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无锡市高二数学试题(理科)地址_7

时间:2017-02-24

江苏省无锡市 2010 年秋学期普通高中期末考试试卷

2011.1

高二数学(理科)
注意事项 考试时间为 120 分为 160 分 得分 评分人 一、填空题(本大题共有 14 小题,每小题 5 分,共 70 分;把结果直接填在题中的横线上) 1.直线 x+ 3y-3=0 的倾斜角是_______________. 2.对于命题 p: ?x ? R ,使得 x 2+ x +1 < 0.则 ? p 为:_________. 题号 得分 核分人 一 1—14 15 16 17 二 18 19 20 总分 及说明: 本卷 分钟, 全卷满

3.若双曲线

x2 y 2 1 ? ? 1 (b>0) 的渐近线方程为 y=±2x ,则 b 等于 4 b




4.以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是 6.已知 m、n 是不重合的直线, ? 、 ? 是不重合的平面,有下列命题:

5.已知 M(-1,3) ,N(2,1) ,点 P 在 x 轴上,且使 PM+PN 取得最小值,则最小值为 D1 A1 D A 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 B—A1C1—B1 的正切值为 .

. C1 B1 C B

①若 ? ? ? ? n, m // n ,则 m // ? , m // ? ;②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; ③若 m // ? , m ? n ,则 n ? ? ;④若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n. 其中所有真命题的序号是 .

8.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程为 . x2 y2 x2 2 9.设 F1、F2 为曲线 C1: + =1 的焦点,P 是曲线 C2: -y =1 与 C1 的一个交点,则△PF1F2 的面 6 2 3 积为 . 10.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是 .

11.已知 p:一 4<x-a<4,q:(x 一 2)(3 一 x)>0,若? p 是? q 的充分条件,则实数 a 的取值范围是 . 12.正四面体棱长为 1,其外接球的表面积为 .

13.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,若 AB 中点为(2,2),则直线 l 的方程为 1 14.已知函数 f(x)=x3-2x2+ax+1(a∈R) ,若函数 f(x)在区间( ,1)内是减函数,则 a 的取值范围是 3 .

二、解答题(本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤) 得分 评分人 15.如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(-2,0),直角顶点 B(0,-2 2) ,顶点 C 在 x 轴上,点 P 为 线段 OA 的中点. (Ⅰ)求 BC 边所在直线方程; (Ⅱ)M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (Ⅲ)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程. y

A

P 0

O

C x

得分

评分人 16. (本题满分 14 分 )如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=2a, ?A ? 60 ,E 为线段 AB 的中点,
?

将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE,使 A′C=2a, F 为线段 A′C 的中点. (Ⅰ)求证:BF∥平面 A′DE; (Ⅱ)求证:平面 A′DE⊥平面 ABCD.

A F D C

A

E

B

17. 如图,某纸箱厂用矩形硬纸板(PQST)割去四个矩形角,设计为按虚线折叠成的长方体纸箱.其中 矩形 ABCD 为长方体的下底面,两全等矩形 EFNM、HGNM 拼成长方体纸箱盖,设纸箱长 AB 为 x. (Ⅰ)若长方体纸箱的长、宽、高分别为 80cm、50cm、40cm、则硬纸板 PQST 的长、宽应为多大? (Ⅱ)若硬纸板 PQST 的长 PT=240cm,宽 TS=150cm,按此设计,当纸箱的长 AB 为何值时,纸箱体积最大?并计算最大体 积. P M1 H H1 A E1 D E T M N1 G B C F N S G1 F1 E D Q H M A F C G N B

得分

评分人

得分

评分人 18. (本题满分 16 分 )

在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角等于 60°,设 AA1=a . (Ⅰ)求 a 的值; A1 C1 (Ⅱ)求平面 A1BC1 与平面 B1BC1 所成的锐二面角的大小. B1

A B

C

得分

评分人 19. (本题满分 16 分 ) 在平面直角坐标系中,椭圆 C:

x2 y 2 a2 2 2 2 ? ? 1 ( a > b > 0) ,圆 O : x + y = a ,且过点 A ( ,0)所作圆 c a 2 b2

的两条切线互相垂直. (Ⅰ)求椭圆离心率; (Ⅱ)若直线 y=2 3与圆交于 D、E;与椭圆交于 M、N,且 DE=2MN,求椭圆的方程; (Ⅲ)设点 T(0,3)在椭圆内部,若椭圆 C 上的点 P 到点 T 的最远距离不大于 5 2,求椭圆 C 的短轴长的取值范围. y D M 0 O N 0 E A x

得分

评分人

20. (本题满分 16 分) 已知 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2. (Ⅰ)若 a=1,求函数 y= g(x)的图像过点 P(-1,3)的切线方程;

(Ⅱ)对一切的 x∈(0,+∞) ,2 f(x)≤g′(x)+2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

江苏省无锡市高二数学试题(理科)参考答案
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 5 1. π 6 2. ?x ? R ,均有 x 2+ x +1≥0 9. 2 10.(2,+∞) 3.1. 25 4.(x-2)2+(y+1)2= 2 3 12. π 2 5.5 6.②④ 7. 2

8.x2=12y 二、解答题

11.-1≤a≤6

13. y=x

14. (-∞,1]

15. (Ⅰ)∵kAB=- 2,AB⊥BC,∴kCB= ∴直线 BC 方程为:y=

2 , 2

……………………………………………………2 分 …………………………………………………4 分

2 x-2 2. 2

(Ⅱ)直线 BC 与 x 轴交于 C,令 y=0,得 C(4,0),∴圆心 M(1,0) ,………………………7 分 又∵AM=3,∴外接圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 9 .
2 2

…………………………………10 分

(Ⅲ)∵P(-1,0),M(1,0), ∵圆 N 过点 P(-1,0),∴PN 是该圆的半径. 又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴MN=3-PN,即 MN+ PN=3. ∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆,

……………………………12 分 ……………………………13 分 …………………………………14 分

x y 3 5 ? ? 1. ∴a= ,c=1,b2=a2-c2= ,∴轨迹方程为 2 4 9 5 4
1 1 CD,BE∥CD,BE= CD. 2 2

2

2

4

16. (Ⅰ) 取 A′D 的中点 G,连结 GF,GE,由条件易知: FG∥CD,FG= ………………………………………3 分

∴FG∥BE,FG=BE. ∴四边形 BEGF 为平行四边形, ∴BF∥EG, …………………………………………………5 分 又 BF ? 平面 A′DE 内, ∴BF∥平面 A′DE. …………………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=2a,AE=EB=EA′=AD= DA′=a, 取 DE 中点 H,连结 AH、CH,则 H 为 DE 中点,∴AH⊥DE,A′H⊥DE, ……………8 分 ∵∠A=∠A′=60°,∴AH= A′H= 3 a a,DH= . 2 2

a a 1 13 在△CHD 中, CH2=DH2+DC2-2 DH×DC cos60°=( )2+(2a)2-2× ×2a× = a2 . ……………9 分 2 2 2 4 在△CHA′中,∵CH2+ A′H2= 13 2 3 a +( a)2=4a2=A′C2, 4 2

∴A′H⊥HC, ………………………………………………11 分 又∵HC∩DE=H,∴A′H⊥面 ABCD. ………………………………………………12 分 又∵A′H ? 面 ADE,∵面 ADE⊥面 ABCD. …………………………………………………14 分 17. (Ⅰ)由题意:PQ=AB+2H1A=80+2×40=160(cm) , PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180(cm) . …………………………4 分 (Ⅱ)∵PT=240,PQ=150,AB 为 x(0<x<150) , 1 1 ∴AH=AH1= (TS-AB)= (150-x) . 2 2 ∵AD= M1H+EM,AH=DE, 1 1 1 1 ∴AD= (MM1-2AH)= (PT-2AH)= [240-(150-x)]=45+ x, 2 2 2 2 1 1 1 ∴纸箱体积 V(x)= x(150-x) (45+ x)=- x3+15 x2+3375x. 2 2 4 3 V′(x)=- x2+30 x+3375. 4 令 V′(x)=0,x2-40x-4500=0,解得:x1=90,x2=-50(不合题意,舍去) .………10 分 当 x∈(0,90)时,V′(x)>0,V(x)是增函数; 当 x∈(90,150)时,V′(x)<0,V(x)是减函数, ∴当 x=90 时,V(x)取到极大值 V(90)=243000. …………………12 分 ∵V(x)在(0,150)上只有一个极值,所以它是最大值. ∴当纸箱的长 AB=90 时,纸箱体积最大,最大体积为 243000(cm3).………………14 分 18. (1)建立如图坐标系,于是 B(1,0,0) , B1 (1,0,1) , C1 (0,1,1) , A1 (0,0, a) , (a ? 0) , ……………7 分 …………………8 分

B1C1 ? (?1,1,0) , A1 B ? (1,0,?a) ,? B1C1 ? A1 B ? ?1 .…………………………………………3 分 z 由于异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角 600 ,
所以 B1C1 与 A1 B 的夹角为 1200 , 即 | B1C1 | ? | A1 B | cos120 ? ?1 ,
0 ?? ?? ?? ??

??

??

??

??

A1 B1

C1

1 ? 2 ? 1 ? a 2 (? ) ? ?1 ? a ? 1 .………………6 分 2
(2)设向量 n ? ( x, y, z ) 且 n ? 平面 A1 BC1 于是 n ? A1 B 且 n ? A1C1 ,即 n? A1 B ? 0 ,且 n? A1C1 ? 0 , 又 A1 B ? (1,0,?1) , A1C1 ? (0,1,0) ,所以 ?
?
?

?

?

C
? ?? ?

y

?

?? ?

?

?? ?

? ?? ?

??

??

? ? y ? z ? 0, 不妨设 n ? (1,0,1) ? y ? 0,

x

B …………………………8 分

同理得 m ? (1,1,0) ,使 m ? 平面 BB1C1 , ……………………………………………………………10 分 设 m 与 n 的夹角为 ? ,所以依 m? n ?| m | ? | n | ? cos? ,
? ?

? ?

?

?

? 2 ? 2 ? cos ? ? 1 ? cos ? ?
? ?

1 ? ? ? 60 0 , 2

…………………………………………12 分

m ? 平面 BB1C1 , n ? 平面 A1 BC1 ,
因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 .………………………………………14 分 a2 19(Ⅰ)由条件:过点 A( ,0)作圆的两切线互相垂直, c 2 a 2 ∴OA= 2a,即: = 2a,∴e= . …………………………………………………3 分 c 2 2 2 2 x y (Ⅱ)∵e= ,∴a2=2c2,a2=2b2,∴椭圆 C: 2+ 2=1. …………………………………………5 分 2 2b b
0

? x2 ? y 2 ? a2 , ? 得 x2=a2-12,∴DE=2 a2-12, ? ? ? y ? 2 3, ? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, 2 得 x2=2b2-24,∴MN= 2 2b ? 24 , b ? 2b ? y ? 2 3, ?

…………………………………7 分

由 DE=2MN,得: a ? 12 =4(2b2-24) ,∴2b2-12=4(2b2-24)解得:b2=14,a2=28,
2

∴椭圆方程为:

x2 y 2 ? ?1. 28 14

…………………………………………………9 分

(Ⅲ)∵点 T(0,3)在椭圆内部,∴b>3, 设 P(x,y)为椭圆上任一点,则 PT2=x2+(y-3)2=2b2-2y2+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18,其中,-b<y<b, …………………12 分 ∵b>3,∴-b<-3, ∴当 y=-3 时,PT2 的最大值 2b2+18. ……………………………………………………14 分 2 依题意:PT≤5 2,∴PT ≤50, ∴2b2+18≤50,∴0<b≤4, 又∵b>3,∴3<b≤4,即 6<2b≤8, ∴椭圆 C 的短轴长的取值范围 6<b≤8. …………………………………………………16 分 3 2 2 20.解:(Ⅰ) a=1 时,g(x)=x +x -x+2, g′(x)=3x +2x-1, ……………………………………………1 分 (ⅰ)若 P(-1,3)不是切点,设切点坐标是 M(x0,y0) (x0≠-1) , y0-3 有: =3x02+2x0-1, x0+1 ………………………………………………………3 分

将 y0=x03+x02-x0+2 代入上式整理得:x0(x02+2x0+1)=0, 得 x0=0,x0=-1(不合舍去) , ……………………………………………………………7 分 此时切线斜率 k1=3× 02+2× 0-1=-1, 切线方程为 y-3=-(x+1) ,即 x+y-2=0. …………………………………………5 分 (ⅱ)若 P(-1,3)是切点, 则切线斜率 k2= 3 ? (?1)2 ? 2 ? (?1) ?1 ? 0 . 此时切线方程为 y=1. ……………………………………………………………………7 分 3 2 综上, 函数 g ?x? ? x ? x ? x ? 2 的图像过点 P(-1,3)的切线方程为 x+y-2=0 或 y=1. ………8 分
2 (Ⅱ)由题意: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2 在 x ? ?0,???上恒成立,

即 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ,

3 1 x? , …………………………………………………………………………10 分 2 2x 3x 1 ? 设 h? x ? ? ln x ? , 2 2x 1 3 1 ( x ? 1)(3 x ? 1) ? 则 h?( x) ? ? ? ,……………………………………………………………12 分 2 x 2 2x 2x2
可得 a ? ln x ? 1 令 h′(x)=0,得 x=1,x=- (舍), 3 当 0 ? x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ' ?x ? ? 0 , ∴当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2 , ……………………………………………………15 分 ∴a≥-2. ∴a 的取值范围是 ? ?2, ??) . …………………………………………………………………………16 分


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