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1.1.2集合间的基本关系

时间:2017-11-07


课前复习:(1分钟)
1.填空:

0

?

N+,

1.5 ∈ R,

?Q 1.5 ? Z.
?

第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.2集合间的基本关系

学习目标:(1分钟) 1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别 给定集合的子集; 2.理解子集、真子集的概念; 3.能使用venn图表达集合间的关系; 4注意数形结合思想和分类讨论思想.

思考1:你能发现下列两个集合之间的关系吗?
(1) A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; (2) A={二实高一全体女生}, B={二实高一全体学生}.

共性 : 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素.

(一)子集的概念
定义:对于两个集合A和B,如果集合A中任意一 个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集 合有包含关系,称集合A为集合B的子集.

记作A?B(或B?A). 读作“A含于B”(或“B包含A”)
练习1:A={0,1,2},B={0,1},则A B.

练习2:设A={正方形}, B={矩形}, C={平行四边形}, D={梯形}.下列关系不 正确的是 ( ) C A.A ? B B.B ? C C.C ? D D.A ? C

2.韦恩图 在数学中,经常用平面上的封闭曲线的内 部代表集合,这种图称为Venn图.

A ? B (或B ? A)

"A含于B" (或"B包含A")

A

B

Venn图通常是椭圆.

练习2:设A={正方形}, B={矩形}, C={平行四边形}, D={梯形}.下列关系不 正确的是C ( ) A.A ? B B.B ? C C.C ? D
C
B

D.A ? C
A

D

思考2:你能发现下列两个集合之间的关系吗?
(1)C={x|x是两条边相等的三角形} D={x|x是等腰三角形} (2)E={2,4,6} , F={6,4,2}

共性 : 集合 A 中的元素与集合 B 的元素是一 样的.

(二)集合相等
用子集概念描述:如果集合A是集合B的子集 (A?B)且集合B也是集合A的子集(B?A)就 说A与B相等,记A=B。 即 A?B,B?A ? A=B.
A ( B)
(1)任何一个集合是它本 身的子集,即       A ? A A ?A__B. C (子集的传递性) . 则

:A={x|(x-1)(x-2)=0},B={1,2} (练习 2)对于集合 A、B、C,如果A ? B,B ? C,那么

思考3:观察下列两个集合:
(1) A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; (2) A={二实高一全体女生}, B={二实高一全体学生}.

除了刚才的共性外,还有没有其它的特点?

(三)真子集的概念

如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A, 称集合A是集合B的真子集. ? ? 记作A ? B(或B ?A).
例如:(1) A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; (2) A={二实高一全体女生}, B={二实高一全体学生}.

A? ?B

思考3:包含( ? )与属于(

?)间的区别.

①“ ? ”表示集合与集合之间的关系; ②“

? ”表示元素与集合之间的关系.

完成课本P7的练习-2T.

(四)空集 (1)空集的概念. 把不含任何元素的集合叫做空集,记作?. (2)空集的性质.

①空集是任何集合的子集,即对任意集合A, 有? ?A. ②空集是任何非空集合的真子集,即对任意 ? 集合A≠?,有? ? A.

理解:0,{0},? ,{?}之间有什么关系?
①数0不是集合; ②{0}是含一个元素0的集合;

③? 是不含任何元素的集合;
④{?}是指以? 为元素的集合.

自学检测:(8分钟)

1.下列关系式中错误的个数有( ) ①1∈{(1,2)}; ②{1}∈{0,1,2,3}; ③{0,1}?{0,1}; ④? ? {0}. ? A.0个 B.1个 C.2个 D.3个. 2.下列命题:①空集没有子集②任何子集至少有 两个子集;③空集是任何集合的真子集, 其中错误的有 .

3.已知A ? {x ? N x ? 2}, B ? {x ? Z - 2 ? x ? 2}, 判断A和B的关系。 完成P7的练习-3T.

4. 2 .设x, y,a,b ? R,A = {(x, y) | y - a = x - b}, y -a B?A B = {(x, y) | = 1}, 则A,B的关系是 x-b ______. n 5.设集合M= 1 {x|x= 2 ,n∈Z}, N={x|x= 2 +n,n∈Z},试确定集合M, N之间的关系.

6.已知A ? {x x ? 1}, B ? {x m x ? 1}, 且B ? A,
2

求m的取值集合。

注意:空集给题目带来的影响!

常见题型一:确定子集(个数)

例题:已知P={1,3},求P的子集.
练习:(1)写出集合{a}的所有子集;
(2)写出集合{a,b}的所有子集; (3)写出集合{a,b,c}的所有子集;

它们有什么规律吗?

元素个数与集合子集个数的关系:
集合

?
{a} {a,b} {a,b,c} …

集合元素的个数 0
1 2 3 … n个元素

集合子集个数 1
2 4 8 … 2n

归纳:设集合A中含有n个元素, n n-1 2 2 则集合A共有 个子集, 个真子集, 非空真子集有 2n-2 个.

自学检测2:(5分钟)
1.满足关系B?{1,3,4}的集合B有 个. 变式:满足关系{1}?B ? {1,2,3,4}的集合 ? B有__________个. 2.已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}, 求集合M及其个数.

常见题型二:求字母参数值或取值范围

(例 3)设集合A ? {x | x ? 3}, B ? {x | x - a ? 0}

(1)当A ? B时,则实数a的取值范围是 ___

(2)当A ? B时,则实数a的取值范围是 ___

?

方法:数形结合 (结合数轴)

练习: 自学检测3:(8分钟) 1. A ? {x 1 ? x ? 2}, B ? {x x ? a}, 若 A ? B,
练习: 求a的取值范围。

2 x ? 2}, B ? {x x ? a}, 若 2 2. 设集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x 1 . A ? { x 1 ? A B若 , 3.A ? {x x ? x - 6 ? 0},B ? {x x a≥0}, ?? x? aA ?0 a≤ 是a B 的真子集,实数a的取值范围 .1 求 的取值范围。 若B ? A,求a的取值范围。
2 2

注意空集! 2 . A ? { x 1 ? x ? 6} , B ? { x m 1 ? x ? 2 m ? 1 }; (2)当x ? N , 求A的子集的个数。 若B ? A( 1 )求m的取值范围

3. xxx- 1? -? 6? 0 }, x- 1 ?? xx ?? a2 ?m 0}, 2.A A? ?{{ ?xx 6} , BB ?? {{ xx m ? 若 B ,求 a的取值范围。 若 B? ?A A ( 1 )求 m的取值范围

4.已知集合A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A, 求实数m的取值范围.
[正解] 注意空集! ∵ A= {x|-2≤ x≤5},又 B? A. (1)若 B= ?,则 m+1>2m-1,即 m<2, 此时,总有 B? A,故 m<2. (2)若 B≠ ?,则 m+1≤ 2m- 1,即 m≥2,
? ?- 2≤ m+ 1? 用 B? A得? ? ?2m- 1≤ 5

,解得 2≤m≤ 3.

变式:

3. 已知A = {x | -4 ? x ? 5}, B = {x | a -1 ? x ? 2a + 1}, B ? A, 求实数a的取值范围.

解: ∵ ? ? A, ∴当B = ?,有a - 1 > 2a + 1, 即a < -2 ?2a + 1 ? a - 1 ? 当B ≠ ?时,有 ?a - 1 ? -4 ?2a + 1 ? 5 ? ∴ -2 ? a ? 2 综上所述,a的取值范围a ? 2.

5. 设集合A = {x | x + 4x = 0}, B = {x | x + 2(a + 1)x + a - 1 = 0,a ? R},
2 2

2

若B ? A,求实数a的值.
解: ∵ A = {0, - 4},B ? A,于是可分类处理. (1)当A = B时,B = {0, - 4}. 由此知: 0, - 4是方程x 2 + 2(a + 1)x + a 2 - 1 = 0的两根, 所以将0, - 4代入方程得: ?a2 - 8a + 7 = 0 ? 2 ?a - 1 = 0 解得 a = 1

(2)当B ? A时,又可分为: (a) B ≠ ?时,即B = {0},或B = {-4}, Δ = 4(a + 1) - 4(a -1) = 0, 解得a = -1 B = {0}满足条件; (b)B = ?时,Δ = 4(a + 1)2 - 4(a 2 -1) < 0, 解得a < -1 综合(1)、 (2)知,所求实数a的值a ? -1, 或a = 1.
2 2


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