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高中数学第一章集合12子集、全集、补集自主训练苏教版1

时间:2018-04-22


1.2 子集、全集、补集
自主广场 我夯基 我达标 1.下列说法正确的是( ) ①任意集合必有子集 ②空集是任意集合的真子集 ③若集合 A 是集合 B 的子集,集合 B 是集合 C 的子集, 则集合 A 是集合 C 的子集 ④若不属于集合 A 的元素也一定不属于集合 B, 则 B 是 A 的子集 A.①②③ B.①③④ C.①③ D.①②③④ 思路解析:此题考查子集的性质,并需要注意空集的特殊性. (1)任意集合都是自身的子集,因此①正确. (2)空集是任意非空集合的真子集,因此②不正确. (3)集合子集的性质具有传递性,因此③正确. (4)可利用文氏图进行分析,④正确. 答案:B 2 2.已知集合{2x,x -x}有且只有 4 个子集,则实数 x 的取值范围是( ) A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.{x|x≠3,x∈R} D.{x|x≠0 且 x≠3,x∈R} 2 2 思路解析:由已知{2x,x -x}有且只有 4 个子集,可知 2x≠x -x. 解得 x≠0 且 x≠3. ∴选 D. 答案:D 3.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的真子集的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 思路解析:∵x∈N,n∈N,∴x=5-2n=5,3,1. ∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}. 3 ∴其真子集的个数是 2 -1=7. 答案:C 4.满足条件{1,2} ? A A.1 思路解析:∵{1,2} ? A {1,2,3,4}的集合 A 的个数是( B.2 {1,2,3,4}, C.3 ) D.4

∴A 中至少有 1、2 两个元素,至多有 1、2、3(4)三个元素. ∴集合 A 可能有三种情况:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}. ∴集合 A 的个数是 3.故选 C. 答案:C 2 * 2 * 5.设 M={x|x=a +1,a∈N },P={y|y=b -4b+5,b∈N },则下列关系正确的是( A.M=P B.M P C.P * 2 思路解析:∵a∈N ,∴x=a +1=2,5,10,…. * 2 2 ∵b∈N ,∴y=b -4b+5=(b-2) +1=1,2,5,10,…. ∴M P.故选 B. 答案:B 6.已知全集 U=Z,A={x|x=2k,k∈Z},则 A 等于_______________. M

)

D.M∩P= ?

1

思路解析:易知集合 A 为偶数集, ∵U=Z,∴ ∴ A 为奇数集.

A={x|x=2k+1,k∈Z}.

答案:{x|x=2k+1,k∈Z} 7.在平面直角坐标系中,集合 C={(x,y)|y=x}表示直线 y=x,从这个角度看,集合 D={(x, y)| ?

?2 x ? y ? 1 } 表示直线 2x-y=1 和直线 x+4y=5 的交集,则集合 C、 D 之间的关系为 ?x ? 4 y ? 5

________,用几何语言描述这种关系为______________. 思路解析:直线 2x-y=1 和直线 x+4y=5 的交点坐标为(1,1). 答案:D ? C 点 D 在直线 y=x 上 8.已知集合 P={a,a+d,a+2d},Q={a,aq,aq },其中 a≠0,且 P=Q,求 q 的值. 思路分析:本题考查以集合 P=Q 为载体,列方程求未知数的值的问题,而集合中的元素具有 无序性,由 P=Q 知,第一个集合中的元素 a 不可能与后面元素中的任何一个元素相等,再看 第一个集合中的元素 a+d,其不可能与第二个集合中的元素 a 相等,除此以外,可能对应情 况为
2

?a ? d ? aq, ?a ? d ? aq2 , 或 ? ? 2 ?a ? 2d ? aq ?a ? 2d ? aq.
解方程组,得出解后验证可得正确结论. 解:由 P=Q,假设 ?

?a ? d ? aq,
2

(1)

?a ? 2d ? aq , (2)

②-①,得 d=aq(q-1),代入①解得 a+aq(q-1)=aq. 2 ∵a≠0,∴方程可化为(q-1) =0,解得 q=1. 于是 a=aq=aq 与集合中元素的互异性相矛盾,故只能是 ? 解得 q=2

?a ? d ? aq 2 , ?a ? 2d ? aq,

1 或 q=1. 2 1 . 2
) D.6 个

经检验 q=1 不符合要求,舍去.∴q=-

我综合 我发展 9.同时满足(1)M ? {1,2,3,4,5},(2)若 a∈M,则 6-a∈M 的非空集合 M 有( A.32 个 B.15 个 C.7 个 思路解析:∵M ? {1,2,3,4,5},a∈M,则 6-a∈M,

∴1、5 应同属于 M,2、4 也应同属于 M,3 可单独出现. ∴集合 M 的情况有七种:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5}, {1,2,3,4,5}.故选 C. 答案:C 10.集合 M={x|x=m+

1 n 1 p 1 ,m∈Z},N={x|x= - ,n∈Z},P={x= + ,p∈Z},则 M、N、P 6 2 3 2 6
2

之间的关系是(

) B.M N=P D.N P=M

A.M=N P C.M N P 思路解析:思路一:可简单列举集合中的元素. 思路二:从判断元素的共性和差异入手. M={x|x=

6m ? 1 3n ? 2 3(n ? 1) ? 1 3p ?1 ,m∈Z},N={x|x= = ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}. 6 6 6 6

由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数, 而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数, 所以 M N=P. 答案:B 11.定义集合 A*B={x|x∈A 且 x ? B},若 A={1,3,5,7},B={2,3,5},则 (1)A*B 的子集为_______________________________________________________________; (2)A*(A*B)=___________________________________________________________________. 思路解析:(1)A*B={1,7},其子集为 ? ,{1},{7},{1,7}. (2)A*(A*B)={3,5}. 答案:(1) ? ,{1},{7},{1,7} (2){3,5} 12.若 S={x|x=2n+1,n∈Z},T={x|x=4k±1,k∈Z},试判断 S 与 T 这两个集合之间存在怎 样的关系. 思路解析:考查两个集合的关系,即判别元素的异同,方法可列举,也可判别元素是否等价 等. 解法一:∵S={…,-5,-3,-1,1,3,5,…},T={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}, ∴S=T. 解法二:由 2n+1=4k+1(n=2k)或 4k-1(n=2k-1)(n、k∈Z),可知 S=T. 解法三:S 为奇数集合,而 T 中元素均为奇数,故有 T ? S. 任取 x∈S,则 x=2n+1. 当 n 为偶数 2k 时,有 x=4k+1∈T; 当 n 为奇数 2k-1 时,仍有 x=4k-1∈T,∴S ? T. ∴T ? S 且 S ? T.故 S=T. 13.设全集 U={2,3,a +2a-3},A={|2a-1|,2}, 思路解析:本题抓住 解:∵ ∴?
2

A={5},求实数 a 的值.

A={5}这个条件,得出 5∈U 且 A ? U,易求出 a 的值.
2

A={5},A={|2a-1|,2},U={2,3,a +2a-3},

?| 2a ? 1 |? 3,
2

?a ? 2或a ? ?1, ∴a=2. 解得? ?a ? 2或a ? ?4. ?a ? 2a ? 3 ? 5.

我创新 我超越 2 2 2 14.已知三个集合 E={x|x -3x+2=0},F={x|x -ax+(a-1)=0},G={x|x -3x+b=0}.问:同时满足 F E,G ? E 的实数 a 和 b 是否存在?若存在,求出 a、b 所有值的集合;若不存在,请说明

理由. 思路解析:将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系,从而求得 a、b 的值. 解答:(1)由已知,E={1,2},又∵F E,∴F= ? 或{1}或{2}. 2 2 ①当 F= ? 时,即方程 x -ax+(a-1)=0 无解.∴Δ =a -4(a-1)<0,
3

即(a-2) <0,矛盾.∴F 不可能为 ? ,即 F≠ ? . 2 ②当 F={1}时,即方程 x -ax+(a-1)=0 有两相等的实根为 1,
2

由根与系数的关系知 ?

?1 ? 1 ? ?(?a), ?1? 1 ? a ? 1.

∴?

?a ? 2, ∴a=2,即 a=2 时,F E. ?a ? 2.
2

③当 F={2}时,即方程 x -ax+(a-1)=0 有两相等的实根为 2, 由根与系数的关系知 ?

?2 ? 2 ? ?(?a), ?2 ? 2 ? a ? 1.

∴?

?a ? 4, ∴a 无解,即不存在 a 的值使 F E. ?a ? 5.

综上,a=2 时,F E. (2)当 G ? E 且 E={1,2}时,G= ? 或{1}或{2}或{1,2}. ①当 G= ? 时,即方程 x -3x+b=0 无解.
2

∴Δ =9-4b<0.∴b>

9 .此时 G ? E. 4
2

②当 G={1}时,即方程 x -3x+b=0 有两相等的根为 1. 由根与系数的关系知 ?

?1 ? 1 ? 3, 矛盾. ?1 ? 1 ? b.

③当 G={2}时,同理矛盾. 2 ④当 G={1,2}时,即方程 x -3x+b=0 有两异根为 1、2. 由根与系数的关系,知 ? 综上知 b=2 或 b>

?1 ? 2 ? 3, ∴b=2. ?1 ? 2 ? b.

9 时,G ? E. 4
E,G ? E 的 a、b 的值存在.

综合(1)(2),知同时满足 F

适合条件的 a、b 集合分别为{2}、{b|b=2 或 b>

9 }. 4

4


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