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12.2.1圆的标准方程

时间:2011-03-31

12.2.1 圆的标准方程 一. 教学内容分析

① 本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程的推导、掌握.进一步理解曲线方程的意义. ② 本节的难点是圆的标准方程的推导、圆的一般方程的结构特征,以及圆方程的求解和应用. 二. 教学目标设计 在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件 写出圆的方程.进一步提高用解析法研究几何问题的能力;加深对数形结合思想和待定系数法的理解;增 强用数学的意识. 三. 教学重点及难点

圆的标准方程的推导;圆的一般方程及其代数特征. 四. 教学过程设计

创设情境(启迪思维) 问题一:已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道?
y 4

A

0

2.7

B

x

[引导] 画图建系 [学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习) 解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径 AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则半圆的方 程为 x +y =16(y≥0)将 x=2.7 代入,得
2 2

y = 16-2.7 2 = 8.71 < 3 .

即在离隧道中心线 2.7m 处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。 (一) 圆的标准方程 问题 1:已知一定圆 C 的半径为 r ,求此圆的方程. 分析:设 M 是圆上任意一点,根据圆的定义,可知点 M 到圆心 C 的距离等于 r,所 以圆 C 就是集合 P={M||MC|=r} 如左图,以圆心 C 原点建立平面直角坐标系,设圆上任意一点 M ( x, y ) , 因为 MC = r , 所以

x 2 + y 2 = r 整理得: x 2 + y 2 = r 2

(1)

这里边我们要注意点 M 的坐标与方程(1)的关系: 由方程(1)的推导过程可知,若点 M 在圆上,则 M 的坐标满足方程(1);

反之,若点 M 的坐标是方程(1)的解,即 x + y =r ,则有 x + y = r ,即 MC = r ,可知点 M 在圆上.
2 2 2
2 2

综上可知,圆 C 的方程是 x + y = r .
2 2 2

[说明]求圆的方程应需考察以下两个方面:首先应建立一个合适的平面直角坐标系(若没有给出直角坐 标系) ;其次,所得方程是否为轨迹(圆)方程,可由曲线方程的定义验证. 问题 2:若设一定圆 C 的圆心在 (a, b) 半径为 r ,求此圆的方程. 设圆上任意一点 M ( x, y ) ,因为 MC = r , 所以 ( x ? a ) + ( y ? b) = r ,
2 2

整理后得: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 . 同问题 1,可以验证方程 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 是圆心在 (a, b) 半径为 r 的圆的方程. 可以看到只要知道了圆心坐标和半径,就可以得出其相应的圆方程.我们称方程

( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 是 圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程. 的圆的标准方程.
[说明]由圆的标准方程知它含有三个参数,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。特别地,若圆心 为原点,此时 a = b = 0 ,圆的标准方程为 x 2 + y 2 = r 2 (二)例题 例 1.根据圆的方程写出圆心和半径 (1) ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 5 ; (2) ( x + a ) 2 + y 2 = a 2

a ≠ 0;

(3)

x 2 + 2x + y 2 ? 4 y = 0

.

[说明]本题要求学生熟练掌握配方法来求圆的几何量:圆心及半径.

例 2.写出下列各圆的方程: (1)圆心在 C (3,4) ,半径为 5 ; (2)经过点 P (5,1) ,圆心 C (8,?3) . (3)直径的两个端点为 A(3,-2)和 B(-1,6) (4)求以 C(-1,2)为圆心,并且和直线 2x-3y-5=0 相切的圆的方程. [说明]本例体现了求圆方程的方法之一:找出圆心和半径.

例 3.下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB=12m,半 r=29m,求圆弧 AB 的方程(精确到 0.001m). 解、课本 P38 例题



例4、 求以 O (1,3) 为圆心,且与直线 3 x ? 4 y ? 7 = 0 相切的圆的方程 分析:关键是求半径,而由直线和圆相切知半径即为圆心到直线的距离。 解:设圆的半径为 r ∵ 圆与直线相切 ∴ 圆心 O (1,3) 到直线 3 x ? 4 y ? 7 = 0 距离 d = r = ∴ 圆的标准方程为: ( x ? 1) + ( y ? 3) =
2 2

3 ? 12 ? 7 5

=

16 5

256 25

例 5.已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ,求经过圆上一点 M ( x0 , y 0 ) 的切线方程。 分析:求直线方程,已知了一个点,还需求一个点或斜率,此题求斜率好,因为有直 直,斜率有关系 。或者用轨迹法,根据题目条件列出一关系式。 解: 法一、如图,设切线斜率为 k ,半径 OM 的斜率为 k1 , ∴
y 线互相垂 M
O

x

k 1 ? k = ?1 ∵ k 1 =

y0 x0
y0



k=?

x0 y0

2 ∴切线方程为 y ? y = ? x 0 ( x ? x ) ,整理得 x 0 x + y 0 y = r 0 0

当点 M 在坐标上时,上述方程同样适用。 法二、设 P(x,y)是切线上任意一点,则

OM 2 + MP 2 = OP 2
整理得
2


2

r 2 + ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y 0 ) 2 = x 2 + y 2
即 切线方程为: x 0 x + y 0 y = r
2

r 2 + x0 + y 0 = 2 x0 x + 2 y 0 y

法三、设 P(x,y)是切线上任意一点,则 OM ⊥ MP ∴ 整理得

OM ? MP = 0
2 2



( x0 , y 0 ) ? ( x ? x0 , y ? y 0 ) = 0
∴切线方程为: x 0 x + y 0 y = r
2

x0 + y 0 = x 0 x + y 0 y

2.过圆上一点的切线方程

M ( x0 , y 0 ) 在圆 x 2 + y 2 = r 2 上,过 M 的切线方程为 x0 x + y 0 y = r 2
M 的 圆 的 切 线 方 程 为

当 M ( x 0 , y 0 ) 在 圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 上 , 过

( x0 ? a )( x ? a ) + ( y 0 ? b)( y ? b) = r 2 (自己推导)

作业 1、 写出下列各圆的标准方程 (1) 圆心在原点,半径是 3; (2) 圆心为点(3,4) ,半径是 5 ; (3) 经过点 P(5,1) ,圆心为点(8,-3) 。 答: (1) x + y = 1
2 2 2

(2) ( x ? 3) + ( y ? 4) = 5
2 2 2

( 3 ) ( x ? 8) + ( y + 3) = 25 。 先 用 两 点 距 离 公 式 求 圆 的 半 径 , 或 设 圆 的 标 准 方 程 为

( x ? 3) 2 + ( y ? 4) = r 2 ,用待定系数解。
2、 说出下列圆的圆心坐标和半径长(让学生口答) : (1) (2) (3)

( x ? 3) 2 + ( y + 2) 2 = 4
( x + 4) 2 + ( y ? 2 ) 2 = 7 x 2 + ( y + 1) 2 = 16

答:圆心(3,-2) ,半径为 2 答:圆心(-4, 2 ) ,半径为 7 答:圆心(0,-1) ,半径为 4

3、 求以 O (1,3) 为圆心,且与直线 3 x ? 4 y ? 7 = 0 相切的圆的方程 分析:关键是求半径,而由直线和圆相切知半径即为圆心到直线的距离。 解:设圆的半径为 r ∵ 圆与直线相切 ∴ 圆心 O (1,3) 到直线 3 x ? 4 y ? 7 = 0 距离 d = r = ∴ 圆的标准方程为: ( x ? 1) + ( y ? 3) =
2 2

3 ? 12 ? 7 5

=

16 5

256 25


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