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2015-2016学年高中数学 第2章 2.1第2课时 演绎推理课件 新人教B版选修2-2_图文

时间:2015-12-29

第二章
推理与证明

第二章 2.1 合情推理与演绎推理
第2课时 演绎推理

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

在生活中,我们常常会遇到这 样一些判断:人生病要吃药,小明 生病了,因此,小明要吃药;摩擦 生热,冬天双手互相摩擦,手就不 冷了;任意四边形的内角和为 360° ,梯形是四边形,因此梯形 的内角和是 360° ??这些推理都是从一般的原理出发,推出某 个特殊情况下的结论的,与前一节所学的合情推理不同,这属 于另一种推理——演绎推理.

1.合情推理包括哪两种推理方式? 2 .我们知道金属能够导电,而铁是金属,由此能得到怎 样的结论? 答案:1.归纳推理和类比推理. 2.铁能够导电.

一、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们 把这种推理叫做演绎推理.它是从一般到特殊的推理模式. 演绎推理的特点:

(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是
蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之 中.

(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要

前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确
的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方式,它较缺乏创造性, 但却具有条理清晰,令人信服的论证作用,有助于科学的理论 化和系统化.

下面几种推理过程是演绎推理的是(

)

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条 平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人, 三班有 52 人,由此推测各班都超过 50 人 1 ? 1? ? D.在数列{an}中,a1=1,an=2?an-1+a ? ?(n≥2),计算 - n 1 ? ? a2、a3、a4,由此猜测通项 an

[答案] A

[解析]

A是演绎推理,它是由一般到特殊的推理形式,B

是类比推理,C与D均为归纳推理.故选A.

二、三段论推理 在推理中:“若 b?c,a?b,则 a?c”这种推理规则叫三 段论推理. 演绎推理中经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三 M是P,S是M 段论推理.一般地,三段论可表示为: , 所以,S是P 其中“M 是 P”是大前提, 它提供一般性原理, “S 是 M” 是小前提,指出一个特殊的对象,大前提和小前提结合得出一 般性原理和特殊对象之间的内在联系,从而得出结论“S 是 P”.

注意:(1)应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大 前提和小前提,但为了叙述简洁,如果前提是显然的,则可以 省略. (2)从集合论的观点来讲三段论推理的根据是:①若集合 M 中的所有元素都具有性质 P;②S 是 M 的一个子集;③那么 S 中的所有元素都具有性质 P.

? π π? “三角函数是周期函数, y=tanx, x∈?-2,2?是三角函数, ? ?

所以

? π π? y=tanx,x∈?-2,2?是周期函数”.在以上演绎推理中, ? ?

下列说法正确的是( A.推理完全正确 C.小前提不正确

) B.大前提不正确 D.推理形式不正确

[答案] D
[ 解析 ] 大前提和小前提中的 “ 三角函数 ” 不是同一概 念,犯了偷换概念的错误,即推理形式不正确.

三、传递性关系推理 “如果 aRb,bRc,则 aRc”,其中“R”表示具有传递性的 关系,这种推理规则叫做传递性关系推理.

平行公理“三条直线 a、b、c,若 a∥b,b∥c,则 a∥c” 中所蕴含的推理规则是________.

[答案] 传递性关系推理

四、完全归纳推理 把所有的情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推 理. 完全归纳推理有两个规则:一是前提中被判断的对象必须 是该类事物的全部对象;二是前提中的所有判断都必须是真实 的.

设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 是前 n 项和. log0.5Sn+log0.5Sn+2 求证: >log0.5Sn+1. 2
[证明] 设数列{an}的公比为 q, 由题设知 a1>0,q>0. 当 q=1 时,Sn=na1,从而 Sn· Sn+2-S2 (n+2)a1-(n n+1=na1·
2 +1)2a2 1=-a1<0.

a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= , 1-q
2 n n+2 a ? 1 - q ?? 1 - q ? 1 2 从而 Sn· Sn+2-Sn+1= ?1-q?2 n+1 2 a2 ? 1 - q ? 1 n - =-a2 q 2 1 <0. ?1-q?

综上,得 Sn· Sn+2<S2 n+1. log0.5Sn+log0.5Sn+2 故 >log0.5Sn+1. 2

课堂典例探究

假言推理
设k为实数,求证:方程x2+kx+k-1=0一定有 实数根.

[分析] 假设方程的判别式Δ≥0,则方程一定有实数根.
[ 证明 ] ∵ 方程 x2 + kx + k - 1 = 0 的判别式 Δ = k2 - 4(k - 1) =(k-2)2≥0, ∴方程一定有实数根.

[ 方法总结 ]

本题的推理过程是“若 Δ≥0 ,则方程有实

根”,而判别式 Δ≥0 为真,所以方程有实根就为真,属于假 言推理的形式.

设m为实数,求证方程x2-2mx+m2+1=0没有实数根. [证明] 已知方程x2-2mx+m2+1=0的判别式Δ=(-2m)2 -4(m2+1)=-4<0,所以方程x2-2mx+m2+1=0没有实数根.

三段论推理
指出下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理原 则.如图.

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,BC=AD. 又∵△ABC 和△CDA 的三边对应相等, ∴△ABC≌△CDA.

[解析] 这个证明过程包含着两个三段论推理. 在第一个推理中,暗含着一个一般性原理,“平行四边形 的对边相等”.这个已被证明了的一般定理是大前提.“四边 形 ABCD 是平行四边形”是小前提,把一般性原理用于前面的 具体情况,于是得到结论“AB=CD,BC=AD”. 在第二个推理中,大前提是已被证明了的一般定理“有三 边对应相等的两个三角形全等”,小前提是“AB=CD,BC= AD,AC=CA,”结论是“△ABC≌△CDA”.

[方法总结]

数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行

的,三段论是由三个判断组成的,其中的两个为前提,另一个 为结论.第一个判断是提供性质的一般判断,叫做大前提,通 常是已知的公理、定理、定义等;第二个判断是和大前提有联 系的特殊判断,叫做小前提,通常是已知条件或前面推理的第 三个判断,如上例的两个小前提分别是“四边形 ABCD 是平行 四边形”(已知条件)和“△ABC 和△CDA 三边对应相等(前面 推理的第三个判断)”; 第三个判断是结论. 是联合前两个判断, 根据它们的联系作出的新判断,如上例中的两个结论分别是 “AB=CD,BC=AD”和“△ABC≌△CDA.”

在推理论证的过程中,一个稍复杂一点的证明题经常要由 几个三段论才能完成,而大前提通常省略不写,或者写在结论 后面的括号内,小前提有时也可以省去,而采取某种简明的推 理格式.

如图所示,D、E、F 分别是 BC、CA、AB 上的点,∠BFD =∠A,且 DE∥BA,求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大 前提、小前提和结论,并最终把推理过程用减缩的形式表示出 来).

[证明]

∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ? ? DE∥BA ?

?四边形 AFDE 是平行四边形?ED=AF. 把上述证明过程用三段论加以表述.
[解析] 上述证明过程中包括三步骤如下: (1)∵同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) ∴DF∥EA.(结论)

(2)∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提) ∴四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)∵平行四边形的对边相等,(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提) ∴ED=AF.(结论)

传递性关系推理
1 求证: 当 a>0, b>0, a+b=1 时, a+2+ ≤2. 1 b+2

1 [证明] ∵1=a+b≥2 ab,∴ab≤4. 1 1 ∴2(a+b)+ab+4≤1. ∴
? 1?? 1? ?a+ ??b+ ?≤1, 2?? 2? ?

从而有 2+2

? 1?? 1? ?a+ ??b+ ?≤4, 2?? 2? ? ? 1?? 1? ?a+ ??b+ ?≤4, 2?? 2? ?

? 1? ? 1? 即?a+2?+?b+2?+2 ? ? ? ? ? ∴? ? ? ? 1? ?a+ ?+ 2? ? ? 1? ?a+ ?+ 2? ?

? 1?? ? ?b+ ??2≤4. 2?? ? ? 1? ?b+ ?≤2. 2? ?



[方法总结]

本题直接用 a+b=1 来推理,方向不够明确,

但只要注意求证式子的特点,我们不难想到利用关系推理进行 证明.

1 1 1 设 a>0,b>0,a+b=1.求证:a+b+ab≥8.

[证明] 因为 a>0,b>0,a+b=1, 1 ∴1=a+b≥2 ab,即 ab≤2. 1 ∴ab≥4,
?1 1? 1 1 1 1 ? ? ∴a+b+ab=(a+b) a+b +ab≥2 ab· 2 ? ?

1 1 ab +ab≥4+4

1 1 1 =8,当且仅当 a=b 时等号成立,所以a+b+ab≥8.

完全归纳推理

求证:当 1≤n≤4 时,f(n)=(2n+7)· 3n+9 能被 36 整除.
[证明] 当 n=1 时, f(1)=(2+7)· 3+9=36, 能被 36 整除; 当 n=2 时,f(2)=(2×2+7)· 32+9=108=36×3,能被 36 整除; 当 n=3 时, f(3)=(2×3+7)· 33+9=360=36×10, 能被 36 整除;

当 n=4 时,f(4)=(2×4+7)· 34+9=1224=36×34,能被 36 整除. 综上,当 1≤n≤4 时,f(n)=(2n+7)· 3n+9 能被 36 整除. [方法总结] 完全归纳推理有两个规则:

(1)前提中被判断的对象必须是该类事物的全部对象; (2)前提中的所有判断都必须是真实的.

已知函数

? 1 1? ? 3 f(x)=?2x-1+2? · x ? . ? ?

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)>0. [解析] (1)函数 f(x)的定义域为 2x-1≠0,即{x|x≠0}, f(-x)-f(x)
? ? 1 1 1? 1? ? ? ? 3 3 =?2-x-1+2?(-x) -?2x-1+2? x ? ? ? ? ?

? 2x ? 1 1? 1? ? ? ? 3 3 =?1-2x+2?(-x) -?2x-1+2? x ? ? ? ? ?

2x 1 3 1 3 1 3 3 = x · x -2x - x x -2x 2 -1 2 -1 =x3-x3=0. 所以 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数. (2)证明:因为 x≠0,所以当 x>0 时,2x>1,2x-1>0,x3>0. 所以 f(x)>0.当 x<0 时,-x>0,f(-x)=f(x)>0,所以 f(x)>0.

“三段论”在函数中的应用
x-2 已知函数 f(x)=a + (a>1),求证:函数 f(x) x+1
x

在(-1,+∞)上为增函数.

[分析]

本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的

方法,解决此类问题应先找出证明的大前提,然后在大前提下 证明小前提满足大前提,从而得出结论.

[证明] 对?x1,x2∈I,且 x1<x2,若 f(x1)<f(x2),则 y=f(x) 在 I 上是增函数.大前提 设 x1,x2 是(-1,+∞)上的任意两数,且 x1<x2,则 x1-2 x2-2 f(x1)-f(x2)=ax1+ -ax2- x1+1 x2+1 x1-2 x2-2 =ax1-ax2+ - x1+1 x2+1 3?x1-x2? =ax1-ax2+ , ?x1+1??x2+1?

∵a>1,且 x1<x2,∴ax1<ax2,x1-x2<0. 又∵x1>-1,x2>-1,∴(x1+1)(x2+1)>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).小前提 ∴函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.结论

[方法总结]

用“三段论”的形式证明命题时,如果大前

提很明显,一般可省略不写.演绎推理在大前提、小前提和推 理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.

2x-1 求证:函数 y= x 是奇函数,且在定义域上是增函数. 2 +1

?2x+1?-2 2 [证明] y= =1- x . 2x+1 2 +1 所以 f(x)的定义域为 x∈R.
? ? 2 ? 2 ? ? ? ? f(-x)+f(x)=?1-2-x+1?+?1-2x+1? ? ? ? ? ?
x ? ? 2 ? ? 2 2 2· 2 ? ? ? + + - =2-? = 2 - x x x x ?2 +1 2 +1? ?2 +1 2 +1? ? ? ? ?

2?2x+1? =2- x =2-2=0. 2 +1

即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2. 则
? ? 2 ? 2 ? ? ? ? f(x1)-f(x2)=?1-2x +1?-?1-2x +1? ? 1 2 ? ? ? ?

? 1 1 ? 2x1-2x2 ? ? =2?2x +1-2x +1?=2· ?2x2+1??2x1+1? 1 ? 2 ?

.

由于 x1<x2,从而 2x1<2x2,2x1-2x2<0, 所以 f(x1)<f(x2),故 f(x)为增函数.

如图,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的 高,求证:∠ACD>∠BCD.

[错解]

在△ABC 中,∵CD⊥AB,AC>BC,∴AD>BD,

∴∠ACD>∠BCD.

[辨析]

错误的原因在于运用的大前提正确.在同一个三

角形内,大边对大角;而 AD 与 BD 并不是同一个三角形的两 条边,即小前提并不成立,所以推理过程错误.
[正解] ∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90° . ∴∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90° . ∴∠A-∠B=∠BCD-∠ACD. 在△ABC 中,∵AC>BC,∴∠B>∠A,即∠A-∠B<0,∴ ∠BCD-∠ACD<0,∴∠ACD>∠BCD.

?三段论推理?掌握? ? 演绎推理?传递性关系推理?掌握? ?完全归纳推理?掌握? ?


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