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四川省成都七中2014届高三下学期综合检测文科数学试题(五)

时间:2014-04-30


四川省成都七中 2014 届高三下学期综合检测文科数 学试题(五)
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 注意事项: 1.必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2.本部分共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7? , A ? ?2, 4,5? ,则 CU A ? ( )

(A) ?2,3,6,7?

( B) ?1, 2,6,7?

(C ) ?2,6,7?
) (C ) ? 1 ? i

( D) ?1,3,6,7?

2. i 为虚数,则复数 (?1 ? i )(1 ? i ) ? ( (A) ? 2 ? 2i ( B) ? 2

( D) ? 1
) 既不充

3.“ b ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a, b, c ? R ,且 a ? 0) 是偶函数”的(

(A ) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 ( D) 分也不必要条件 4.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (6,0),( ?6,0) ,则双曲线的方程为( )

( A)

x2 y 2 ? ?1 9 27

( B)

x2 y 2 ? ?1 27 9

(C )
?
3

x2 y 2 ? ?1 6 30

( D)

x2 y 2 ? ?1 30 6
)

5.函数周期为 ? ,其图像的一条对称轴是 x ?

,则此函数的解析式可以为(

? x ? ? ? ( A) y ? sin( ? ) ( B) y ? sin(2 x ? ) (C ) y ? sin(2 x ? ) ( D) y ? sin(2 x ? ) 2 6 6 6 3
6.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位: cm ) ,可得这个几何体的 体积是( )

( A)

4000 3 cm 3

( B)

8000 3 cm 3

(C )2000cm3

( D)4000cm3

7.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

)

( A)2 (C )24

( B)4

( D)48 ? 224

开始

i ? 0,S ? 1

S ? 2S ? 2S

i ? i ?1


i ? 2?
是 8.设 a ? log 1 2, b ? log 1 , c ? ( ) 0.3 ,则(
3 2

1 3

1 2



输出 S

( A)a ? b ? c

( B)a ? c ? b
1 x

(C )b ? c ? a


( D)b 结束 ?a?c

9.若 x, y ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? y ) 2 ? ( ? y ) 2 的最小值是(

( A)4

( B)0

(C )2

( D)1


?3? x ? a, x ? 0 10.设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? x 有且仅有三解,则 a 的取值范围是( ? f (x ? 1), x ? 0

( A) ? 0, 2?

( B) ? ??, 2 ?

(C ) ? ??,1?

( D) ? 0, ?? ?

第二卷

(非选择题 共 100 分)

注意事项: 1.必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 2.本部分共 11 小题,共 100 分. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在面积为 S 的 ?ABC 的边 AB 上任取一点 P ,则 ?PBC 的面积大于

S 的概率是_______ 2

12.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? 则与 AB 同方向的单位向量是_____________

( 11 ,) 13 .若点 P 为圆 x
_______________ 14.函数 y ?

2

? y 2 ? 6x ? 0 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为

2 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1

于___________ 15、函数

f ( x) ? e x ? e ? x ,当 ? ? [0, ? ] 变化时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数
2

m 的取值范围是___________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x . (1)当 x ? [0, ] 时,求 f ( x) 的值域;

?

2

(2) sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) , ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 及 f ( B ) 的值.

b ? 3, 求A 以 a

17. (本小题满分 12 分) 某学校的组织学生参加体育二课堂训练, 三个项目的人数分布如下表 (每名学生只能参加一 项) : 短跑 男生 女生 30 25 长跑 3 2 跳高 28

m

学校要对这三个项目学生参加情况进行抽样调查,按分层抽样的方法从三个项目中抽取 18 人,结果参加跳高的项目被抽出了 6 人. (Ⅰ)求跳高项目中女生有多少人; (Ⅱ)从参加长跑的 3 名男生和 2 名女生中随机选出 2 人参加比赛,求这两名同学是一名男 生和一名女生的概率.

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 S ? ABCD ,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面

S

ABCD .已知 ?DAB ? 135 ? ,BC ? 2 2 ,SB ? SC ? AB ? 2 ,
F 为线段 SB 的中点.

F C A D

(Ⅰ)求证: SD // 平面 CFA ; (Ⅱ)求三棱锥 D ? FAC 体积.

B

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的 an ?1 ? 2an ? 1, a1 ? 1, n ? N ? . (1)求证:数列 ?an ? 1? 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

log 2 (an ? 1) ,且 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求 Tn ; 2n

20. (本小题满分 13 分)
2

已 知 偶 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 点 ?1,1? 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2 y ? 9 ? 0 垂 直 , 函 数

g ( x) ? f ( x) ? m ln( x ? 1) (m ? 0) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式. 1 (Ⅱ)当 m ? 时,求函数 g ( x) 的单调区间和极值点; 2

21. (本小题满分 14 分) 平面内两定点 A1 , A2 的坐标分别为 ( ?2,0),(2,0) , P 为平面一个动点,且 P 点的横坐标

x ? ? ?2, 2 ? . 过点 P 作 PQ 垂直于直线 A1 A2 ,垂足为 Q,并满足 PQ ?
2

3 AQ ? A2Q . 1 4

(1)求动点 P 的轨迹方程. (2)当动点 P 的轨迹加上 A1 , A2 两点构成的曲线为 C. 一条直线 l 与以点 (1,0) 为圆心,半 径为 2 的圆 M 相交于 A, B 两点. 若圆 M 与 x 轴的左交点为 F,且 FA ? FB ? 6 . 求证:直 线 l 与曲线 C 只有一个公共点.

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

B

C

A

D

B

C

B

B

B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、

1 ; 2

?3 4? 12、 ? , ? ? ; 13、 2x ? ?5 5?

y ? 1 ? 0 ; 14、 4


15. m ? 1

三、解答题 16、 (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 2 ? (3sin 2 x ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x

? 2sin(2 x ? ) , 6

?

? ? ? 7? ? 1 x ? [0, ], ? 2 x ? ? [ , ] , sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 6 2 2 6 6 6

? f ( x) ? [?1, 2] .---6 分 (2)由条件得 sin(2 A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) , sin A cos( A ? C ) ? cos A sin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) , 化 简 得 sin C ? 2sin A ,

? c ? 2a, b ? 3a,
由 余 弦 定 理 得
? ? A ? 30? , B ? 60 ,C ? 90



? f ( B) ? f (60? ) ? 2sin150? ? 1 .
17. (本小题满分 12 分)

---------------------12 分

解: (Ⅰ) 根据分层抽样的要求,每层的抽样比相等,所以有

6 18 , ? 28 ? m 20 ? 40 ? 28 ? m

解此方程可得 m 的值.(Ⅱ)从长跑项目的 3 名男生和 2 名女生中随机选出 2 人,共有 10 种不 同的方法,由于是随机抽取的,每个结果出现的可能性是相等的,故可用古典概型. 试题解析: (Ⅰ)由于按分层抽样的方法从三个项目中抽取 18 人,跳高被抽出了 6 人

6 18 ? 6分 ?m ? 2 28 ? m 20 ? 40 ? 28 ? m (Ⅱ)从长跑项目的 3 名男生和 2 名女生中随机选出 2 人,共有 10 种不同的方法,由于是随机 ?
抽取的,每个结果出现的可能性是相等的;设 A ? “这两名同学是一名男生和一名女生”,则事 件 A 共包含 6 个基本事件,? P(A ) ?

6 3 ? 10 5

12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 连结 BD 交 AC 于点 E ,连结 EF 由于底面 ABCD 为平行四边形 ? E 为 BD 的中点. 在 ?BSD 中, F 为 SB 的中点
? EF //

2分 3分
F

S

SD

B A

C D

又因为 EF ? 平面 CFA , SD ? 平面 CFA ,
? SD // 平面 CFA .

5分

(2)由 BC ? 2 2 , SB ? SC ? 2 知, ?SBC 是直角三角形 过 S , F 分别作 BC 的垂线交 BC 于 G , H ,由侧面 SBC ? 底面 ABCD 可得 SG ? 底面 ABCD ,

1 2 SG ? 2 2 1 1 1 2 2 所以 VD ? FAC ? VF ? ADC ? ? S ?ACD ? FH ? ? ( ? 2 2 ? 2 ? sin 45?) ? ? 3 3 2 2 3 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 an ?1 ? 2an ? 1 a ?1 ?2, 所以 an ?1 ? 1 ? 2an ? 2 ? 2(an ? 1) , 所以 n ?1 又 a1 ? 1, 因此数列 ?a n ? 1? 是以 2 为首项, an ? 1

FH ? 底面 ABCD ,且 FH ?

2

为 公 比 的 等 比 数 列 , 所 以 an ? 1 ? 2 n

, 所 以 an ? 2 n ? 1

-----------------6 分 (2)因为 bn ?

log 2 (an ? 1) n ? n, 2n 2 1 2 n 所以 Tn ? ? 2 ? ... ? n , ① 2 2 2 1 1 2 n Tn ? 2 ? 3 ? ... ? n ?1 , ② 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 ? n , ①-②得: Tn ? ? 2 ? ... ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 n ?1 1? 2 n?2 因此 Tn ? 2 ? n -----------------12 分 2
20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) 为偶函数,所以 b ? 0 因为 f ?( x) ? 2ax ? b ? 2ax ,由题意知:

? a ? c ?1 ?a ? 1 ? ?? ,? f ( x) ? x 2 ? 1 2a ? (? ) ? ?1 ?c ? 0 ? ? 2
2

------------------------3 分

(Ⅱ) g ( x) ? x ? m ln( x ? 1) 由题意知, g ( x) 的定义域为 (?1, ? ?) ,

m 2x2 ? 2x ? m g '( x) ? 2 x ? ? x ?1 x ?1
当m ?

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m 1 时, g ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? , x2 ? , 2 2 2

m ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

即 x 1 ? ( ?1 ,?? ) , x 2 ? ( ?1 ,?? ) .

? m ? 0 时, g ?( x) , g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
g ?( x)

( ?1 , x 2 )

x2

( x2, ? ?)

?

0
极小值

?

g ( x)
由此表可知: m ? 0 时, 函数 g ( x) 的单调递增区间为 (

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m , ? ?) ,单调递减区间为 (?1, ) 2 2

g ( x) 有唯一极小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2m , 2

当0 ? m ?

?1 ? 1 ? 2m 1 时, x1 ? ? ?1 ,? x1,x2 ? (?1 ? ?) 2 2

此时, g ?( x) , g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
g ?( x)

(?1,x1 )

x1

( x1,x2 )

x2

( x2, ? ?)

?

0
极大值

?

0
极小值

?

g ( x)
由此表可知: 0 ? m ?

1 时, 2

函数 g ( x) 的单调递增区间为 (?1,

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m ),( , ? ?) , 2 2

单调递减区间为 (

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m , ) 2 2 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m 和一个极小值点 x ? ; 2 2

函数 g ( x) 有一个极大值点 x ? 综上所述: m ? 0 时,

函数 g ( x) 的单调递增区间为 (

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m , ? ?) ,单调递减区间为 (?1, ) 2 2

g ( x) 有唯一极小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2m , 2

0?m?

1 时, 2

函数 g ( x) 的单调递增区间为 (?1,

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m ),( , ? ?) , 2 2

单调递减区间为 (

?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m , ) 2 2 ?1 ? 1 ? 2m ?1 ? 1 ? 2m 和一个极小值点 x ? 2 2 .
2

函数 g ( x) 有一个极大值点 x ? 21、 (本小题满分 14 分)

解: (1)设 P ? x, y ? , x ? ? ?2, 2 ? 则: PQ ? y 2 , AQ ? 2 ? x, A2Q ? 2 ? x 1 所以: y 2 ?

3 (2 ? x )(2 ? x ) ,即: 4
-------------------4 分

x2 y2 ? ? 1 , x ? ? ?2, 2 ? 4 3
(2) 由(1)知曲线 C 的方程为 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

x2 y2 2 则 F ? ?1,0 ? ? ? 1 ,圆 M 的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 , 4 3

①当直线 l 斜率不存在时,设 l 的方程为: x ? x0 ,则:

x1 ? x2 ? x0 , y1 ? ? y2 , FA ? ? x0 ? 1, y1 ? , FB ? ? x0 ? 1, y2 ?
因为 FA ? FB ? 6 ,所以: ? x0 ? 1? ? y1 y2 ? 6 ,即: ? x0 ? 1? ? y12 ? 6
2 2

因为点 A 在圆 M 上,所以: ? x0 ? 1? ? y12 ? 4 代入上式得: x0 ? ?2
2

所以直线 l 的方程为: x ? ?2 ,与曲线 C 只有一个公共点. -------------------5 分 经检验 x=-2 不合题意舍去 所以 x=2 --------------------6 分 ②当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为: y ? kx ? m ,联立直线与圆的方程:

? ? y ? kx ? m ,消去 x 得: (1 ? k 2 ) x 2 ? 2( km ? 1) x ? m 2 ? 3 ? 0 ? 2 2 ? ?? x ? 1? ? y ? 4
2(1 ? km) ? x1 ? x2 ? ? ? 1? k2 所以: ? 2 ? x x ? m ?3 1 2 ? 1? k2 ?

--------------------------8 分

因为: FA ? ? x1 ? 1, y1 ? , FB ? ? x2 ? 1, y2 ? ,且 FA ? FB ? 6 所以: x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 5 又因为: ?

? y1 ? kx1 ? m , ? y2 ? kx2 ? m
2 2

所以: y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 ? km ( x1 ? x2 ) ? m

代入得: (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (1 ? km )( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 5 ,化简得: m 2 ? 4k 2 ? 3 -------------------------------------------------10 分 联立直线 l 与曲线 C 的方程:

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 ,消去 x 得: (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

? ? (8km) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 48(4k 2 ? m 2 ? 3)

--------------12 分

因为:m 2 ? 4k 2 ? 3 ,所以 ? ? 0 ,即直线 l 与曲线 C 只有一个公共点-------------14 分


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