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连云港市2012-2013学年度第一学期期末考试高二文科数学试题

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江苏省连云港市 2012-2013 学年度第一学期期末考试

高二数学试题(选修历史)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在试题中的横线上. 1.已知命题 p : “所有的平行四边形都不是矩形” ,则 ?p : 2.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 =4,a9 =16 ,则此等差数列的公差 d ?
2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) . . .

x2 y2 若 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线. m ?1 m ? 2 “p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求实数 m 的取值范围.
设 p: 不等式 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 R; q: 方程

3.若“ x ? a ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是

1 4.在 ?ABC 中,若 ?B ? 120? ,sin A ? , BC ? 2 ,则 AC= 3
5.函数 f ( x) ? 2x 2 ? ln x 的单调减区间为 .



6.已知 M 是抛物线 x2 =8 y 上一点,若以点 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过抛物线的顶点, 则该圆的周长是 .

7.若双曲线 C 的渐近线方程为 y = ? 2 x ,且经过点 (2,2 2) ,则 C 的标准方程为 8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .若 (2b ? c) ? 4a ? 3c ,则∠A=
2 2 2



. 16. (本小题满分 14 分)

? x ? y ? 2 ? 0, y ? 9.设实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 3y ? 6 ? 0, 则 z ? 的最小值为 x ? y ? 2, ?

在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c .已知 A, B, C 成等差数列,且 b ? 3 . . (1)若 sin A ? cos A ? 2 ,求 a; (2)求 ?ABC 面积的最大值. .

10.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 2 xy ? 0 ,则 x ? 4 y 最小值是

11. 已知椭圆

x2 y 2 P 为椭圆上一点, 且 ?F1PF2 =90? , 则 ?F1 PF2 的面积为 + =1 的焦点为 F1, F2 , 16 4




2 2 2 ? a3 ? ... ? an ? 12.若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3 ? 2n ? a (a 为常数) ,则 a12 ? a2

13.过抛物线 C: x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l,交 C 于 A,B 两点.若 F 恰好为线段 AB 的三等分点, 则直线 l 的斜率 k= .

14.设 f (i, k ) ? i ? 2( k ?1) (i ? N* , k ? N* ) ,如 f (2,3) ? 2 ? 2(3?1) ? 8 .对于正整数 m,n,当 m ? 2,n ? 2 时, 设 g (i, n) ? f (20 , n) ? f (21 , n) ? ??? ? f (2i , n) , S (m, n) ? ? (?1)i g (i, n) ,则 S (4,6) =
i ?1 m


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17. (本小题满分 14 分) 某单位要建造如图所示的仓库, 仓库下方是半径为 r (m) , 高为 l (m) 的圆柱, 上方是半球形. 按 照设计,仓库的体积为定值 V(m3) .假设该仓库的建造费用仅与表面积有关,圆柱侧面部分每 平方米的造价为 c 元,半球面部分每平方米的造价为 2c 元,仓库总的建造费用为 y 元. (1)写出 y 与 r 的函数关系; (2)怎样设计仓库,才能使总的建造费用最小?

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E:

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 P(1, ) ,离心率 e= ,右顶点为 A,右焦点为 F. 2 2 2 a b

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若经过 F 的直线 l (不与 x 轴重合)交椭圆 E 与 B,C 两点,延长 BA,CA,分别交右准线 于 M,N 两点.求证:FN⊥FM.
y B F

N
A

l

O C

x

(第 r 17 题图)

M

(第 19 题图)

18. (本小题满分 16 分)

20. (本小题满分 16 分) 设 {an } 是各项为正数的等差数列, a1 ? a ,其前 n 项和为 Sn ; {bn } 是各项均为正数的等比数列. (1)若 a1 =b1 =2, a4 ? b3 ? 3, S3 ? b2 ? 19 . (ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (ⅱ)记 Tn =anb1 +an-1b2 + ??? +a1bn ,n ? N*,当 Tn >10220 ? 6n ,求 n 的最小值. (2)是否存在等差数列 {an } ,使 若不存在,请说明理由.

1 1 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x+ , f (2) ? ?7, f '(2) ? ?3 , g (2) ? 1 ,g'(2) ? ? . 3 2
(1)求函数 f ( x) 在 [ ? 4,4] 的最大值和最小值; f ( x) ? 5 ( 2 )设 h( x ) ? ,求曲线 y ? h( x) 在点 (2,h (2)) 处的切线 l 的方程,并判断 l 是否与曲线 g ( x)
y ? f ( x) 相切,请说明理由.

S2 n ,若存在,求出其通项公式; ? k ( n ?N*,k 是非零常数) Sn

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连云港市 2012-2013 学年度第一学期期末测试高二数学试题(选修历史)参考答案
一、填空题: 1.有的平行四边形是矩形 6. 6? 12. 3(4n ? 1) 7. 2.2 3. [2, ??) 4. 3 3 10. 3+2 2

1 5. (0, ] 2
11.4

x2 y 2 2? 1 8. 9. ? ?1 3 3 2 8 2 2 13. 或? 14.640 4 4

二、解答题: 15.若不等式 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 R, 则 ? ? (m ? 1)2 ? 4 ? 0 ,解之得 ?1 ? m ? 3 ,即 p: ?1 ? m ? 3 .????????(4 分)
?m ? 1 ? 0, x2 y2 方程 即 q : m ? 1 .?(6 分) ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 ? m ?1 m ? 2 ?m ? 2 ? 0, 因为“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,所以 p 和 q 一真一假.??????(8 分) ??1 ? m ? 3, (1)当 p 真 q 假时, ? 得 ?1 ? m ? 1 ;?????????????(10 分) ?m ? 1, ?m ? ?1或m ? 3, (2)当 p 假 q 真时, ? 得 m ? 3 .?????????????(12 分) ?m>1, 综上, m 的取值范围是 ( ? 1,1] ? [3,+?) .???????????????(14 分) 16. (1)因为 A, B, C 成等差数列,所以 A ? C ? 2 B ,

2 V ? ? r3 2V 4 2 3 圆柱侧面部分面积为 2? rl =2? r ? ? ? ? r ,?????????(6 分) ? r2 r 3 2V 4 2 V 4 所以建造费用 y ? 2c ? 2? r 2 ? c( ? ? r ) ? 2c( ? ? r 2 ) .????????(8 分) r 3 r 3 V 8 (2) y ' ? 2c ? (? 2 ? ? r ) . ????????????????(10 分) r 3 3V V 8 令 y ' ? 0 得 ? 2 ? ? r =0 ,? r = 3 . 8? r 3

所以,当仓库的半径 r = 3

3V 时,总的建造费用最少.??????????(14 分) 8?

18. (1) f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,

1 ? ?8a ? 4b ? 6 ? ? ?7, 由题意,得 ? 3 ? ?12a ? 4b ? 3 ? ?3,

??????????????????(2 分)

又? A ? B ? C ? ? ,? B =

?
3

. ????????????????????(2 分)

sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) ? 2 ,? sin( A ? ) ? 1 . 4 4 ? ? 5? ? ? ? ?0 ? A ? ? , ? A? ? ,? A ? = , A ? .??????????(6 分) 4 4 4 4 2 4 a 3 a b 根据正弦定理,得 ,即 . = = ? ? sin A sin B sin sin 4 3 解之,得 a ? 2 . ????????????????????(8 分) 2 (2)根据余弦定理,得 b ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,
由(1)知, B =

?

?

?

3

,b ? 3 ,

于是, 3 ? a2 ? c2 ? 2cos

?

3 根据基本不等式, a 2 ? c 2 ? 2ac ,得 3 ? a 2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac , 所以 ac ? 3 ,当且仅当 a=c 时,取“=” . ???????????????(12 分) 1 3 3 3 ac ? 所以 S = ac sin B = . ?????????????????(14 分) 2 4 4 17. (1)半球面部分面积为 2? r 2 , 2 V ? ? r3 2 3 由题意得 ? r 2l + ? r 3 =V ,? l = .???????????????(4 分) ? r2 3
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ac ? a2 ? c2 ? ac ,??????????????(10 分)

1 ? ?a ? , 解之,得 ? 3 ? b ? ? 1, ? 1 1 因此 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ? . ??????????????????(4 分) 3 3 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,令 f '( x) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 . 列表如下: x (?4, ?1) ( ? 1,3) (3, 4) ?4 ?1 3 4 f '( x) + 0 0 + / / 26 19 f ( x) 2 ? ? ? 25 ↗ ↘ ↗ 3 3 由上表知, f min ( x) ? ?25, f max ( x) ? 2 . ???????????????(8 分) f (2) ? 5 ?7 ? 5 ? ? ?2 , (2) h(2) ? g (2) 1 f '( x) g ( x) ? g '( x)[f ( x)+5] h '( x) ? , g 2 ( x) 1 ?3 ? 1 ? (? ) ? [(?7) ? 5] f '(2) g (2) ? g '(2)[f (2)+5] 2 = ? ?4 , 所以切线斜率 k ? h '(2) ? g 2 (2) 1 所求切线方程为 y ? ( ? 2)= ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 6 ? 0 .????????(12 分) 设直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切于点 ? x0 , y0 ? ,
2 ? 2x0 ? 3 ? ?4 , 由(1)得,过该切点的切线斜率为 k ? x0 10 解得 x0 = 1,所以 f ( x0 ) ? ? . 3 10 又因为点 (1, 不在直线 l 上, ? ) 3 所以直线 l 与曲线 y ? f ( x) 不相切.?????????????????(16 分)

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9 ?1 ? a 2 ? 4b2 ? 1, ? ?c 1 19. (1)由题意得 ? ? , ??????????????????(2 分) ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?

19 ? ?2 ? 3d ? 2q 2 ? 3, ?d ? 3, ?d ? , 所以 ? 解之,得 ? 或? 3 ?q ? 2, ?q ? ?3. ?6 ? 3d ? 2q ? 19, ? 因为 {bn } 是各项均为正数,所以 q ? 0 ,故 d ? 3, q ? 2 .
an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1 ,

? ?a ? 4, x2 y 2 所以椭圆 E 的标准方程为 ? ? 1 .?????????(4 分) 2 4 3 ? ?b ? 3. (2)由(1)知,A(2,0) ,F(1,0) ,右准线方程为 x ? 4 .
2

bn ? b1 ? qn?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ?????????????????????(4 分)

解之得 ?

(ⅱ) Tn =anb1 +an-1b2 + ??? +a1bn ? (3n ? 1) ? 2 ? (3n ? 4) ? 22 ? ??? ? 2 ? 2n ,
2Tn ? (3n ? 1) ? 22 ? (3n ? 4) ? 23 ? ??? ? 2 ? 2n?1 ,

3 3 当直线 l 与 x 轴垂直时,l 方程为 x =1 ,可得 B,C 两点坐标分别为 (1, ),(1, ? ) . 2 2 y?0 x?2 = 所以直线 BA 方程为 ,当 x =4 时,得 y = ? 3 ,即 M (4, ? 3) ; 3 ? 0 1? 2 2 y?0 x?2 = 直线 CA 方程为 ,当 x =4 时,得 y =3 ,即 N (4,3) . 3 ? ? 0 1? 2 2 ???? ? ??? ? 因此 FM ? (3, ?3), FN ? (3,3), ???? ? ??? ? FM ? FN ? 3 ? 3+( ? 3) ? 3=0 ,即 FN⊥FM.???????????????(8 分)
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .

?Tn ? 6n ? 2 ? 3 ? (22 ? 23 ? ??? ? 2n ) ? 2n? 2
? 6n ? 2 ? 12(2n ?1 ? 1) ? 2n ? 2 ? 6n ? 10 ? 10 ? 2n,

?Tn ? 10 ? 2n ? 6n ? 10 .
n

?????????????????????(8 分)

由 Tn >10220 ? 6n ,得 2 ? 1023 , n ? 10 . 符合条件的 n 的最小值为 10.???????????????????(10 分) n(n ? 1) (2)设存在符合条件的数列 {an } 的公差为 d,则 Sn ? na ? d. 2 S 4a ? 2(2n ? 1) d ? k ,???????????????(12 分) 且 2 n ? k (k ? 0) ,即 2a ? (n ? 1)d Sn 化简得 (4d ? dk )n ? 4a ? 2d ? 2ak ? dk ? 0 对所有 n ? N*成立.
?4d ? dk =0, 所以有 ? ???????????????????(14 分) ?4a ? 2d ? 2ak ? dk =0, 当 d=0 时,k=2,数列 {an } 通项公式为 an ? a ; 当 d ? 0 时,k=4, d ? 2a ,数列 {an } 通项公式为 an ? 2an ? a .?????(16 分)

? x2 y2 ? 1, ? ? 4k 2 ? 6 k 2 +1 x = 由题意得 ? 4 解之得 ,代入直线 l 方程得 3 4k 2 +3 ? y ? k ( x ? 1), ?
4k 2 ? 6 k 2 ? 1 6k k 2 ? 1 ? 3k 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 ?6k k 2 ? 1 ? 3k , ), C ( , ) .????(10 分) 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 y?0 x?2 直线 BA 方程为 , = 6k k 2 ? 1 ? 3k 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 ?0 ?2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 B(

当 x=4 时,得 M (4,

6k k 2 +1 ? 3k 3 k 2 +1 ? 2k 2 ? 3

) ,所以 FM ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

) .?(12 分)

同理可求得 FN ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ?

) . ??????????????(14 分) 6k k 2 ? 1 ? 3k

? FM ? FN ? 9 ?

6k k 2 ? 1 ? 3k

3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

36k 4 ? 27k 2 36k 2 (k 2 ? 1) ? 9k 2 ?9? ? 0, ?9? ? 4k 4 ? 3k 2 9(k 2 ? 1) ? (2k 2 ? 3) 2
所以 FN⊥FM. 综上,对于任意与 x 轴不重合的直线 l,都有 FN⊥FM.?????????(16 分) 20. (1)(ⅰ)因为 a1 =b1 =2, a4 ? b3 ? 3, S3 ? b2 ? 19 ,
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