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2015年高考数学(文科)第二轮复习专题二、三选一 不等式选讲

时间:2015-03-07

2015 年高考文科数学专题复习导学案
专题二 选修系列
第二节
一、知识归纳总结:
2 2 1、几个重要不等式① a ? b ? 2ab ? a,b ? R? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

学生自主学习学案

选修 4—5 不等式选讲
变形公式:

a 2 ? b2 ab ? . 2
变形公式:

② (基本不等式)

a?b ? ab 2

a ? b 时取到等号) , . ? a,b ? R ? (当且仅当
?

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . 用基本不等式求最值时(积定和最小, ? 2 ?
a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3
2

2

和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a ? b ? c 时取到等号) .

④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c
2 2

时取到等号). ⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑥ 若ab ? 0, 则 时取等号)

b a b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b a b a b
⑦ b ? b ? m ?1? a ? n ? a , (其中 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小
a a?m b?n b

于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a; x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a.
2 2

⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、几个著名不等式 ①平均不等式:
a
?1

2 ? ? b?1

ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 2

, 当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号) . (a, b ? R? ,

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:
2 ( a ? b) 2 2 2 a 2 ? b2 ? a?b ? . ab ? ? ; a ?b ? ? ? 2 2 ? 2 ?

②幂平均不等式: a1 ? a2 ? ... ? an ?
2 2 2

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 . ⑥一般形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 . ⑦向量形式的柯西不等式:设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量, 或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法等. 常见不等式的放缩方法:①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; ②将分子或分母 4 2

放大(缩小) ,如 2 ?

1 1 , k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 2k

?

2 1 2 1 2 ? ? , ? (k ? N * , k ? 1) 等. k ? k k k ? k ?1 k k ? k ?1

11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x).
2 2

⑶同解变形法,其同解定理有:① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0)

规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 14、恒成立(有解)问题 1) f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; 2) f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;

f ( x) ? a 有解 ? f ( x)min ? a; f ( x) ? a 有解 ? f ( x)max ? a.

二、高频考点及解法:
(一) 、含绝对值不等式的解法 例 1: (14 年全国 1、24)设函数 f(x)=|x+

1 |+|x-a|(a>0)。 a

(I)证明:f(x)≥2; (II)若 f(3)<5,求 a 的取值范围。

例 2.【2012 高考新课标文 24】 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时, 求不等式 f(x) ≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

小结:用零点分段法解绝对值不等式的步骤为:求出每个绝对值的两点---根据零点对定义 域进行划分区间---分别在每个区间内去掉绝对值并解不等式----取每个区间解集的并集。 (二) 、绝对值不等式恒成立(有解)求参数范围,绝对值函数的图象与最值 例 1: (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ) 当 a ? ?2 时 , 求 不 等 式 f ( x) ? g ( x) 的 解 集 ; a ? ?1 , 且 当 x ? [? 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围
【答案】解:(I)当 a ? ?2时,不等式f ( x) <g(x)化为

a 1 , ) 2 2

2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 <0.

设函数 y= 2x ?1 ? 2x ? 2

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? x ? 3 ,则 ? 1 ? y ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?

其图像如图所示

从图像可知 , 当且仅当 x ? (0, 2) 时 ,y<0, 所以原不等式的解集是 (II) 当 x ? ? ? ,

?x 0 ? x ? 2 ? ;

? a 1 ? , f ( x) ? 1 ? a. 不等式 f ( x) ≤g(x)化为 1+a≤x+3. ? 2 2
a 2

所以 x≥a-2 对 x ? ? ? , ? 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ?

? a 1? ? 2 2?

4 4? ? , 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3 3? ?

例 2: (2010 年新课标)设函数 f ( x ) = 2 x ? 4 + 1。 (Ⅰ)画出函数 y= f ( x ) 的图像: (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围

解: (Ⅰ)由于 f ( x ) =

?

?2 x ? 5, x ??? 2 x ? 3, x ? 2. 则函数 f ( x) 的图像如图所示。

(Ⅱ)由函数 y ? f? x? 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 a ? ?2 时, 函数 y ? f? x? 与函数 y ? ax 的图像有交点。故不等式 f? x? ? ax 的解集非空 时,a 的取值范围为 ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? 。 小结:作含绝对值函数的图象,通常先用零点分段法去绝对值把函数转化为分段函数。不 等式恒成立或有解问题常转化为求函数最值。 (二) 、不等式的证明、均值不等式 例 1: (14 年全国 1、24)若 a ? 0, b ? 0, 且
3 3

?1 ?2

? ?

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a ? b 的最小值; (II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. (Ⅰ) 由 ab ? ? ?

1 1 2 3 3 3 3 ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立,故 a ? b ? 3 a b ? 4 2 ,且 a b ab
3 3

当 a ? b ? 2 时等号成立,∴ a ? b 的最小值为 4 2 . (Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立. 例 2: (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2

1 ; 3

2 2 2 (Ⅱ) a ? b ? c ? 1 .

b

c

a

专题二 选修系列
课堂限时训练 2 选修 4—5 不等式选讲
审题人:蒙国壮

命题人:董倬材

班别

姓名

座号

解答题(本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

课堂限时训练 2

选修 4—5 不等式选讲答案


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