2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 （5 月 5 日 8:00 至 10:00）

一．填空题：本大题共 10 小题，每小题 7 分，共 70 分． 1．设方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ，且小于 4 ，则实数 m 的范围是
2 2

．

2．从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只，至少配成一双的概率为

．

3．设实数 x ， y 满足 x2 ? 4x ? y ? 3 ? 0 ，则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是

．

4．若存在正实数 a ， b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n （ i 是虚数单位， n ? N ） ，则 n 的最小值
*

是

． ．

5．若三角形 ABC 的三边 AB ， BC ， AC 成等差数列，则 ? A 的取值范围是
*

6．若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 ， (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 （ n ? N ） ，则满足条件的 a1 的 所有可能值之积是 ．

7．已知 f ( x) ? x ? 94 x ? 2013 ，则
2

n ?30

? ? f (n) ?

60

f (n) ? ?

．

s 8 ． 设 x ， y ??0, 2? ? ， 且 满 足 2 s i nx c o y ?
为 ．

s ix ? n

1 cos ? ，则 x ? y 的最大值 y? 2

9．已知正四面体 ABCD 的棱长为 9，点 P 是面 ABC 上的一个动点，满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的距离成等差数列，则 P 到面 DCA 距离的最大值是 ．

10． 将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数， 这个四位数为完全平 方数，再过 31 年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完 全平方数，小王现在的年龄是 ．

二．解答题：本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分． 11．设 k 为实数， 0 ? k ? 6 ，椭圆 E1 :

( x ? k )2 x2 ? y 2 ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 9 9

C ， E1 的左顶点为 B ， E2 的右顶点为 D （如图） ，若四边形 ABCD 是正方形，求实
数k ．

12．如图，梯形 ABCD 中， B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' ， A 、 C 关于 对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、 C ' ．证明：四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形．

13．设实数 a ， b 满足 0 ? a ?

1 ? b ? 1 ．证明： 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b ． 2

14．正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰 梯形的顶点．