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2013江苏高考试卷

时间:2013-08-26


2013 年普通高等学校统一考试试题

(江苏卷)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置 上。 1、函数 y ? 3 sin(2 x ?
2

?
4

) 的最小正周期为

▲ ▲

2、设 z ? (2 ? i ) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为

3、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9
▲ 个子集



4、集合 {?1,0,1} 共有

5、右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是



(流程图暂缺)

6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 甲 乙 第一次 87 89 第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 ▲ 第五次 93 92

则成绩较为稳定(方程较小)的那位运动员成绩的方差为

7、现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取, 则 m,n 都取到奇数的概率为 ▲

C1 B1
A1

8、如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体 积为 V 2 ,则 V1 :V2 ?
2



F E A

C

B D

9、抛物线 y ? x 在 x ? 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含

三角形内部和边界) 。若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 ▲ 10、设 D,E 分别是 ?ABC 的边 AB,BC 上的点, AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 2 3


若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数) ,则 ?1 ? ?2 的值为
2

11、已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ▲

12、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 a 2 b2

右准线为 l , 短轴的一个端点为 B , 设原点到直线 BF 的距离为 d1 ,F 到 l 的距离为 d 2 , F, 若 d2 ?

6d1 ,则椭圆 C 的离心率为



13、在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a) , P 是函数 y ?

1 ( x ? 0 )图象上一动点, x


若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 14、在正项等比数列 {an } 中,a5 ? 最大正整数 n 的值为 ▲

1 ,a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题满分 14 分) 已知 a= (cos? , sin? ),b ? (cos ? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)若 | a ? b |?

2 ,求证: a ? b ;

(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。

16、 (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F , 点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点。 A 求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA 。

S

E F

G
C

B

17、 (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 。 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线, 求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围。 O y A l

x

18、 (本小题满分 16 分) 如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。 一种是从 A 沿直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m / min 。在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B , 在 B 处停留 1min 后,再从匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 130m / min , 山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cosC ? 。 13 5
B

A

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

C

19、 (本小题满分 16 分) 设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和。记 bn ?

nSn , n2 ? c

n ? N* ,
其中 c 为实数。 (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n Sk ( k , n ? N ) ;
2

*

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 。

20、 (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为实数。
x

(1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论。


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