,张角为 45°. 已知 A、B 两点间的距离为 3 km,求 C、D 两点间 的距离.

18. (本小题满分 12 分) 某班 50 名学生在一次数学考试中,成绩都属于 区间[60,110], 将成绩按如下方式分成五组: [60,70),[70,80),[80,90), [90,100), [100,110]. 部分频率分布直方图如图所示. 成绩不小于 90 分 的人数为 20. (1)请补全频率分布直方图; (2)在成绩属于[60,70)和[100,110]的学生中任取 两人,成绩记为 m, n ,求 | m ? n |? 30 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, AB⊥AC, 且 AB=1, BC=2, PA⊥ 底面 ABCD,PA= 2 ,又 E 为边 BC 上异于 B, C 的点,且 PE⊥ED. (1)求证:平面 PAE⊥平面 PDE; (2)求点 A 到平面 PDE 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两
2 2

点.

3

(1)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2

(2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 2 已知 f(x)=ax -(b+1)xlnx-b,曲线 y=f(x)在点 P(e,f(e))处的切线方程为 2x+y=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)研究函数 f(x)在区间 (0,e 4 ] 内的零点的个数.

请考生在题 22,23,24 中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 选修 4-1:几何证明选讲: 22. (本小题满分 10 分) 如图 5,⊙O1 和⊙O2 公切线 AD 和 BC 相交于点 D,A、B、C 为切点,直线 DO1 与⊙O1 与 E、G 两点,直线 DO2 交⊙O2 与 F、H 两点. (1)求证:△DEF∽△DHG; (2)若⊙O1 和⊙O2 的半径之比为 9:16,求

DE 的值. DF

选修 4-4:坐标系与参数方程: 23. (本小题满分 10 分)

4 tan ? ,倾斜角为 α 的直线 l 过点 P(2,2). cos ? (1)求 E 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程;
已知曲线 E 的极坐标方程为 ? ? (2)设 l1, l2 是过点 P 且关于直线 x=2 对称的两条直线,l1 与 E 交于 A, B 两点,l2 与 E 交于 C, D 两点. 求证:|PA|:|PD|=|PC|:|PB|. 选修 4-5:不等式选讲: 24. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? a | x ? 2 | ? x. (1)若函数 f(x)有最大值,求 a 的取值范围; (2)若 a=1,求不等式 f(x)<|2x-3|的解集.

4

参考答案 一、选择题 1.D; 2.B; 3.B; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.C; 11.B; 12.D. 二、填空题 13.① t ?

t ;②k=k+1; 14.1; k

15.y= ?

6 x; 2

16.

64 2π . 3

三、解答题 17.解:∠ACB=180°-45°-(30°+45°)=60° 由

AB BC ? 及 AB= 3 得 BC= 2 ……….4 分 sin 60? sin 45?

∠ADB=180°-30°-(75°+45°)=30° 由

AB BD ? 及 AB= 3 得 BD=3.………….8 分 ? sin 30 sin120?
CD2=BD2+BC2-2BD×BCcos45°=5.
……….12 分

∴CD= 5 .

,110] 的人数为 4 人, 18.解: (1)由图得,成绩在 [100
所以在 [90,100) 的人为 16 人, 所以在 [90,100) 的频率为 0.32 . ………2 分
0.038

频率 /组距

在 [80,90) 的频率为 0.38 .

………4 分
0.032

补全的频率分布直方图如图所示.………6 分 (2)由图得:成绩在 [60,70) 的有 3 人, 设为 A、B、C ;
0.016

,110] 的为 4 人,设为 a、b、c、d . 在 [100
则所取两人总共有:
0,008 0.006

AB, AC, Aa, Ab, Ac, Ad, BC, Ba, Bb, Bc, Bd, Ca, Cb, Cc, Cd , ab, ac, ad, bc, bd, cd
这 21 种; ………9 分

分 O
60 70 80 90 100 110

其中满足 | m ? n |? 30 有 Aa, Ab, Ac, Ad, Ba, Bb, Bc, Bd, Ca, Cb, Cc, Cd , 这 12 种 所以 | m ? n |? 30 的概率为

12 4 ? ………12 分 21 7

19. (1)DE⊥平面 PAE; (2)

6 . 3

5

20.解: (1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入 x 2 ? 3 y 2 ? 5 , 消去 y 整理得

(3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0.

…………2 分

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ), 因为点(-1,0)在椭圆内部,所以⊿﹥0

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? 则? 6k 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 . 3k ? 1 ?
由线段 AB 中点的横坐标是 ?

(1) (2)
…………4 分

1 , 2



x1 ? x2 3k 2 1 ?? 2 ?? , 2 3k ? 1 2

解得 k ? ?

3 ,适合 (1) .…………. .4 分 3

所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 1 ? 0 .………6 分 (2)解: 假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使 MA ? MB 为常数. ① 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(Ⅰ)知

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

(3)

所以 MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)

??? ? ????

? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2 . …………8 分
将 (3) 代入,整理得

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数, 从而有 6m ? 14 ? 0,m ? ? 此时 MA ? MB ?

???? ????

7 , 3

4 . …………10 分 9

6

② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ?1 , ? ,? ?1, ?

? ?

2 ? ? 3? ?

2 ? ?, 3?

当m ? ?

???? ???? 4 7 时, 亦有 MA ? MB ? . 3 9

………11 分

综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? , 0 ? ,使 MA ? MB 为常数.………12 分 21.解: (1)a=1,b=e, f(x)=x -(e+1)xlnx-e; (2)x -(e+1)xlnx-e=0 ? x-(e+1)lnx2 2

? 7 ? ? 3 ?

………………………5 分

e =0 ,x∈ (0,e 4 ] . x

e , x∈ (0,e 4 ] , x e ? 1 e ( x ? 1)( x ? e) ? 2 ? 则 g’(x)= 1 ? x x x2
设 g(x)= x-(e+1)lnx由 g’(x)=0 得 x1=1, x2=e, ………………………8 分 当 x∈(0,1)时, g’(x)>0, x∈(1,e)时, g’(x)<0, x∈(e,e4)时, g’(x)>0, 4 所以 g(x)在(0,1)上增,在(1,e)上减,在(e,e ) 上增, ………9 分 极大值 g(1)=1-e<0, 极小值 g(e)=-2<0,

g(e4)=e4-4(e+1)∵4(e+1)+
4

1 , e3

1 4 4 4 2 <4×4+1=17,e >2.7 >2.5 >6 =36. 3 e
………………………………11 分

∴g(e )>0.

g(x)在 (0,e 4 ] 内有唯一零点,
因此,f(x) 在 (0,e ] 内有唯一零点. …………………………12 分 选修 4—1:几何证明选讲: 22. (1)证明:∵AD 是两圆的公切线, 2 2 ∴AD =DE×DG,AD =DF×DH, ∴DE×DG= DF×DH, ∴
4

DE DF ? , DH DG

又∵∠EDF=∠HDG,∴△DEF∽△DHG.………………………4 分 (2)连结 O1 A,O2A,∵AD 是两圆的公切线, ∴O1A⊥AD,O2A⊥AD, ∴O1O2 共线, ∵AD 和 BC 是⊙O1 和⊙O2 公切线,DG 平分∠ADB, DH 平分∠ADC, 2 ∴DG⊥DH,∴AD = O1A×O2A, ………………………8 分 设⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 9x 和 16x,则 AD=12x, 2 2 ∵AD =DE×DG,AD =DF×DH, 2 2 ∴144x =DE(DE+18x) ,144x =DF(DF+32x)

7

∴DE=6x,DF=4x,∴

DE 3 ? . DF 2

………………………10 分

选修 4—4:坐标系与参数方程: 23.解: (1)E:x =4y(x≠0), l: ?
2

? x ? 2 ? t cos? (t 为参数) ? y ? 2 ? t sin ?

………5 分

(2)∵l1, l2 关于直线 x=2 对称, ∴l1, l2 的倾斜角互补.设 l1 的倾斜角为 α ,则 l2 的倾斜角为 π -α , 把直线 l1: ?

? x ? 2 ? t cos? 2 (t 为参数)代入 x =4y 并整理得: y ? 2 ? t sin ? ?
4 4 ,即|PA|×|PB|= .……8 分 2 cos ? cos 2 ?
2

t2cos2α +4(cosα -sinα )t-4=0,
根据韦达定理,t1t2= ? 同理即|PC|×|PD|=

4 4 = . cos (? ? ? ) cos 2 ?
……10 分

∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|, 即|PA|:|PD|=|PC|:|PB|. 选修 4—5:不等式选讲: 24.解: (1) f ( x) ? ?

?(1 ? a) x ? 2a, a ? 2 ,………………………2 分 ?(1 ? a) x ? 2a, a ? 2
………………………4 分 ……………………5 分

∵f(x)有最大值, ∴1-a≥0 且 1+a≤0, 解得 a≤-1. 最大值为 f(2)=2 (2)即|x-2|-|2x-3|+x>0.

3 ? ?2 x ? 1, x ? 2 ? 3 ? 设 g(x)= |x-2|-|2x-3|+x= ?? 2 x ? 5, ? x ? 2 , …………7 分 2 ? ?1, x ? 2 ? ?
1 . 2 1 }. 2
………………………10 分

由 g(x)>0 解得 x>

原不等式的解集为{x|x>

8


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