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(北师大版)数学必修五:3.4《简单线性规划(第3课时)》ppt课件_图文

时间:2015-09-05

成才之路 ·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
不等式

第三章

不等式

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第三章
§4 简单线性规划 第3课时 简单线性规划的应用

第三章

不等式

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1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

第三章

§4

第3课时

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课前自主预习

第三章

§4

第3课时

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近 20 年来,中国的城市化取得了巨大的成 就.城市人口急剧增加,导致购房者大大增

长.与装修有关的各个行业发展迅速.某家具 加工厂为了满足人们的需求,准备加工书桌和 书 橱 出 售 . 家 具 厂 现 有 方 木 90m2 , 五 合 板 600m2. 已知生产每张书桌需要方木料 0.1m2 ,五 合板 2m2 ,生产书橱每个需要方木 0.2m2 ,五合 板1m2.出售一张书桌可获利润80元,出售一个书 橱可获利润 120 元.怎样安排生产可使利润最 大?要解决这个问题就要用到线性规划,下面 让我们来研究一下线性规划问题.
第三章 §4 第3课时

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1.解线性规划应用题的步骤:

(1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际
问题转化为数学上的线性规划问题. (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题.

求解过程:
作图 ——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所 ①_____ 表示的平面直线系中的任意一条直线l.

第三章

§4

第3课时

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平移 ——将l平行移动,以确定最优解所对应的点的 ②________
位置. 求值 ——解有关方程组求出最优解的坐标,再代入目 ③________ 标函数,求出目标函数的最值.

(3)作答——就应用题提出的问题作出回答.
2.线性规划解决的常见问题有:物资调配 ________问题、 产品配方问题、________ 方案设计 ________ 问题 产品安排问题、________ 合理下料问题、________ 等.

第三章

§4

第3课时

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1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用
A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料 3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利

润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B
原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是( A.12万元 C.25万元 [答案] D B.20万元 D.27万元 )

第三章

§4

第3课时

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[解析]
为z=5x+3y.

设生产甲产品 x 吨,乙产品 y吨时,则获得的利润

? ?x≥0 ?y≥0 由题意,得? ?3x+y≤13 ? ?2x+3y≤18 可行域如图阴影所示.



由图可知当 x、y 在 A 点取值时, z 取得最大值,此时 x=3,y=4, z=5×3+3×4=27(万元).
第三章 §4 第3课时

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2.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加
工出B产品,甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7 千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗 费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天

甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间
每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱

B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
第三章 §4 第3课时

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[答案] B

[解析] 设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,由
题意可知

? ?x+y≤70 ?10x+6y≤480 ? ?x≥0 ? ?y≥0



甲、乙两车间每天总获利为 z=280x+200y. 画出可行域如图所示. 点 M(15,55)为直线 x+y=70 和直线 10x+6y=480 的交点, 由图像知在点 M(15,55)处 z 取得最大值.
第三章 §4 第3课时

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3.铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的
排放量b及每万吨铁矿石的价格c,如下表: a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c( 百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9( 万吨 )铁,若要求 CO2 的排放量不 超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为______(百万元). [答案] 15

第三章

§4

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[解析] 设购买 A,B 两种矿石分别为 x 万吨、y 万吨,购 买铁矿石的费用为 z 百万元,则 z=3x+6y. 由题意可得约束条件为 7 ?1 ? x+ y≥1.9 ?2 10 ? 1 ?x+2y≤2 ? ?x≥0 ?y≥0 ?



作出可行域如图所示,由图可知,目标函数 z=3x+6y 在 点 A(1,2)处取得最小值, zmin=3×1+6×2=15.
第三章 §4 第3课时

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课堂典例讲练

第三章

§4

第3课时

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收益最大问题(利润、收入、产量等)

某工厂计划生产甲、 乙两种产品, 这两种产品都 需要两种原料.生产甲产品 1 工时需要 A 种原料 3kg,B 种原 料 1kg;生产乙产品 1 工时需要 A 种原料 2kg,B 种原料 2kg. 现有 A 种原料 1 200kg, B 种原料 800kg.如果生产甲产品每工时 的平均利润是 30 元,生产乙产品每工时的平均利润是 40 元, 问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大?最大 利润是多少?
第三章 §4 第3课时

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[解析] 依题意可列表如下:
产品 生产甲种产 品1工时 生产乙种产 品1工时 限额数量 原料A数量(kg) 原料B数量(kg) 利润(元)

3
2 1 200

1
2 800

30
40

设计划生产甲种产品用 x 工时,生产乙种产品用 y 工时, 则获得利润总额为 t=30x+40y.
第三章 §4


第3课时

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其中 x、y 满足下列条件 ? ?3x+2y≤1 200 ?x+2y≤800 ? ?x≥0 ? ?y≥0



于是问题转化为,在 x、y 满足条件②的情况下,求 t=30x +40y 的最大值.

第三章

§4

第3课时

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画出不等式组②表示的平面区域OABC如图.

问题又可以转化为,在不等式组②表示的平面区域内找一 点,把它的坐标代入式子 30x+40y 时,使该式取最大值.
第三章 §4 第3课时

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令 30x+40y=0,则此方程表示通过原点的一条直线,记 为 l0.易知,在区域 OABC 内有 30x+40y≥0.考察这个区域内任 意一点 P(x,y)到 l0 的距离 |30x+40y| 30x+40y d= ,于是 30x+40y=50d, 2 2= 50 30 +40 这就是说,点 P(x,y)到直线 l0 的距离 d 越大,式子 30x+ 40y 的值也越大.因此,问题就转化为:在不等式组②表示的 平面区域内,找与直线 l0 距离最大的点.

第三章

§4

第3课时

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为了在区域 OABC 内精确地找到这一点,我们平移直线 l0 到位置 l,使 l 通过平面区域 OABC,可见当 l 经过点 B 时,l 与 l0 的距离最大,∴d 最大.
? ?3x+2y=1 200 解方程组? ? ?x+2y=800



得点 B 的坐标(200,300),代入式子①,得 tmax=30×200+40×300=18 000. 答: 用 200 工时生产甲种产品, 用 300 工时生产乙种产品, 能获得最大利润 18 000 元.
第三章 §4 第3课时

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[方法总结] 解答线性规划应用题应注意以下几点: (1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因 此认真审题非常重要; (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断;

(3)结合实际问题,分析未知数x、y等是否有限制,如x、y
为正整数、非负数等;

第三章

§4

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(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般 是不等式,而线性目标函数却是一个等式; (5)图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上都是 在图上完成的,所以作图应尽可能地准确,图上操作尽可能规

范.但作图中必然会有误差,假如图上的最优点不容易看出
时,需将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检 查,以确定最优解.

第三章

§4

第3课时

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某厂计划生产甲、乙两种产品,甲产品售价50千元/件,乙
产品售价30 千元/ 件,生产这两种产品需要 A、 B两种原料,生 产甲产品需要A种原料4t/件,B种原料2t/件,生产乙产品需要A 种原料3t/件,B种原料1t/件,该厂能获得A种原料120t,B种原 料50t.问生产甲、乙两种产品各多少件时,能使销售总收入最 大?最大总收入为多少?

第三章

§4

第3课时

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[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为 x 件、y 件,总产值 为 z 千元,则 ? ?4x+3y≤120 ?2x+y≤50 ? ?x≥0 ? ?y≥0

,z=50x+30y.

第三章

§4

第3课时

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画出不等式组表示的平面区域即可行域如图.

易知直线 z=50x+30y 过点(15,20)时,取得最大值. zmax=50×15+30×20=1 350. 答:生产甲、乙两种产品分别 为 15 件、20 件,总收入最大是 1 350 千元.
第三章 §4 第3课时

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耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题

某公司的仓库 A 存有货物 12t, 仓库 B 存有货物 8t.现按 7t、8t 和 5t 把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店,从 仓库 A 运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为 8 元、 6 元、9 元、从仓库 B 运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的 运费分别为 3 元、4 元、5 元.则应如何安排调运方案,才能使 得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少?

第三章

§4

第3课时

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[解析] 设仓库 A 运给甲、乙商店的货物分别为 xt、yt. 则仓库 A 运给丙商店的货物为(12-x-y)t. 仓库 B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)t,(8-y)t, [5-(12-x-y)]t, 总运费为 z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x +y-7)=x-2y+126,

第三章

§4

第3课时

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?12-x-y≥0 ? ?7-x≥0 ?8-y≥0 约束条件为? ?x+y-7≥0 ?x≥0 ? ?y≥0 作出可行域,如图所示.

? ?0≤x≤7 ?0≤y≤8 ,即? ?x+y≥7 ? ?x+y≤12



第三章

§4

第3课时

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作直线 l:x-2y=0,把直线 l 平行移动, 当直线过 A(0,8)时,z=x-2y+126 取得最小值, zmin=0-2×8+126=110, 即 x=0,y=8 时,总运费最少. 即仓库 A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为 0t、8t、4t, 仓库 B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为 7t、0t、1t,此时可 使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.

第三章

§4

第3课时

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某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品,甲种设备
每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200 元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产 品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为________元. [答案] 2300

第三章

§4

第3课时

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[解析] 设需租赁甲种设备 x 台,乙种设备 y 台,租赁费 z 元, ?5x+6y≥50 ? 由题意得?10x+20y≥140 ?x≥0,y≥0且x,y∈N ? z=200x+300y.



第三章

§4

第3课时

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作出如图所示的可行域.
令z=0,得l0:2x+3y=0, 平移l0可知,当l0过点A时,z有最小值.

? ?5x+6y=50 又由? ? ?10x+20y=140

,得 A 点坐标为(4,5).

所以 zmax=4×200+5×300=2300.
第三章 §4 第3课时

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线性规划中的整点问题

要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规 格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
规格类型
钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

A规格 B规格 C规格 2 1 1 2 2 3

第三章

§4

第3课时

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今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问
各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品,且使所 用钢板张数最少.

[解析] 设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张. ? ?2x+y≥15 ?x+2y≥18 可得? ?2x+3y≥27 ? ?x≥0,y≥0

,且 x、y 都是整数,

求目标函数 z=x+y 取最小值时的 x,y.

第三章

§4

第3课时

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作出可行域如图所示:

18 39 平移直线 z=x+y 可知直线经过点( , )时,z 取最小 5 5 57 18 39 18 值. 此时 x+y= , 但 与 都不是整数, 所以可行域内点( , 5 5 5 5 39 )不是最优解.如何求整点最优解呢? 5
第三章 §4 第3课时

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法一:平移求解法: 18 39 首先在可行域内打网格, 其次找出 A( , )附近的所有整 5 5 点,接着平移直线 l:x+y=0,会发现当移至 B(3,9),C(4,8) 时,直线与原点的距离最近,即 z 的最小值为 12. 法二:特值验证法: 由法一知,目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点,依次取满足条件的整点 A0(0,15) , A1(1,13),A2(2,11),A3(3,9),A4(4,8),A5(5,8),A6(6,7),A7(7,7), A8(8,7),A9(9,6),A10(10,6),?A27(27,0).
第三章 §4 第3课时

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将这些点的坐标分别代入 z=x+y, 求出各个对应值, 经验 证可知,在整点 A3(3,9)和 A4(4,8)处 z 取得最小值. 法三:调整优值法: 18 39 57 由非整点最优解( , )知,z= , 5 5 5 ∴z≥12,令 x+y=12,则 y=12-x 代入约束条件整理, 9 得 3≤x≤ , 2 ∴x=3,x=4,这时最优整点为(3,9)和(4,8).

第三章

§4

第3课时

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[方法总结] 可行域内最优解为整点的问题的处理
用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作 图精确度要求较高,平行直线系f(x,y)=t的斜率要画准,可行 域内的整点要找准.那么如何解决这一实际问题呢? 确定最优整数解常按以下思路进行:

(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解
(在包括边界的情况下);

第三章

§4

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(2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时,一般采
用网格法,即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先 经过或最后经过的整点坐标是整数最优解.这种方法依赖作 图,所以作图应尽可能精确,图上操作尽可能规范. (3)采用优值调整法,此法的一般步骤为:

①先求出非整点最优解及其相应的最优值;
②调整最优值,代入约束条件,解不等式组; ③根据不等式组的解筛选出整点最优解.

第三章

§4

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某人有楼房一幢,室内面积共计180 m2,拟分割成两类房
间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每 名旅客每天住宿费40 元;小房间每间面积为15 m2,可以住游 客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元;装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用 于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少 间,能获得最大收益?

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[解析] 设隔出大房间 x 间,小房间 y 间,收益为 z 元,则 x,y 满足 ?18x+15y≤180 ? ?1 000x+600y≤8 000 ?x≥0,y≥0 ? z=200x+150y. ?6x+5y≤60 ? ,即?5x+3y≤40 ?x≥0,y≥0 ?

.

第三章

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作出可行域,如图所示.当直线z=200x+150y经过可行域
上的点M时,z最大.

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? ?6x+5y=60 解方程组? ? ?5x+3y=40

,得点 M

?20 60? ? , 的坐标为? ?7 ?,由于 7 ? ?

点 B 的坐标不是整数,而最优解(x,y)是整点,所以可行域内 点
?20 60? ? , M? ?7 ?不是最优解. 7 ? ?

经验证:经过可行域内的整点,且使 z=200x+150y 取得 最大值,整点是(0,12)和(3,8),此时 zmax=1800 元. 答: 应只隔出小房间 12 间, 或大房间 3 间、 小房间 8 间, 可以获得最大利润,最大利润为 1800 元.

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易混易错点睛

第三章

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已知一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根在-2 与-1 之间,另一个根在 1 与 2 之间,如图示以 a,b 为坐标的 点(a,b)的存在范围.并求 a+b 的取值范围.
[误解] 令 f(x)=x2+ax+B.由题设 ? ?f?-2?>0 ?f?-1?<0 ? ?f?1?<0 ? ?f?2?>0 ? ?2a-b-4<0 ?a-b-1>0 ,∴? ?a+b+1<0 ? ?2a+b+4>0



第三章

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作出平面区域如图.

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令t=a+b,则t是直线b=-a+t的纵截距,显然当直线b
=-a+t与直线a+b+1=0重合时,t最大,tmax=-1. 当直线b=-a+t经过点(0,-4)时.t最小,∴tmin=-4, ∴-4≤t≤-1. [辨析] 误解中忽视了点(a,b)的存在范围不包含边界.

[正解] 令 f(x)=x2+ax+B.由题设 ? ?f?-2?>0 ?f?-1?<0 ? ?f?1?<0 ? ?f?2?>0 ? ?2a-b-4<0 ?a-b-1>0 ,∴? ?a+b+1<0 ? ?2a+b+4>0



第三章

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作出平面区域如图.

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令 t=a+b,则 t 是直线 b=-a+t 的纵截距,显然当直线 b=-a+t 与直线 a+b+1=0 重合时, t 最大,tmax=-1. 当直线 b=-a+t 经过点(0,-4)时.t 最小,∴tmin=-4, 又∵点(a,b)的范围是如图阴影部分且不含边界, ∴-4<t<-1.即-4<a+b<-1.

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本节思维导图

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设出未知数,写出约束条件与目标 ? ? ?转化—函数,将实际应用问题转化为数学 ? 上的线性规划问题 ? 线性规划的应用 ? ↓ ? ?求解—解这个线性规划问题 ? ↓ ? ?作答—根据应用题提出的问题作答

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§4

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课时作业
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