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2013届高考文科数学一轮复习课时作业(7)幂函数与二次函数

时间:2012-11-01


课时作业(七) 第 7 讲 幂函数与二次函数 [时间:45 分钟 分值:100 分]
基础热身 1.[2011· 湘潭二模] 已知幂函数 f(x)=xα 的图象经过点?2,

?

2? ,则 f(4)的值等于( 2?

)

1 A.16 B. 16 1 C.2 D. 2 2.“a=0”是“函数 f(x)=x2+ax 在区间(0,+∞)上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知函数 f(x)=x2-4x,x∈[1,5],则函数 f(x)的值域是( ) A.[-4,+∞) B.[-3,5] C.[-4,5] D.(-4,5] 4. 已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤2 或 a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤-3 或 a≥-2 D.-3≤a≤-2 能力提升 1 5.图 K7-1 中的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已知 n 可取± 2,± 四个值, 2 则对应于曲线 C1、C2、C3、C4 的 n 依次为( )

图 K7-1 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 ? 2 ?x +4x,x≥0, 6.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ?4x-x ,x<0. ? A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 7.若 f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则 f(m+1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数
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)

D.与 m 有关
? ?g?x?+x+4,x<g?x?, 8.[2010· 天津卷] 设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? 则 f(x)的值 ?g?x?-x,x≥g?x?, ? 域是( ) 9 A.?-4,0?∪(1,+∞) ? ? B.[0,+∞) 9 C.?-4,+∞? ? ? 9 ? D.?-4,0?∪(2,+∞) ? 9.已知幂函数 f(x)=xα 部分对应值如下表: 1 x 1 2 2 f(x) 1 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( ) A.{x|0<x≤ 2} B.{x|0≤x≤4} C.{x|- 2≤x≤ 2} D.{x|-4≤x≤4} 10.[2011· 益阳调研] 已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数 m 的取值范围是________. 11.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围 是________. 12.一元二次方程 x2+(a2-1)x+(a-2)=0 的一根比 1 大,另一根比 1 小,则实数 a 的 取值范围是________. 13.已知定义在区间[0,3]上的函数 f(x)=kx2-2kx 的最大值为 3,则 k=________.

14.(10 分)[2011· 永州联考] 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池 中注水 60 吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为 120 6t吨 (0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧张现象.

15.(13 分)已知函数 f(x)=1-2ax-a2x(a>1). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若当 x∈[-2,1]时,函数 f(x)的最小值为-7,求此时 f(x)的最大值.

难点突破 16.(12 分)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). ? ?f?x?,x>0, (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2)+F(-2) ?-f?x?,x<0, ? 的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围.
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课时作业(七) 【基础热身】 2 1 1 2? 代入 f(x)=xα 得 2α= ,所以 α=- ,∴f(4)= .故选 D. 2 2 2 2? 2 2.A [解析] 由“函数 f(x)=x +ax 在区间(0,+∞)上是增函数”可知,对称轴 x=- 1.D [解析] 将?2,

?

a ≤0,即 a≥0,所以“a=0”是“函数 f(x)=x2+ax 在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不 2 必要条件. 3. [解析] ∵函数 f(x)=x2-4x 的对称轴的方程为 x=2, C ∴函数 f(x)=x2-4x, x∈[1,5] 的最小值为 f(2)=-4,最大值为 f(5)=5,∴其值域为[-4,5]. 4.A [解析] 由于二次函数的开口向上,对称轴为 x=a,若使其在区间(2,3)内是单调 函数,则需所给区间在对称轴的同一侧,即 a≤2 或 a≥3. 【能力提升】 5.B [解析] 指数越小,函数在(0,1)上的图象越远离 x 轴,因此曲线 C1,C2,C3,C4 的指数越来越小. ?x2+4x,x≥0, ? 6.C [解析] 函数 f(x)=? 的图象如图.知 f(x)在 R 上为增函数. 2 ? ?4x-x ,x<0 ∵f(2-a2)>f(a),即 2-a2>a.解得-2<a<1.

1 7.B [解析] 法一:∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x= , 2 1 而-m,m+1 关于 对称,∴f(m+1)=f(-m)<0. 2 法二:∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0, ∴f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0. 8.D [解析] 由题意 ?x2+x+2,x<g?x?, ? f(x)=? 2 ? ?x -x-2,x≥g?x?
? 2 ?x +x+2,x∈?-∞,-1?∪?2,+∞?, =? 2 ?x -x-2,x∈[-1,2] ?

??x+2? +4,x∈?-∞,-1?∪?2,+∞?, ? ? =? 1 9 ??x-2? -4,x∈[-1,2], ? ?
1
2

7

2

所以当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f(x)的值域为(2,+∞);当 x∈[-1,2]时,f(x)的 9 值域为?-4,0?,故选 D. ? ? 1 2 1 1 9.D [解析] ∵f?2?= ,∴α= .故 f(|x|)≤2 可化为|x| ≤2,∴|x|≤4.故其解集为{x| ? ? 2 2 2 -4≤x≤4}. 10.(0,+∞) [解析] ∵0.71.3<0.70=1=1.30<1.30.7, ∴0.71.3<1.30.7,∴m>0. 11.1≤m≤2 [解析] ∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴其对称轴方程为 x=1,f(1)=
3

2.∴m≥1. 又∵f(0)=3,由对称性可知 f(2)=3,∴m≤2,综上可知 1≤m≤2. 12.-2<a<1 [解析] 令 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2),方程就是 f(x)=0,它的一个根 大于 1,另一根小于 1,f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的图象是开口向上的抛物线,相当于说抛 物线与 x 轴的两个交点分别在点(1,0)的两侧,必有 f(1)<0,即 1+(a2-1)+a-2<0,∴-2 <a<1. 13.1 或-3 [解析] (1)当 k=0 时,显然不成立.(2)当 k≠0 时,f(x)=k(x-1)2-k,① 当 k>0 时,二次函数图象开口向上,当 x=3 时,f(x)有最大值,f(3)=k·2-2k×3=3k=3? 3 k=1;②当 k<0 时,二次函数图象开口向下,当 x=1 时,f(x)有最大值,f(1)=k-2k=-k =3? k=-3.故 k=1 或-3. 14.[解答] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y=400+60t-120 6t(0≤t≤24). 令 6t=x,则 x2=6t 且 0≤x≤12, ∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12); ∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨. (2)依题意 400+10x2-120x<80, 得 x2-12x+32<0, 8 32 解得 4<x<8,即 4< 6t<8,∴ <t< . 3 3 32 8 ∵ - =8,∴每天约有 8 小时供水紧张. 3 3 15.[解答] 设 ax=t>0,则 y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2. (1)∵t=-1?(0,+∞),∴y=-t2-2t+1 在(0,+∞)上是减函数. ∴y<1,所以 f(x)的值域为(-∞,1). 1 1 2 ?1 ? (2)∵x∈[-2,1], a>1, ∴t∈?a2,a?, t=-1??a2,a?, ? ? 由 ? ? 所以 y=-t -2t+1 在?a2,a? 上是减函数, ∴-a2-2a+1=-7,∴a=2 或 a=-4(不合题意,舍去). 1 1 当 t= 2= 时,y 有最大值. a 4 1 1 7 即 ymax=-?4?2-2× +1= . ? ? 4 16 【难点突破】 b 16.[解答] (1)由已知 c=1,f(-1)=a-b+c=0,且- =-1,解得 a=1,b=2.∴f(x) 2a =(x+1)2. 2 ? ??x+1? ,x>0, ∴F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0, ∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. 1 (2)由题知 f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,即 b≤ -x 且 x 1 1 b≥- -x 在(0,1]上恒成立,根据单调性可得 -x 的最小值为 0, x x 1 - -x 的最大值为-2,所以-2≤b≤0. x

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