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第二届女子数学奥林匹克试题

时间:2016-02-14


中国第二届女子数学奥林匹克(CGMO)试题
第一天 2003.8.27 上午 8:30~12:30 武汉

(CGMO2-1)已知 D 是△ABC 的边 AB 上的任意一点,E 是边 AC 上的 任 意 一 点 , 连 结 DE , F 是 线 段 DE 上 的 任 意 一 点 , 设 AD AE DF ? x, ? y, ? z .证明: AB AC DE (1) S?BDF ? (1 ? x) yzS?ABC ; S?CEF ? x(1 ? y)(1 ? z)S?ABC ; (2) 3 S?BDF ? 3 S?CEF ? 3 S?ABC . (CGMO2-2)某班有 47 个学生,所用教室有 6 排,每排有 8 个座位,用

? i, j ? 表示位于第 i 排第 j 列的座位.新学期准备调整座位,设一个学生原
来的座 位为 ? i, j ? ,如 果调 整后的 座位 为 ? m, n? ,则称 该生作 了移动

?a, b? ? ?i ? m, j ? n?,并称 a ? b 为该生的位置数,将所有学生的位置数之
和记为 S,求 S 的最大可能值与最小可能值之差. (CGMO2-3)如图,ABCD 是圆内接四边形,AC 是圆的直径,BD⊥AC, AC 与 BD 的交点为 E,F 在 DA 的延长线上,连结 BF,G 在 BA 的延长 线上,使得 DG∥BF,H 在 GF 的延长线上,使得 CH⊥GF. 证明:B、E、F、H 四点共圆.
G

F H A

B

E

D

C

1

(CGMO2-4)(1)证明:存在和为 1 的五个非负实数 a,b,c,d,e,使得将它
1 们任意放置在一个圆周上,总有两个相邻的数的乘积不小于 . 9 (2)证明:对于和为 1 的任意五个非负实数 a,b,c,d,e,总可以将它们适当放 1 置在一个圆周上,并且任意相邻两数的乘积均不大于 . 9

中国第二届女子数学奥林匹克(CGMO)试题
第二天 2003.8.28 上午 8:30~12:30 武汉

(CGMO2-5)定义数列 ?an ? 如下: a1 ? 2, an?1 ? an2 ? an ? 1, n ? 1, 2,? . 证明: 1 ?
1 1 1 1 ? ? ??? ? 1. 2003 2003 a1 a2 a2003

( CGMO2 - 6 ) 给 定 正 整 数 n ? 2 , 求 最 大 的 实 数 ? , 使 得 不 等 式

an2 ? ? ? a1 ? a2 ? ?? an?1 ? ? 2an 对 任 何 满 足 a1 ? a2 ? ? ? an 的 正 整 数
a1 , a2 ,?, an 均成立.
(CGMO2-7)设△ABC 的三边长分别为 AB ? c, BC ? a, CA ? b ,a,b,c 互不 相等,AD、BE、CF 分别为△ABC 的内角平分线,且 DE=DF.证明: a b c ? ? (1) ; b?c c?a a ?b (2) ?BAC ? 900 . (CGMO2-8)对于任意正整数 n,记 n 的所有正约数组成的集合为 Sn. 证明:Sn 中至多有一半元素的个位数为 3.

2


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