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高中数学必修一 1.2.1函数的概念_图文

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1.2.1 函数的概念 初中学习的函数的概念是什么? 思考? 设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果 对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,则 称x是自变量,y是x的函数;其中自变量x的取值 的集合叫做函数的定义域,和自变量x值对应的y 的值叫做函数的值域。 下面先看几个实例: (1)一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目 标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度 h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 (*) 这里,炮弹飞行时间t的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是 数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知, 对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系(*), 在数集B中都有唯一的高度h和它对应。 (2) 近几十年来,大气中的臭氧迅速减少,因而 出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极 上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况: 根据下图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围 是数集B ={S|0≤S≤26}.并且,对于数集A中的每一 个时刻t,按照图中的曲线,在数集B中都有唯一确 定的臭氧层空洞面积S和它对应. (3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生 活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。 下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生 了显著变化。 归纳以上三个实例,我们看到,三个实例中变 量之间的关系可以描述为: 对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f, 在数集B中都有唯一确定的y和它对应,记作 f: A→B. 设A、B是非空数集,如果按照某种对应关系f, 使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B为从 集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),x∈A 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值, 函数值合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 例1 下列说法中,不正确的是( B ) A、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与 之对应 B、函数的定义域和值域一定是无限集合 C、定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定 D、若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一 个元素 例2、对于函数y=f(x),以下说法正确的有( B ) ①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a) 表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量 ④ f(x)一定 可以用一个具体的式子表示出来 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例3、给出四个命题: ①函数就是定义域到值域的 对应关系 ②若函数的定义域只含有一个元素,则 值域也只有一个元素 ③因f(x)=5(x∈R),这个函数值 不随x的变化范围而变化,所以f(0)=5也成立 ④定 义域和对应关系确定后,函数值也就确定了 正确有(D ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例4、若f ( x) ? ax2 ? 2 , a为一个正的常数,且 f f ? ? 2 ?? ? ? 2 , 则a ? ______ . 2 ( 解得a ? ) 2 区间的概念: 设a,b是两个实数,而且a<b, 我们规定: (1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间, 表示为 [a,b]. (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间, 表示为 (a,b). (1)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间,表示为 [a,b)或(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。 注意:用实心点表示包括在区间内的端点,用空 心点表示不包括在区间内的端点。 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作 “无穷大”。 满足x≥a,x>a,x≤a,x<a的实数的集合分别表示为 [a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,a]、(-∞,a). 例1、试用区间表示下列实集: (1) {x|5 ≤ x<6} (2) {x|x ≥9} (3) {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (4) {x|x < 9}∪{x| -9 < x<20} 一、函数的定义域 函数的定义域通常是由问题的实际背景确定的, 如前面所述的三个实例。如果只给出解析式y=f(x), 而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指 能使这个式子有意义的实数的集合。 1 例1 已知函数f ( x) ? x ? 3 ? , x?2 (1)求函数的定义域 2 ( 2)求f ( ?3), f ( )的值 3 (3)当a ? 0时,求f (a ), f ( a ? 1)的值. 练习 1、函数f ( x) ? ( x ? 1) 0 x ?x 的定义域为 ( C) ?x | x ? 0? A、 B、 {x | x ? ?1} D、 {x | x ? 0} C、 {x | x ? 0, 且x ? ?1} 1 练习2、已知f ( x) ? , 则函数f ? f ( x)?的定义域为( C ) x ?1 A、 {x | x ? 1} B、 {x | x ? -2} C、 {x | x ? 1, 且x ? -2} D、 {x | x ? 1, 或x ? -2} 2kx ? 8 练习3、当k为何值时,函数 f ( x) ? 2 的 kx ? 2kx ? 1 定义域的R? 解: ? f ( x)的定义域为R, ? kx2 ? 2kx ? 1 ? 0对一切 x ? R都有意义. ?当k ? 0时,? ? (2k ) 2 ? 4k ? 0 ?0 ? k ? 1 当k ? 0时,kx2 ? 2kx ? 1 ? 1 ? 0, 对x ? R有意义. ?当0 ? k ? 1时,函数f ( x)

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