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2016西安培华学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 西安培华学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A ? {x | y ? x2 ? 1}, B ? { y | y ? x 2 ? 1}, C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 1}. ,则下列关系中不正 确的是( ) A. A ? C ? ? D. A ? B ? C B. B ? C ? ? C. B ? A

2.给出两个命题:p: |x|=x 的充要条件是 x 为正实数;q: 存在反函数的函数一定是单 调函数.则下列复合命题中的真命题是( )

A.p 且 q D.┓p 或 q

B.p 或 q

C.┓p 且 q

3.已知向量 a ? ?? 3 , 4? , b ? ?3 , ? 4? ,则 a 与 b ( A.垂直 4.不等式 x ?

?

?

) D.平行且反向

B.不垂直也不平行 C.平行且同向

1 ? 1 的解集为() x
B. ? x x ? 0? C. ? x x ? 0? D. ? x ?1 ? x ? 0?

A. ? x x ? 0?

5.双曲线 x2-y2=4 的两条渐进线和直线 x=2 围成一个三角形区域(含边界),则该 区域可 表示为( )

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?x ? y ? 0 ? A. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? y ? 0 ? B. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? y ? 0 ? C. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? y ? 0 ? D. ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ?
1 4


6.已知数列{an}对于任意 m、n∈N*,有 am+an=am+n,若 a1 ? , 则 a40 等于( A.8 B.9 C.10 D.11

7.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?4, ? ?? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 4? 为偶 函数,则( ) A. f ?2? ? f ?3? B. f ?2? ? f ?5? C. f ?3? ? f ?5? D. f ?3? ? f ?6?

8.如图,在正四面体 S—ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为?ABC 的中心,则异面直线 EF 与 AB 所成的角是( A.30?
8

S E A F B C



B.45? C.60?

D.90? ) D.-56

1? ? 9.在 ? x 2 ? ? 的展开式中,含 x 的项的系数是( x? ?
A.55 B.-55 C.56

10.已知函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ?? x ? R,A ? 0,? ? 0, ? ? 图所示,则 f ?x ? 的解析式是( A. f ?x ? ? 2 sin? ?x ? )

? ?

??

? 的图象(部分)如 2?
2 , 4 , 6

? ?

??

??x ? R ? 6?

y
2

B. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ?

? ?

??

??x ? R ? 6?
O

?? ? C. f ?x ? ? 2 sin? ?x ? ??x ? R ? 3? ?
D. f ?x ? ? 2 sin? 2?x ?
2 11.an= Cn ?1 ?n ? N * ? ,则

1 3

5 6

x

? ?

??

??x ? R ? 3?

-2

1 1 1 ? ? ? ? 等于( a1 a 2 an



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A.2 ?1 ?

? ?

1 ? ? n ? 1?

B. 2?1 ?

? ?

1? ? n?

C.2-

1 n

D.1-

2 n

12.设椭圆

x2

2 a2 b2 2 ax ? bx ? c ? 0 的两个根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在()
B.圆 x 2 ? y 2 ? 2 上

?

y2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

1

,右焦点 F(c,0),方程

A.圆 x 2 ? y 2 ? 2 内 C.圆 x 2 ? y 2 ? 2 外

D.以上三种情况都有可能

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 2 , 13.若函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? 4 x 4的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? ________; , 6 14.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为; 8 4

15.某考生从“××大学”所给的 7 个专业中选择 3 个作为自己的志愿,其中甲、乙两个 专业不能同时兼报,则该考生有种不同的填写 志愿方法; .. 16.对于函数的这些性质:①奇函数;②偶函数;③增函数;④减函数;⑤周期性; 函数 f ?x? ? x 5 ? 3x,x ? R 具有的性质的序号是. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)已知向量 a ? (1 ? tan x, 1), b ? (1 ? sin 2 x ? cos 2 x, ?3) ,记
f ( x) ? a ? b.

(1)求 f(x)的值域及最小正周期;

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?? ?? ? ? ? ?? (2)若 f ? ? ? ? f ? ? ? ? 6 ,其中 ? ? ? 0, ? ,求角 ? . ?2? ?2 4? ? 2?

18.(本小题满分 12 分)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (1)求所选 3 人都是男生的概率; (2)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.

19.(本小题满分 12 分)已知数列{an}前 n 项和为 Sn( S n ? 0 ),且 an ? 2Sn Sn ?1 ? 0
(n ≥ 2, n ? N* ),

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?1? 1 a1 ? . (1)求证: ? ? 是等差数列; 2 ? Sn ?

(2)求 an;

(3)若 bn ? 2(1 ? n)an (n ≥ 2) ,求证: b22 ? b32 ? ? ? bn2 ? 1.

20.(本小题满分 12 分)如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都是 2 , D 是棱

AC 的中点, E 是棱 CC1 的中点, AE 交 A1D 于点 H .
(1)求证: AE ? 平面A1BD ; (2)求二面角 D ? BA1 ? A 的大小(用反三角函数表示); (3)求点 B1 到平面 A1BD 的距离。
A1 B1 B

C1

E H A D

C

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21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x)是定义在 [?2,0) ? (0,2] 上的偶函数,当

x ?[?2,0) 时,
f ( x) ? 1 3 x ? 2mx (m为实数 ). 3

(1)当 x ? (0,2]时, 求f ( x) 的解析式; (2)若 m ? ?2, 指出f ( x)在(0,2] 上的单调性,并给出证明; (3)是否存在 m,使得 x ? (0,2]时, f ( x)有最大值

4 ?并说明理由. 3

22.(本小题满分 12 分)已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直 线 l : y ? ?2 的距离小 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 P(2,2)的直线m与曲线C交于A, B两点 , 设AP ? ? PB. 当△AOB 的面积为

4 2 时(O 为坐标原点),求 ? 的值.

参考答案
DDDBC,CDCDA,B A

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13. y ? log4 x?x ? 0? 14.4 15.

1 2

16.①③

17.(1)根据条件可知:
f ( x) ? (1 ? tan x)(1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 ?

cos x ? sin x (2cos2 x ? 2sin x cos x) ? 3 cos x

? 2(cos2 x ? sin 2 x) ? 3 ? 2cos2x ? 3

? 因为 f(x)的定义域为 {x | x ? k? ? , k ? Z},
2

∴f(x)的值域为 (?5, ?1] ,f(x)的最小正周期为 ? .
?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? (2) f ? ? ? f ? ? ? ? 2cos ? ? 2cos ? ? ? ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 2 2 sin ? ? ? ? ? 6. 2? 4? ?2? ?2 4? ? ?
?? 3 ?? ? ? ? 2? ? 所以, sin ? ? ? ? ? ,又因为 ? ? ? , ? 0, ? ,所以 ? ? ? 或? ? ? 4? 2 2 4 3 4 3 ? ? ?

所以 ? ?

?
12

或? ?

5? . 12
3 C4 1 ? 3 C6 5

18.(1)所选 3 人都是男生的概率为

1 2 2 1 C2 C4 ? C2 C4 4 (2)所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为 ? ,或 1- 3 5 C6 3 C4 1 4 ? 1? ? 3 5 5 C6

19.(1)∵ an ? 2Sn Sn ?1 ? 0 ,∴ Sn Sn ?1 ? ?
1 1 ? ? 2 (n ≥ 2, n ? N* ) S n S n ?1

an , 又∵ Sn ? Sn ?1 ? an , ∴ 2

∴数列 ?

?1? 1 ? 2 n. ? 是等差数列,且 S S n ? n?
1 1 1 ? ?? . 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1)

(2)当 n ≥ 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?

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?1 ? 1 ?2 当 n=1 时, a1 ? 不成立. ∴ an ? ? 2 1 ?? ? ? 2n(n ? 1) (n ? 1), (n ≥ 2).

(3) bn ? 2(1 ? n)an ? ,∴ bn2 ? ∴左边 ? 1 ? ? ? ? ? ?
1 2 1 1 2 3

1 n

1 1 1 1 ? ? ? (n ≥ 2) . 2 n(n ? 1) n ? 1 n n

1 1 1 ? ? 1 ? ? 1 显然成立. n ?1 n n

20.(1)证明:建立如图所示, AE ? (?2,?1,0) A1 D ? (?1,2,0)

BD ? (0,0,? 3)
∵ AE ? A1 D ? 2 ? 2 ? 0 , AE ? BD ? 0 ? 0 ? 0(? 3) ? 0 ∴ AE ? A1 D, AE ? BD ,即 AE⊥A1D, AE⊥BD ∴AE⊥面 A1BD (2)设面 DA1B 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

n1 ? (2,1,0) ? z1 (? 3 ) ? 0 由 n1 ? A1 D ? 0 n1 ? BD ? 0 ? ? ∴取 ?? x1 ? ?2 y1 ? 0
设面 AA1B 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ),则由 n2 ? A1 B ? 0, n2 ? A1 A ? 0

?? x ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 6 15 ?? 2 ? 取n2 ? (3,0, 3 ) , ? n1 , n2 ?? ? 5 5 ? 12 ?2 y 2 ? 0
由图可知二面角 D—BA1—A 为锐角,∴它的大小为 arcos (3) B1 B ? (0,2,0) ,平面 A1BD 的法向量取 n1 ? (2,1,0) 则 B1 到平面 A1BD 的距离 d= |

15 5

B1 B ?n1 | n1 |

|?

2 5

?
1 3

2 5 5

21.(1)设 x ? (0,2],则x ? [?2,0) , f (? x) ? ? x 3 ? 2mx ,

1 ? f ( x) 为偶函数,? f ( x) ? f (? x) ? ? x 3 ? 2mx , x ? (0,2] 3

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(2) f ?( x) ? ? x 2 ? 2m ,? x ? (0,2], ? ? x 2 ? [?4,0),又? m ? ?2,? ?2m ? 4

? ? x 2 ? 2m ? 0.即f ?( x) ? 0, ? f ( x)在(0,2] 上为增函数.
(3)当 m<-2 时, f ( x)在(0,2] 上是增函数, f ( x) max ? f (2) ? ?

8 4 ? 4m, ? 3 3

? m ? ?1 ,不合题意舍去.
当 ? 2 ? m ? 0时, f ?( x) ? ?x 2 ? 2m, 令f ?( x) ? 0, 得x ? ? 2m x

(0, ? 2m )
+ 增

? 2m
0 最大值

( ? 2m ,2)
— 减

f ?( x)

f ( x)

1 4 ? f ( x)在x ? ? 2m 处取得最大值. ? ( ? 2m) 3 ? 2m ? 2m ? 3 3

? m ? ?2

?

1 3

? ?2 ,? x ? ? 2m ? 2 ? 2

?

1 3

?2 ?2

1 3

当 m>0 时, f ?( x) ? ? x 2 ? 2m ? 0, f ( x)在(0,2] 上单调递, f ( x)在(0,2] 上无最大 值.

? 存在m ? ?2 , 使f ( x)在(0,2] 上的最大值

?

1 3

4 3

22. (1)?点M到点F (1,0)的距离比它到直线 l : y ? ?2 的距离小于 1, ∴点 M 在直线 l 的上方,点 M 到 F(1,0)的距离与它到直线 l ? : y ? ?1 的距离相 等 ,所以曲线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ?点M的轨迹C是以F为焦点 , l ?为准线的抛物线 (2)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2),即y ? kx ? (2 ? 2k ) ,代入

x 2 ? 4 y得x 2 ? 4kx ? 8(k ? 1) ? 0 (*) ? ? 16(k 2 ? 2k ? 2) ? 0对k ? R恒成立, 所以, 直线m 与曲线 C 恒有两个不同的交


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设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8(k ? 1)
?| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x 2 x1 ] ? 4 (1 ? k 2 )( k 2 ? 2k ? 2)

点 O 到直线 m 的距离 d ?

| 2 ? 2k | 1? k 2



? S ?ABO ?

1 | AB | ?d ? 4 | k ? 1 | k 2 ? 2k ? 2 ? 4 (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

? S ?ABO ? 4 2 ,? 4 (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 ? 4 2 ,

? (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 ? 2 ? 0, (k ? 1) 2 ? 1或(k ? 1) 2 ? ?2 (舍去)
? k ? 0或k ? 2
当 k ? 0时, 方程(*)的解为 ? 2 2 若 x1 ? 2 2 , x2 ? ?2 2 , 则? ?

2?2 2 ? 2 2 ?1 2?2 2 2 2 ?2

? 3? 2 2

若 x1 ? ?2 2 , x2 ? 2 2 , 则? ?

? 3? 2 2

当 k ? 2时, 方程(☆)的解为 4 ? 2 2 若 x1 ? 4 ? 2 2 , x2 ? 4 ? 2 2 , 则? ?

?2?2 2 2?2 2 ?2?2 2 2?2 2

? 3? 2 2

若 x1 ? 4 ? 2 2 , x2 ? 4 ? 2 2 , 则? ? 所以, ? ? 3 ? 2 2或? ? 3 ? 2 2

? 3? 2 2


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