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高中数学概念课在新课程理念下尝试教学

时间:2011-12-23


高中数学概念课在新课程理念下尝试教学

[ 内容提要 ] : 数学概念和命题等内容组成庞大知识体系,是一门以抽象思 维为主的学科,而概念又是这种思维的基本单位,是组成数学的 细胞,要促进学生思维的发展,必须首先强化概念教学。有的概 念较为抽象,在教学中,结合实例,形象比喻,从实例中认识问 题使抽象概念有着落。简单概念指导自学,先阅读,理解,再深 入剖析。在进行数学概念教学时,最能有效促进学生创新能力的 主要是对实例的归纳和辨析,以此对新问题的特征形成陈述性的 理解,继而与原有知识结构相互联系。在运用新概念时,通过反 例,错解,变式等辨析,帮助巩固概念,力求学生明确概念中哪 些规定和限制条件;概念的等价叙述;运用概念能解决哪些数学 问题等。 关键词:概念课,新课程理念。 正文: 新一轮数学课程改革坚持以学生发展为本,精选学生终身学 习必备的基础知识和基本技能,以培养学生的创新精神和实践能 力为重点,以应用现代信息技术为标志,开发学生潜能,发展多 元智能。在数学新课程中更加重视研究性学习,倡导自主探究,
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实践体验和合作交流的学习方法。重视课程内容与现实生活的联 系,增选在现代生活中广泛应用的内容,开发实践应用环节。作 为新世纪年轻教师的我们,应及时转变观念,紧跟时代和社会的 步伐,重构数学课程教学观念,实现以人为本的教育理念,关注 每一个学生的情感,体现不同学生的态度价值和能力发展,为学 生终身可持续发展奠定良好的基础。对此,在新课程教学各个层 面上都对我们教师,特别是我们这批年轻教师都提出了更高的要 求。 在数学教学中最难,也是最重要的是数学概念课的教学。数 学概念课较为抽象,使人费解,教师经常包办到家,口若悬河, 津津乐道,常使学生感到索然无味,对数学课提不起兴趣,致使 不少学生概念模糊,从而影响对数学内容的后续学习。在新课程 理念下,要以学生为主体,改变以往单调枯燥的学习数学概念方 法,而是要研究学生,充分调动学生积极性,让学生自主学习, 探索研究,运用运动变化,联想等辨证观点来加强对数学概念的 理解和教学。 数学概念是学习数学知识的基石,是培养数学能力的前提, 在新课程理念下我们应该怎样上好数学概念课呢?我做了以下尝 试: 一、在感知、体验教学中认识概念。 ⒈抓住数学概念的特点,以数学故事或以实际问题引入数学概 念。 数学概念引入应从实际出发(生活,生产实际情况,学生认 知水平),从问题入手,通过与本概念有明显联系,直观的例 子,使学生在对直观、具体问题体验中感知概念。 例 1 .指数方程概念的引入: 背景:资料表明2000年上海市人均 GDP 已突破4000美元,按 照国际惯例,人均 GDP 超过4000美元之后的发展过程,是一个国 家或地区从发展中阶段走向发达阶段的过程,是从富裕小康走向 中等发达水平的过程。
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2004年上海市人均 GDP 为6683美元,若今后人均 GDP 每年增 长10.5%,那么经过多少年本市人均 GDP 翻一番?(结果保留一 个有效数字)。 通过研究人均 GDP 增长率问题,出现了指数位置上含有未知 数的方程,由此引出指数方程的概念。 ( 学生列出方程:
1.105 x = 2

)

⒉培养动手能力,在亲自体验实践中形成数学概念。 新课程强调把课堂还给学生,以学生为主体,加强学生动手 操作能力,让他们亲身感受概念的形成过程,一方面有利于学生 增强对数学课兴趣,感受过程给他们带来的快乐,另一方面有利 于加强对概念由来充分了解,帮助记忆。 例 2 、在椭圆概念教学中,可要求学生事先准备两个小图钉 和一条长度为定长细线,将细线两端分别固定在图板上不同两点
F1 和 F2 ,用铅笔把细线拉紧,使笔尖在纸上慢慢移动,所得图

形。提问思考讨论: ① ② ③ ④ 椭圆上的点有何特征? 当细线长等于两定点之间距离时,其轨迹是什么? 当细线长小于两定点之间距离时,其轨迹是什么? 请同学总结,完善椭圆定义。

例 3 、等比数列概念: 创设情景,请同学动手试一试,一张纸可以重复对折多少 次?引导学生列表分析讨论。(设纸原来厚度为 1 长度单位,面 积为 1 单位) 折纸数 折叠前 纸厚度 纸面积 1 1 1 2
1 2

2 4
1 4

3 8
1 8

4



8 256
1 256

… … …

16 …
1 16



⒊利用先进多媒体设备,进行直观演示和模拟操作,让学生对概 念有感性认识。 上海市二期课改的《课程方案》明确指出:“依托上海建设
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国际化大都市和数字化城市的教育环境,……以应用现代化信息 技术为标志,关注学生学习经历和促进每一位学生发展的课程体 系。” 例 4 、对于正弦型函数 y = A sin(ω x + ? ) 研究,我们可以通过课 件演示 A, ω , ? 对图象影响及变化。这样学生可形象地感受到概念 产生过程,加深对正弦型曲线了解。 图形计算器在作图、模拟、数据处理等方面有着强大功能, 在数学概念课教学上也有所作为。 例 5 :针对“函数奇偶性”案例。 ① 首先借助图形计算器给出部分函数图象,要求学生观察图象 特点。 ② ③ 根据直观函数图象探究函数性质。 结合图象和讨论结果,同学尝试提炼出奇、偶函数定义。 在新的教学理念下,打破了传统概念课中的“完善”。在图 形计算器环境下学生的学习被拓宽,重新调节师生关系。 二、挖掘、拓展内涵基础上,衍生外延知识,进一步理解概念。 ⒈认真阅读概念,逐字逐句推敲。 例 6 :对于函数奇偶性概念学习教学情境: 师:对于偶函数定义要点有什么? 生:⑴在定义域 D 内若 x ∈ D, ? x ∈ D ⑵ f (? x) = f ( x) 师:如果有一个条件不满足,是否能判断为偶函数。 生:不能,比如 f ( x) = x 2 , x ∈ [ ?1, 2] ,定义域不关于原点对称。 ⒉关注关键字解析,深入理解概念。 对比较抽象,学生难理解和掌握的概念中高度概括。抽象的 关键词,在容易理解错的地方设计问题,通过错误来暴露学生理 解概念的思维,加强记忆。 例 7 :在讲等差数列概念时,举反例: ①“ 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ”是等差数列吗?强调“从第二项 起”。
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②“ 1 , 3 , 5 , 6 ,12”是等差数列吗?强调“同一常数”。 三、寻求新旧概念之间联系,形成系统化,进一步掌握概念。 ⒈新概念是对已有知识的发展与完善。 例 8 :三角函数定义可经历以下三个循环渐进学习,不断深入。 ① ② ③ 直角三角形边长的比刻画锐角三角函数定义。 用点的坐标表示锐角三角函数定义。 任意角三角函数定义。

⒉抽取概念共同属性,加深概念理解。 例 9 :在立体几何二面角的平面角概念讲解时,可总结归纳以前 所学角,如平面角,异面直线所成角,直线与平面所成角之间共 同属性。 例10:学习等比数列时,可设计系列启发性思考题,启动学生自 主地观察、归纳、概括出等比数列的概念,,并把类比的数学思 想方法落实到实处,一一引导,学生对等差数列,等比数列进行 概念类比,内涵类比,外延类比。 在教学中应善于寻找,分析其联系与区别,有利于学生掌握 概念的本质。 ⒊把外延另一部分与新学概念进行重组,形成概念系统化。 从大脑思维过程看,人们对事物的理解总是从简单向复杂过 渡,从一维向多维过渡,对概念实施逻辑化分,降低思维难度, 通过对分解后的概念部分分析、综合、类比、归纳、逐一击破, 从而整合成一个完整的概念 例11:对复数概念教学: ① ② 指出形如 Z = a + bi ( a, b 为实数)的数叫复数。 任何一个复数 Z = a + bi 都能确定唯一一个有序实数对 (a, b) , 引入复平面概念。 ③ 复数 Z = a + bi 与向量 OZ 也是一一对应。
uuu r

例12:数列与函数有密切关系

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函数 定义域 解析式 图象
y = f ( x)

数列(特殊函数) 或它的有限子集
an = f ( n )

R 或 R 子集 N ?

点的集合

一些离散点的集合

四、运用新知识解决问题中巩固概念。 ⒈活化概念,加深对概念的理解。 我们对概念的理解不能只基于对它的死记硬背,而应对它的 本质及内涵应有深刻的了解,所以我们在概念的教学时应具有灵 活性。 例13:我们在讲“异面直线”这一概念时,我们并不仅仅让学生 记住一个定义,而是通过进一步变式讨论,让学生感悟这一概念 内涵,我们可设计如下问题进行辨别: ⑴不同在任何一个平面内,也就是任取一个平面,这两条直线不 可能同时在这个平面内。 ⑵不同在任何一个平面内,也就是对于世界上所有的平面来说, 其中任何一个平面都不可能同时经过这两条直线。 ⑶如果两直线异面,那么我们将经过其中一条直线的平面绕该直 线旋转一周,旋转到任何位置的平面都不可能经过另一条直线。 ⑷异面直线就是位于两个不同平面内直线。 这种基于运动观的概念教学使学生所掌握的抽象概念具有了 丰富的经验成分,以至于学生在运用这一概念时更加生动而具 体,抽象而灵活。 ⒉用敏捷,锐利的眼光分析概念错误的成因。 对数学概念理解防止片面性,所以在运用概念时,除了用典 型的正面例子来加强概念的理解外,还应采用针对性的反面例子 来辨析概念。 例14:对于函数概念要强调两点:①函数解析式②函数定义域, 所以判定两个函数是否相同标准也是这两个。

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下面判断两个函数是否相同: y = x 2 与y = x ,通过学生分 析,讨论,抓住概念的两要素进行判断。 例15:复数概念较多:针对学生可惯于用实数性质解题现象,可 编拟下列问题。 下列命题中正确吗?为什么? ① ② ③ 两复数不能比较大小。 两复数相等的充要条件是其模与辐角主值都相等。 若实系数一元二次方程两根共轭,则有△< 0

⒊重视例题变式,培养思维的敏捷性。 通过概念运用的变式教学,进一步使学生深入透彻地理解函 数概念,辨别概念各要素间的联系,并能运用概念进行解题,也 能训练学生简缩解题过程,提高学生思维的概括性,从而提高思 维的敏捷性。 例16:已知△ ABC 的边长BC的长为 8 ,周长为18,求顶点 A 的轨 迹方程。
x2 y 2 变式⑴已知椭圆的方程为: + = 1 ,点 P 为椭圆任意一 25 9

点,点 P 到一个焦点的距离为 3 ,则点 P 到另一个焦点的距离为 多少? 变式⑵已知椭圆的方程为:
x2 y 2 + = 1 , F1 , F2 分别为椭圆的两 25 9

个焦点,CD为过 F1 的弦,且 ∠CF1 F2 = θ , (0 < θ < π ) ,则 ?F2CD 的周长 为多少? 变式⑶若将“周长为18”改为“ b, a, c 求顶点 A 的轨迹方程。 变式⑷若将“周长为18”改为“ sin B + sin C = 2sin A 点 A 的轨迹方程。 变式⑸若将已知改为“△ ABC 的边长BC的长为 8 ,要使点 A 的轨迹为椭圆可添加什么条件?” 恩格斯说:“在一定意义上,科学的内容就是概念的体
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三边成等差数列”,

”,求顶

系。”数学教学的长期实践经验表明:数学质量的提高依赖于对 基础知识和基本技能教学的加强。而“双基”教学的核心是概念 教学。在概念教学中,要从感性认识开始,使学生对概念表象, 再上升到理性认识,并在“理解”与“使用”的多次反复中达到 深刻理解概念。

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