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【创新设计】2016届 数学一轮(理科) 浙江专用 课时作业 第九章 导数、复数、推理证明-1 Word版含答案

时间:2015-09-06

选修模块

第九章

导数、复数、

推理与证明
第 1 讲 导数的概念及运算

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2015· 深圳中学模拟)曲线 y=x3 在原点处的切线 ( A.不存在 B.有 1 条,其方程为 y=0 C.有 1 条,其方程为 x=0 D.有 2 条,它们的方程分别为 y=0,x=0 解析 y=0. 答案 B ∵y′=3x2,∴k=y′|x=0=0,∴曲线 y=x3 在原点处的切线方程为 )

2.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 ( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 解析 B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0 )

3 切线 l 的斜率 k=4,设 y=x4 的切点的坐标为(x0,y0),则 k=4x0 =4,∴

x0=1,∴切点为(1,1), 即 y-1=4(x-1),整理得 l 的方程为 4x-y-3=0. 答案 A

3.(2015· 湛江调研)曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的

-1-

三角形的面积为 ( 1 A.3 解析 1 B.2 2 C.3 D.1 )

y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2, 故曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线方程为

?2 2? y=-2x+2,易得切线与直线 y=0 和 y=x 的交点分别为(1,0),?3,3?,故围成 ? ? 1 2 1 的三角形的面积为2×1×3=3. 答案 A

4.已知 f1(x)= sin x+ cos x, fn + 1(x)是 fn(x) 的导函数,即 f2(x)=f1′(x), f3(x)= f′2(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 015(x)等于 ( A.-sin x-cos x C.-sin x+cos x 解析 B.sin x-cos x D.sin x+cos x )

∵f1(x)=sin x+cos x, ∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, ∴f3(x)=f2′(x)=-

sin x-cos x,∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x, ∴fn(x)是以 4 为周期的函数,∴f2 015(x)=f3(x)=-sin x-cos x,故选 A. 答案 A

5.(2014· 陕西卷)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 (相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为 ( )

1 1 A.y=2x3-2x2-x 1 C.y=4x3-x 解析

1 1 B.y=2x3+2x2-3x 1 1 D.y=4x3+2x2-2x

设三次函数的解析式为 y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则 y′=3ax2+2bx

+c.由已知得 y=-x 是函数 y=ax3+bx2+cx+d 在点(0,0)处的切线,则 y′|x=0
-2-

=-1?c=-1, 排除 B、 D.又∵y=3x-6 是该函数在点(2,0)处的切线, 则 y′|x
=2

=3?12a+4b+c=3?12a+4b-1=3?3a+b=1.只有 A 项的函数符合,故

选 A. 答案 A

二、填空题 6.(2015· 珠海一模)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= ________. 解析 答案 1 1 y′=2ax- x ,∴y′|x=1=2a-1=0,∴a=2. 1 2

7 . (2014·广 东 卷 ) 曲 线 y = - 5ex + 3 在 点 (0 , - 2) 处 的 切 线 方 程 为 __________________. 解析 由 y=-5ex+3 得,y′=-5ex,所以切线的斜率 k=y′|x=0=-5,所以

切线方程为 y+2=-5(x-0),即 5x+y+2=0. 答案 5x+y+2=0

b 8.(2014· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 x P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值 是______. 解析 b b 7 y=ax2+ x的导数为 y′=2ax-x2, 直线 7x+2y+3=0 的斜率为-2.由题 ?a=-1, 解得? 则 a+b=-3. ?b=-2,

b 4 a + ? ? 2=-5, 意得? b 7 ? ?4a-4=-2, 答案 -3

三、解答题 1 4 9.已知曲线 y=3x3+3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程.

-3-



1 4 (1)∵P(2,4)在曲线 y=3x3+3上,且 y′=x2,

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 4? 1 4 ? (2)设曲线 y=3x3+3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0,3x3 0+ ?,则切线的斜 3? ?
2 率为 y′|x=x0=x0 .

2 4 ?1 3 4? 2 +3?=x0(x-x0), ∴切线方程为 y-?3x0 即 y=x2 x-3x3 0· 0+ .∵点 P(2,4)在切线上, 3 ? ? 2 3 4 3 2 3 2 2 ∴4=2x2 0- x0+ ,即 x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 3 3 ∴x2 ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得 x0=-1, 或 x0=2, 0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 故所求的切线方程为 x-y+2=0,或 4x-y-4=0. ln x 10.(2013· 北京卷改编)已知曲线 C:y= x . (1)求曲线 C 在点(1,0)处的切线 l1 的方程; (2)求过原点与曲线 C 相切的直线 l2 的方程. 解 1-ln x ln x 设 f(x)= x ,则 f′(x)= x2 . 1-ln 1 12 =1,即切线 l1 的斜率 k=1.

(1)∴f′(1)=

由 l1 过点(1,0),得 l1 的方程为 y=x-1. ln x0? ? (2)设 l2 与曲线 C 切于点 P?x0, x ?, ? 0 ? 则切线 l2 方程为 ln x0 1-ln x0 y- x = x2 (x-x0), 0 0 ∵l2 过原点. ln x0 1-ln x0 ∴- x = x2 · (-x0), 0 0 1 化简得 ln x0=2,∴x0= e, ∴l2:y- 1 2 e 1 =2e(x- e),

-4-

1 整理得 y=2ex.即为 l2 的方程.

能力提升题组 (建议用时:35 分钟) 11.已知曲线 y= 1 ,则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为 e +1
x

( A.x+4y-2=0 C.4x+2y-1=0 解析 -ex y′= x = ?e +1?2 B.x-4y+2=0 D.4x-2y-1=0 -1 1 ,因为 ex>0,所以 ex+ex≥2 1 ex+ex+2

)

1 ex×ex=2(当且

1 1 仅当 ex=ex,即 x=0 时取等号),则 ex+ex+2≥4,故 y′=

-1 1 ≤ - 1 4(当 x e +ex+2

x=0 时取等号).当 x=0 时,曲线的切线斜率取得最大值,此时切点的坐标为 1? 1 1 ? ?0,2?,切线的方程为 y- =- (x-0),即 x+4y-2=0.故选 A. 2 4 ? ? 答案 A

12.(2014· 开封二模)过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有 ( A.3 条 解析 B.2 条 C.1 条 D.0 条 )

3 由题意得,f′(x)=3x2-3,设切点为(x0,x0 -3x0),那么切线的斜率为 k

3 2 =3x2 0-3,利用点斜式方程可知切线方程为 y-(x0-3x0)=(3x0-3)(x-x0),将 2 3 2 点 A(2,1)代入可得关于 x0 的一元三次方程 2x3 0-6x0+7=0.令 y=2x0-6x0+7, 2 则 y′=6x0 -12x0.由 y′=0 得 x0=0 或 x0=2.当 x0=0 时,y=7>0;x0=2 时, 2 3 2 y=-1<0.结合函数 y=2x3 0-6x0+7 的单调性可得方程 2x0-6x0+7=0 有 3 个

解.故过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有 3 条,故选 A. 答案 A

13.(2014· 杭州高级中学月考)已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设 曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2 +…+log2 016x2 015 的值为________.
-5016x1+log2 016x2

解析

f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,

点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 令 y=0,得 x=1- ∴x1· x2· …· x2
015=

1 n n = ,即 xn= , n+1 n+1 n+1
016x1+log2 016x2

1 2 3 2 014 2 015 1 × × ×…× × = 2 3 4 2 015 2 016 2 016,则 log2

+…+log2 016x2 015=log2 016(x1x2…x2 015)=-1. 答案 -1

9 14.设抛物线 C: y=-x2+2x-4,过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一 象限. (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解 (1)设点 P 的坐标为(x1,y1),则 y1=kx1, ① 9 y1=-x2 1+ x1-4, 2 ② ? 9? ①代入②得 x2 1+?k-2?x1+4=0. ? ? 17 1 ? 9? ∵P 为切点,∴Δ=?k-2?2-16=0 得 k= 2 或 k=2. ? ? 17 1 当 k= 2 时,x1=-2,y1=-17.当 k=2时,x1=2,y1=1. 1 ∵P 在第一象限,∴所求的斜率 k=2. (2)过 P 点作切线的垂线,其方程为 y=-2x+5. ③ 13 将③代入抛物线方程得 x2- 2 x+9=0. 设 Q 点的坐标为(x2,y2),即 2x2=9, 9 ?9 ? ∴x2=2,y2=-4.∴Q 点的坐标为?2,-4?. ? ?

-6-

b 15.设函数 f(x)=ax- x,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f (x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为 定值,并求此定值. 解 7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3,

b 1 2a-2=2, ? ? 1 b 当 x=2 时,y=2.又 f′(x)=a+x2,于是? b 7 ? ?a+4=4, ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- x. ?b=3. (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3? 3 ? 由 y′=1+x2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x2?(x-x0),即 y ? 0? 3 3 6 -(x0-x )=(1+x2)(x-x0).令 x=0,得 y=-x ,从而得切线与直线 x=0 交点
0 0 0

6? ? 坐标为?0,-x ?.令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为 ? 0? (2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0, y0)处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形的面积为 S=2?-x ? ? 0? |2x0|=6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为定 值,且此定值为 6.

-7-


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