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2.3空间两点间的距离公式教案 (高中数学必修2北师大版)

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空间两点间的距离公式 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 (1)会推导和应用长方体对角线长公式. (2)会推导空间两点间的距离公式. (3)能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题. 2.过程与方法 通过特殊长方体顶点坐标,探索并得出空间两点间的距离公式. 3.情感、态度与价值观 使学生经历从易到难,从特殊到一般的认识过程. ●重点难点 重点:空间两点间的距离公式. 难点:空间两点间的距离公式的推导过程. 教学中教师可引导学生从已有的知识: 平面直角坐标系中两点之间的距离公式, 再借助 于长方体顶点坐标,把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式. (教师用书独具) ●教学建议 教学时可以通过长方体顶点的坐标, 探索并得出空间两点间的距离公式, 进一步利用勾 股定理,不难得出,在空间直角坐标系中,任意一点 P(x , y , z) 到原点的距离为 |OP|= x2+y2+z2类比平面直角坐标系中两点间的距离,得到空间任意两点间的距离公式. ●教学流程 创设问题情境, 提出问题?引导学生回答问题, 让学生掌握空间两点间的距离公式?通 过例 1 及变式训练使学生掌握两点间的距离公式?通过例 2 及互动探究, 使学生掌握由距离 公式求点坐标?通过例 3 及变式训练,距离公式的综合应用?归纳整理,进行课堂小结,整 体认识所学知识?完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 课标解读 2.会推导空间两点间的距离公式(重点). 3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单 的问题(难点). 1.会推导和应用长方体对角线长公式(重点). 空间两点间的距离公式 【问题导思】 1.在空间直角坐标系中,点 M(0,0,3)到原点的距离是多少? 2.点 N(3,0,4)到原点的距离为多少? 【提示】 1.|OM|=3. 2.因为点 N 在平面 xOz 上,可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON|= 32+42=5. 1.长方体的对角线及其长的计算公式 图 2-3-10 (1)连接长方体两个顶点 A,C′的线段 AC′称为长方体的对角线.(如图 2-3-10) (2)如果长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,那么对角线长 d= a2+b2+c2. 2.空间两点间的距离公式 空间两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. 3.中点坐标公式 已知点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段 P1P2 的中点 M z1+z2 2 的 坐 标 为 ( x1+x2 2 , y1+y2 2 , ). 求空间中两点间的距离 图 2-3-11 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,D1D=3,点 M 是 B1C1 的中点,点 N 是 AB 的中点,建立如图 2-3-11 所示空间直角坐标系. (1)写出点 D,M,N 的坐标; (2)求线段 MD,MN 的长度. 【思路探究】 先写出点的坐标,再利用距离公式求线段的长度. 【自主解答】 (1)∵A(2,0,0),B(2,2,0),N 是 AB 的中点, ∴N(2,1,0). 同理可得 M(1,2,3), 又 D 是原点,则 D(0,0,0). (2)|MD|= ?1-0?2+?2-0?2+?3-0?2= 14, |MN|= ?1-2?2+?2-1?2+?3-0?2= 11. 1.求准点的坐标是解答本题的关键. 2.空间中任意两点间的距离的计算,其关键在于明确这两点的坐标.在此基础上,利 用坐标间的关系代入公式求解.在求解过程中,有时也会利用图形特征,结合平面几何的知 识直接求解. 已知△ABC 的三顶点 A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求△ABC 中最短边的边长. 【解】 (1)由空间两点间距离公式得: |AB|= ?1-2?2+?5-3?2+?2-4?2=3, |BC|= ?2-3?2+?3-1?2+?4-5?2= 6, |AC|= ?1-3?2+?5-1?2+?2-5?2= 29. ∴△ABC 中最短边是 BC,其长度为 6. 由距离公式求空间点的坐标 (1)在 z 轴上求一点使得它到点 A(4,5,6)与到点 B(-5,0,10)的距离相等; (2)已知点 P 到坐标原点的距离等于 2 3,且它的 x 坐标、y 坐标、z 坐标均相等,求该 点的坐标. 【思路探究】 设出点的坐标,列出相应方程,从而求解. 【 自 主 解 答 】 (1) 由 题 意 可 知 , 设 该 点 的 坐 标 为 P(0 , 0 , z) , 则 |PA| = ?4-0?2+?5-0?2+?6-z?2, |PB|= ?-5-0?2+?0-0?2+?10-z?2. 又|PA|=|PB|,所以 z=6, 所以所求点的坐标为(0,0,6). (2)由题意可知 P 点的坐标为(x,y,z). 所以|OP|= x2+y2+z2=2 3. 又 x=y=z,所以 3x2=2 3. 所以 x=y=z=2 或 x=y=z=-2. 所以该点的坐标为(2,2,2)或(-2,-2,-2). 1.该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体,借助于题设中的等量关系建立含 参变量的有关方程(组),利用方程(组)的观点求解其坐标,充分体现了立体几何中以数助形, 以形解数的特征. 2.确定空间一点,主要有以下两种类型:一类是已知有关某点的等量关系,列方程(组) 求点坐标;另一类是知某动点的运动变化规律,建立函数模型求距离最值问题.无论哪种类 型,根据点的特征,合理地设出点的坐标,不但能减少参数,还能简化计算. 若把本例中的(1)“在 z 轴上求一点”换成“在 xOy 平面内的直线 2x-y=0 上求一 点”,其余条件不变,求相应问题. 【解】 设该点的坐标 P 为(a,2a,0), 则|PA|= ?4-a?2+?5-2a?2+?6-0?2, |PB|= ?-5

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