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2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则PDF版(一试)(定稿)

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2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.随机抛掷 3 颗大小、质地相同的正方体骰子.在 3 颗骰子所示数字中最小值是 3 的概率 是 . 试 4 3 解:所有骰子所示点数至少是 3 的概率为( )3,所有骰子中所示点数至少是 4 的概率为( )3. 6 6 4 3 37 所以 3 颗骰子所示数字中最小值恰为 3 的概率是( )3-( )3= . 6 6 216 2.关于 x 的方程 x2―2ax+a2―4a=0 有模为 3 的虚数根,则实数 a 的值是 . 解:由题(x-a)2=4a<0,所以 x=a―2 -a i,又|x|2= a2―4a=9,即有 a―2=± 13 , 因为 a<0,所以 a=2― 13 . 2 3.已知正项数列{an}的首项为 1,且对于一切正整数 n 都有 an(nan-an+1)=(n+1)an +1,则 数列的通项公式 an= . 1 解:根据 an(nan-an+1)=(n+1)a2 n+1,写出 a2,a3,a4,可归纳出 an=n. 也可以变形为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan)]=0, 1 由 an+1+an≠0,得(n+1)an+1=nan=…=a1=1,所以 an= . n 4.设以 F1(-1,0)、F2(1,0) 为焦点的椭圆的离心率为 e,以 F1 为顶点、F2 为焦点的抛物 |PF1| 线与椭圆的一个交点是 P.若 =e,则 e 的值为 |PF2| . 解:在抛物线中,p=4,准线 x=-3,|PF2| 是 P 到准线的距离. |PF1| 椭圆中, =e,|PF2|也是 P 到左准线的距离,则抛物线准线与椭圆的准线重合, |PF2| a2 3 所以 =3.因为 c=1,故 e= . c 3 5.设实数 a,b 满足 0≤a,b≤8,且 b2=16+a2,则 b-a 的最大值与最小值之和是 b -a 解:由题设可知,b2=16+a2,则 b-a= = b+a 2 2 . 16 . a +16+a 2 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 1 页 共 5 页 记 f(a)= 16 ,则函数 f(a)单调递减. a +16+a 2 由 0≤a,b≤8,得 16+a2≤64,解得 0≤a≤4 3. 所以 b-a 的最小值为 f(4 3)=8-4 3,b-a 的最大值为 f(0)=4, 从而 b-a 的最大值与最小值之和为 12-4 3. 6.函数 f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是 . 4 解:[f(x)]2=(2cosx+sin2x)2=4cos2x(1+sinx)2= (3-3sinx)(1+sinx)3 3 4 (3-3sinx)+(1+sinx)+(1+sinx)+(1+sinx) 4 27 ≤ ×[ ]= , 3 4 4 1 当且仅当 3-3sinx=1+sinx,即 sinx= 时,等号成立. 2 1 3 3 3 从而当 sinx= ,cosx= ,f(x)取得最大值为 , 2 2 2 1 3 3 3 当 sinx= ,cosx=- ,f(x)取得最小值为- . 2 2 2 3 3 3 3 所以函数 f(x)=2cosx+sin2x (x∈R)的值域是[- , ]. 2 2 7.正四棱锥 P-ABCD 外接于一个半径为 1 的球面,若球心到四棱锥各个面的距离相等, 则此四棱锥的底面面积为 . 1 1- a2. 2 解:设四棱锥的底面边长为

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