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2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:2.4.2等比数列的性质

时间:2014-03-06


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数 列

2.4.2

等比数列的性质

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1.掌握等比数列定义和通项公式. 2.探索发现等比数列的性质,并能应用性 质灵活地解决一些实际问题.

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基础梳理 1.(1)等比数列的通项公式:___________________. 等比数列的通项推广公式:___________________. (2)已知等比数列{an}中a3=6,公比q=3,则其通项 公式为:____________. 2.(1)既是等差又是等比数列的数列是:___________. (2)写出一个既是等差又是等比数列的数列: ________________. 答案:1.an=a1· qn-1(a1· q≠0) an=am· qn-m(a1· q≠0) 练习1:an=6· 3n-3

2.非零常数列
练习2:2,2,2,2,2,…(答案不唯一) 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ 3.(1)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,则 ?an? 是__________ 等比数列 . {an· bn}、 ? ?
(2)已知等比数列{an}通项公式为:an=3n-1,等比 数列{bn}通项公式为:bn=2n-1则数列{an· bn}的通项公式为: ?a ? __________,数列 ?bn? 的通项公式为:cn=________,它 ? n? 们都是:__________. 4.(1)等比数列的性质:若m+n=p+k,则 __________;若2n=p+k,则____________. (2)已知等比数列{an}中,a3a5=12,则a2a6=______, =______. 答案 :练习3:kn 金品质?高追求 =6n-1
?3?n-1 ? ? ?2?
?bn?

等比数列

4.aman=apak a=apak

练习4:12 12

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自测自评 ( )

解析:利用等比数列的定义验证即可.

答案:A

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2.已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+ a4a6=25,那a3+a5的值等于( )

A.5
C.15

B.10
D.20

2 2 解析:a2a4=a2 , a a = a ,故得 ( a + a ) 3 4 6 5 3 5 =25, ∴a3+a5=± 5,又 an>0, 即 a3+a5=5. 答案:A

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解析:在等比数列{an}中,a7· a11=a4· a14=6.① 又 a4+a14=5.② 由①、②组成方程组得 ? ? ?a4=2, ?a4=3, ? 或? ? ? ?a14=3 ?a14=2. a20 a14 2 3 ∵ = = 或 . a10 a4 3 2 答案:C
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等比数列的性质 已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,

求an.

解析:法一:∵a1a3=a2 2, ∴a1a2a3=a3 2=8,∴a2=2, ? ?a1+a3=5, 从而? ? ?a1a3=4. 解之,得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1, 1 当 a1=1 时,q=2;当 a1=4 时,q= . 2 - - 故 an=2n 1 或 an=23 n. 法二:由等比数列的定义知 a2=a1q, a3=a1q2,代入已知得 金品质?高追求 我们让你更放心!

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法二:由等比数列的定义知 a2=a1q, a3=a1q2,代入已知得 2 ? ?a1+a1q+a1q =7,
? ? a1q· a1q2=8 ?a1·
2 ? a ? 1 + q + q ?=7, ? 1 ?? 3 3 ?a1q =8 ? 3 ? a ? 1 + q + q ?=7, ? 1 ?? ?a1q=2. ?

① ②

2 将 a1= 代入①得 2q2-5q+2=0, q 1 ∴q=2,或 q= . 2

? ? ? 1 ?a1=1, 由②得? 或? 1 ? ?q=2 ?q= . ?
2

a =4, 以下同法一.

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a2 法三:由等比数列的概念可知 a1= ,a3=a2q. q 2 代入 a1a2a3=8,得 a2=2,∴a1= , q a3=2q, 2 代入 a1+a2+a3=7,得 +2+2q=7, q 1 可解得 q=2,或 q= ,以下同法一. 2

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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ 跟踪训练 1.已知等比数列{an},

1 (1)若a2=4,a5=- 2 ,求通项公式;
(2)若a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.

解析:∵a5=a2q3, 1 - 2 a 1 5 3 ∴q = = =- . a2 4 8 1 a2 ∴q=- ,∴a1= =-8, 2 q 1?n-4 n-1 ? ∴an=a1q = -2 ? ? . 3 (2)由 a3a4a5=8 得 a4 =8,∴a4=2, 5 ∴a2a3a4a5a6=a4 =32. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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求成等比数列或等差数列的部分项
已知 a,b,c,x,y,z 都是不等于 1 的正数,且 ax=by 1 1 1 =c ,如果 , , 成等差数列,求证:a,b,c 成等比数列. x y z
z

证明:证法一:∵a =b

x

y

?b?x x-y ? ,∴? . ? a ? =b ? ?

x- y b y 1 1 ∴ =b =b1- =(by) - . a x x y x c 1 1 同理∵by=cz,∴ =(by) - . b z y 1 1 1 ∵ , , 成等差数列, x y z 1 1 1 1 b c ∴ - = - ,∴ = . y x z y a b ∴a,b,c 成等比数列.

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证法二:令 ax=by=cz=t, ∴t≠1,∴lg t≠0. ∴x=logat,y=logbt,z=logct. 1 lg a 1 lg b 1 lg c ∴ = , = , = . x lg t y lg t z lg t 1 1 2 lg a lg c 2lg b ∵ + = ,∴ + = , x z y lg t lg t lg t ∴b2=ac,∴a,b,c 成等比数列. 注:证法二更自然有效.

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跟踪训练
2.三个正数成等差数列,它们的和等于 15,如果它们分 别加上 1,3,9,就成为等比数列,求此三个数.
解析:设所求之数为 a-d,a,a+d,则由题设得
? ?a-d+a+a+d=15, ? 2 ? ? a + 3 ? =?a-d+1??a+d+9?. ? ? ?a=5, 解此方程组得? ? ?d=2.

∴所求三数为 3,5,7.

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等比数列的实际应用

某工厂2010年生产某种机器零件100万件,计划到 2012年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增 长的百分率相同,这个百分率是多少?2011年生产这种零件多少 万件? 解析:设每一年比上一年增长的百分率为x,则从2010年起, 连续3年的产量依次为a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即 a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x)2成等比数列. 由100(1+x)2=121,得(1+x)2=1.21. ∴1+x=1.1或1+x=-1.1. ∴x=0.1或x=-2.1(舍去). a2=100(1+x)=110(万件), 所以每年增长的百分率为10%, 2011年生产这种零件110万件. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 3.从盛满a升(a>1)纯酒精的容器里倒出1升,然后填 满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,如此继续下 去.问第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=2,至少应倒 几次后才能使酒精浓度低于10%? 分析:这是一道数学应用题.解决应用问题的关键是建

立数学模型,使实际问题数学化.注意到开始浓度为1,操

1 作一次后溶液浓度是a1=1- .操作二次后溶液浓度是a2= a
?

? 1? 1? a1 ? ?1- ? , …,操作n次后溶液浓度是an=an-1?1- ? .则不难发

a?

?

a?

现,每次操作后溶液浓度构成等比数列,由此便建立了数列 模型.解决数列问题,便可能达到解决实际问题之目的. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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解析:设每次操作后溶液浓度为数列{an},则问题即 为求数列的通项an=f(n). 1? 1 ? 依题意,知原浓度为 1,a1=1- ,a2=a1 1-a ,…, a ? ? 1? ? an=an-1 1-a . ? ? 1 1 {an}构成以首项 a1=1- ,公比 q=1- 的等比数列, a a 1?? 1?n-1 ? 1?n n-1 ? 所以,an=a1q = 1-a 1-a = 1-a , ? ?? ? ? ? 1?n ? 故第 n 次操作后酒精浓度是 1-a , ? ? 1?n 1 ? 当 a=2 时,由 an= 2 < ,得 n≥4. ? ? 10 因此,至少应操作 4 次后,才能使酒精浓度低于 10%. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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点评:数学应用问题的解答步骤:一、通过阅读, 理解题意,建立数学模型;二、通过解决数学问题,解 决实际问题;三、回答实际问题.

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解析:设等比中项为 b,则 b2=( 2+1)· ( 2-1)=1, ∴b=± 1,故选 C. 答案:C

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2.一个各项都为正数的等比数列,且任何项都等于它后 面两项的和,则公比是( D ) 5 A. 2 1- 5 -1+ 5 5 B.- C. D. 2 2 2

解析:设其中三项为 an,an+1,an+2(n∈N*),公比为 q, 则有 an=an+1+an+2,即 an=anq+anq2, -1± 5 ∴q +q-1=0.∴q= . 2
2

-1+ 5 ∵各项都为正数,∴q= . 2

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1.准确掌握等比数列的通项公式与定义,由此得出 一些等比数列的性质,掌握推导性质的方法比记忆性质 更重要. 2.适当记忆一些性质利用性质提高解题速度与解题

的正确率,如用等比数列的性质:若m+n=p+k,则
aman=apak,可以解决许多相关问题. 3.等比数列的一些项组成的新的等比数列也经常遇 到,要准确判断用好定义与通项公式.

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