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1.2第1课时 等差数列的概念及通项公式 教案(北师大版必修五)

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§2 等 差 数 列 第 1 课时 等差数列的概念及通项公式 知能目标解读 1.通过实例,理解等差数列的概念,并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列. 2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法. 3.体会等差数列与一次函数的关系,能用函数的观点解决等差数列问题. 4.掌握等差中项的定义,并能运用它们解决问题. 5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题. 重点难点点拨 重点:等差数列的概念. 难点:等差数列的通项公式及其运用. 学习方法指导 1.等差数列的定义 (1)关于等差数列定义的理解,关键注意以下几个方面: ①如果一个数列,不是从第 2 项起,而是从第 3 项起或第 4 项起,每一项与它的前一项的差 是同一个常数,那么这个数列不是等差数列. ②一个数列从第 2 项起, 每一项与其前一项的差尽管等于常数, 这个数列也不一定是等差数 列,因为这些常数不一定相同,当这些常数不同时,此数列不是等差数列. ③求公差时,要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者 d=an-an-1 (n∈N+且 n≥2). (2)如何证明一个数列是等差数列? 要证明一个数列是等差数列,根据等差数列的定义,只需证明对任意正整数 n,an+1-an 是同 一个常数(或 an-an-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与 n 无关的常数. 注意:判断一个数列是等差数列的定义式: an+1-an=d(d 为常数).若证明一个数列不是等差数列, 可举一个特例进行否定,也可以证明 an+1-an 或 an-an-1 (n>1)不是常数,而是一个与 n 有关的 变数即可. 2.等差数列的通项公式 (1)通项公式的推导常用方法: 方法一(叠加法) :∵{an}是等差数列, ∴an-an-1=d,an-1-an-2=d, an-2-an-3=d,?, a3-a2=d,a2-a1=d. 将以上各式相加得:an-a1=(n-1)d, ∴an=a1+(n-1)d. 方法二(迭代法):∵{an}是等差数列, ∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=?=a1+(n-1)d. 即 an=a1+(n-1)d. 方法三(逐差法) :∵{an}是等差数列,则有 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d. 注意:等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法,应注意体会并应用. (2)通项公式的变形公式 在等差数列{an}中,若 m,n∈N+,则 an=am+(n-m)d.推导如下:∵对任意的 m,n∈N+,在等差 数列中,有 第 1 页 共 50 页 am=a1+(m-1)d ① an=a1+(n-1)d ② 由②-①得 an-am=(n-m)d, ∴an=am+(n-m)d. 注意:将等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 变形整理可得 an=dn+a1-d,从函数角度来看, an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时)或常数函数(d=0 时),其图像是一条射线上一些间 距相等的点, 其中公差 d 是该射线所在直线的斜率, 从上面的变形公式可以知道, d= an ? am n?m (n≠m). (3)通项公式的应用 ①利用通项公式可以求出首项与公差; ②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项; ③若某数为等差数列中的一项,可以利用通项公式求出项数. 3.从函数角度研究等差数列的性质与图像 由 an=f(n)=a1

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