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二次函数y=ax2的图像及性质

时间:2017-12-09


2 26.1二次函数y=ax

的图象和性质
y

x
Taibaizhongxue caojian 2008年元月2日

x

y=x2 y= - x2 ...

... ...

-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25

-1 -0.5 1

0

0.5 0.25 -0.25

1 1 -1

1.5 2.25

2

...

0.25 0 -1 -0.25 0

4 -2.25 -4

... ...

函数图象画法

描点法

注意:列表时自变量 2 取值要均匀和对称。 y?? x

y ? x2

1 y? x

列表 描点 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结

连线

y ? ?x2

下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么? 画出下列函数的图象。
1 2 (1) y ? x 2 (2) y ? 2 x 2 2 2 (3) y ? ? x 3

x
1 2 y? 2 x y=x 2

... ...

-4 -3 8 4.5

-2 -1 2

0 0 0 0 0 0

1 0.5 0.5 0.5 1
? 2 3

2 2 1 2 1.5 1.5

3 4.5 1.5 4.5 2
? 8 3

4 8

...

0.5

... ...
...

x
y=2x2

... ...

-2 -1.5

-1 -0.5

2
8 3 -6

8

4.5
8 3

2

0.5
-1
? 2 3

x
22 2 y?? x y=2x 3

... -3 ... -6

-2 -1.5
?

... ...

1.5

1 y ? x2 2

y ? 2x2

列表参考

2 y ? ? x2

y ? x2

1 y ? x2 2

y ? 2x2

y ? ?x2

2 y ? ? x2 3

二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线,我们把它叫做抛物线。

这条抛物线关于 y轴 这条抛物线关于 y轴 这条抛物线关于 y轴 对称, y 轴就是它的 对称, y轴就是它的 对称, y轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。

y ? x2
1、观察右图, 并完成填空。 2、练习2 3、想一想 4、练习4
二次函数y=ax2的性质 1、顶点坐标与对称轴 2、位置与开口方向 3、增减性与极值

y ? ?x2

y=x2 抛物线 y=-x2 ( 0,0) 2与抛物线 ( 0, 0) 顶点坐标 在同一坐标系内,抛物线 y=x 2 在同一坐标系内,抛物线y=x 与抛物线 2 y=-x -x 的位置有什么关系? 如果在同一坐标系内 2的位置有什么关系? y轴 y轴 对称轴 y= 如果在同一坐标系内 2 2 画函数 y=ax 与y= -ax 的图象,怎样画才简便? 2与y= 2的图象,怎样画才简便? 画函数 y=ax -ax 在x轴的上方(除顶点外) 位置 答:抛物线抛物线 在x轴的下方(除顶点外) y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对 称,又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的 开口方向 向上 向下 一条抛物线,另一条可利用关于x轴对称或关于原点 增减性对称来画。 动画演示 极值 当x=0时,最小值为0。 当x=0时,最大值为0。

y?x

2

当a>0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 减小。 当a>0时,在对称轴的 右侧,y随着x的增大而 增大。 当a<0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 增大。 当 x=-2 当 x=1时, 时,y=4 y=1 当 x=-1 当 x=2时, 时,y=1 y=4

当 x=-2 当 x=1时, 时,y=-4 y=-1 当 x=-1 当 x=2时, 时,y=-1 y=-4

y ? ?x

当a<0时,在对称轴的 2 右侧,y随着x的增大而 减小。

y ? x2

二次函数y=ax2的性质

y ? ?x

2

1、抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴。

2、当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且 向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且 向下无限伸展。

3、当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小; 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大; 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大。

y ? 2x2

2、根据左边已画好的函数图象填空: (1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0), 对称轴是 y轴 ,在 对称轴的右 侧,
2 2 y?? x 3

y随着x的增大而增大;在 对称轴的左 侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 时, 函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外)。

(2)抛物线

2 y ? ? x 2在x轴的 3

下 方(除顶点外),在对称轴的

左侧,y随着x的 增大而增大 ;在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 当x 0 ,

?

0时,y<0.

4、已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上。 (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2 ,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。 (3)由-6=-2x2 ,得x2=3, x?? 3 所以纵坐标为-6的点有两个,它们分别是

( 3,?6)与(? 3,?6)

? 3

3

(? 3,6) y=-2x2

( 3,6)

学而不思则罔 回 头 一 看 , 我 想 说 …

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还有什么疑问吗?

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呀,怎么搞的,小琴的谦卑语气没有了撒,取而代之的更像是一种老婆在极度关心老公的出差之后回到家的各种问候的语气。子溏帅 哥也毫不介意地回答小琴道,“嗯,顺利完成了。”自不必说,他又是很温柔的回答道。这声音真是一把利器啊,我在一旁也被寒得 一身鸡皮疙瘩,哪有女人能受得了啊。唔等一下,大少爷一起回来?但是我怎么看也就只有一个子溏愣在这里而已嘛!于是,我不自 觉得到处张望,想找一下传说中的大少爷。子溏貌似看出来我在做甚,于是就对我说道,“小兄弟,你不用再张望了,大少爷刚刚回 去了。”说罢,便指着已经远离我们但是还勉强能看到一些人影的人群方向,“最高的那个,就是我师傅!”纳尼!那个大彪悍是你 的师父?不对,我们不是在说大少爷吗?你怎么话题转得那么快啊?不对,纳尼!难道你的师父是大少爷?话说,这大少爷不应该是 和丑妇人一个德行才对的吗?应该是又肥又矮满脸狰狞样才对吧?此时,我心中正在激烈地翻滚着。小琴看我一脸惊讶状,就对一开 始她下跪的那件事向我作了解释。原来,小琴是给大少爷下跪的,而且这个大少爷不喜欢和不认识的人有什么眼神接触,难怪小琴把 头埋得这么深。但是我们跪是跪下了,貌似这个大少爷没有注意到我们俩的存在似的,直径走了过去。也许,这就是我们微不足道的 表现的最好的例子了吧。虽然知道了大少爷是那个大汉了,但是我就更好奇这个大少爷是干啥子的了。不是听说是个朝中大官吗?干 嘛穿着一副侠士衣,而且他散发出来的就是去干架的那种气息。还有,他和这位子溏兄去做任务?这是去打怪兽还是公会任务神马的 啊?真心想不明白!子溏兄见我一直在思考什么东西,打趣地问了我话,“小兄弟,你有什么不懂得地方吗?”惊!被他这么问一句 我心中愣是一惊!这怎么能说我在无国界地天马行空地歪歪中呢?于是,我就说到,“没什么,我在发呆而已。”“嗯?这样啊。” 此时子溏的声音听起来简直就是在怀疑我似的。难道,这个帅哥已经看出来了,看出来了我不是这个时代的人?!“小琴,我先走一 步了,还有事要忙。”说罢,子溏就咻的一声消失了。这个,这个子溏深不可测啊,说起话来能放倒一片女人,问起话来又直中要害, 貌似会读心术似的。这时,我转向小琴,发现她露出一脸依依不舍的样子,哎,这花痴时间还没结束吗?我带有取笑意味地对小琴说 道,“子溏兄,你是不是要继续带我去熟悉熟悉你家宅子呢?”小琴听罢,回过神了,作一脸生气状,果然是被我说到点子上去了, 只能装怒去遮掩自己的难为情。然后带着我继续参观这大少爷宅子去了。花了半天时间,总算把这位大少爷的宅子给走了一遍了。其 实,这地方除了很大之外,也没有什么特别的地方


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