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2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 空间向量及其运算练习 理

时间:2016-07-26


2017 版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第 5 讲 空间向量及其 运算练习 理
基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 1.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线

AB 与 CD 的位置关系是________.
→ → 解析 由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1), → → ∴AB=-3CD, → → → → ∴AB与CD共线,又AB与CD没有公共点. ∴AB∥CD. 答案 平行 2.有以下命题:①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,b 的 → → → 关系是共线;②O,A,B,C 为空间四点,且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底,那 么点 O,A,B,C 一定共面;③已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,则向量 a+b,a-

b,c 也是空间的一个基底.其中所有正确命题的序号是________.
解析 对①易知 a,b 与空间任何向量共面,所以 a,b 共线,①正确;②显然正确;对③ 可结合平行六面体说明其正确性. 答案 ①②③ → 3→ 1→ 1 → 3.(2015?济南月考)O 为空间任意一点,若OP = OA + OB + OC ,则 A , B , C , P 四点 4 8 8 ________(填序号). ①一定不共面;②一定共面;③不一定共面;④无法判断. 3 1 1 → 3→ 1→ 1→ 解析 ∵OP= OA+ OB+ OC,且 + + =1.∴P,A,B,C 四点共面. 4 8 8 4 8 8 答案 ② 4.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λ b),则实数 λ 的值为________. 解析 由题意知 a?(a-λ b)=0,即 a -λ a?b=0, ∴14-7λ =0,∴λ =2. 答案 2
2

5.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a,b,c 三个向量共面,

1

则实数 λ 等于________. 解析 ∵a,b,c 共面,且显然 a,b 不共线, ∴c=xa+yb, 7=2x-y, ? ? ∴?5=-x+4y, ? ?λ =3x-2y, 33 x= , ? ? 7 65 由①②解得? 代入③得 λ = . 7 17 y= , ? ? 7 答案 65 7 ① ② ③

6.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点, → → 则AE?AF的值为________. → → → 解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两两夹角为 60°.

AE= (a+b),AF= c,
1 → → 1 ∴AE?AF= (a+b)? c 2 2 1 1 2 1 2 2 = (a?c+b?c)= (a cos 60°+a cos 60°)= a . 4 4 4 答案 1 2 a 4

→ 1 2



1 2

7.已知 2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a?c=4,|b|=12,则以 b,c 为方向 向量的两直线的夹角为________. 解析 由题意得,(2a+b)?c=0+10-20=-10. 即 2a?c+b?c=-10,又∵a?c=4,∴b?c=-18,

b?c -18 1 ∴cos〈b,c〉= = =- , |b|?|c| 12? 1+4+4 2
∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为 60°. 答案 60° → → 8.(2016?徐州模拟)已知 O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1, → → → → 2),OP=(1,1,2),且点 Q 在直线 OP 上运动,当QA?QB取得最小值时,OQ的坐标是 __________.

2

解析 ∵点 Q 在直线 OP 上, ∴设点 Q(λ ,λ ,2λ ), → → 则QA=(1-λ ,2-λ ,3-2λ ),QB=(2-λ ,1-λ ,2-2λ ), 4?2 2 → → ? QA? QB=(1-λ )(2-λ )+(2-λ )(1-λ )+(3-2λ )(2-2λ )=6λ 2-16λ +10=6?λ - ? - . 3? 3 ? 4 2 → → 即当 λ = 时,QA?QB取得最小值- . 3 3 → ?4 4 8? 此时OQ=? , , ?. ?3 3 3?

?4 4 8? 答案 ? , , ? ?3 3 3?
二、解答题 → → 9.已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. → (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. 解 → → (1)∵c∥BC,BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),

→ ∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m), ∴|c|= (-2m) +(-m) +(2m) =3|m|=3, ∴m=±1. ∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a?b=(1,1,0)?(-1,0,2)=-1, 又∵|a|= 1 +1 +0 = 2, |b|= (-1) +0 +2 = 5,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a?b -1 10 ∴cos〈a,b〉= = =- , |a|?|b| 10 10
即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 . 10

10.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心, (1)试证:A1,G,C 三点共线; (2)试证:A1C⊥平面 BC1D. → → → → → → → 证明 (1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,

3

1→ → 1 → → → → → → → 可以证明CG= (CB+CD+CC1)= CA1,∴CG∥CA1,又CG与CA1有公共点 C,即 A1,G,C 三 3 3 点共线. → → → (2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a, 且 a?b=b?c=c?a=0, → → ∵CA1=a+b+c,BC1=c-a, → → 2 2 ∴CA1?BC1=(a+b+c)?(c-a)=c -a =0, → → 因此CA1⊥BC1,即 CA1⊥BC1,同理 CA1⊥BD, 又 BD 与 BC1 是平面 BC1D 内的两相交直线, 故 A1C⊥平面 BC1D. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) → → → → 11.在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则OE= ________(用 a,b,c 表示). → → 1→ → 1 1 → → 解析 OE=OA+ AD=OA+ ? (AB+AC) 2 2 2 → 1 → → → → =OA+ ?(OB-OA+OC-OA) 4 1→ 1→ 1→ 1 1 1 = OA+ OB+ OC= a+ b+ c. 2 4 4 2 4 4 答案 1 1 1 a+ b+ c 2 4 4

12.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量 p 在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是 ________. 解析 设 p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 x,y,z.则

p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,①
因为 p 在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3), ∴p=4a+2b+3c,②

x+y=4, ?x=3, ? ? ? 由①②得?x-y=2,∴?y=1, ? ? ?z=3, ?z=3,
即 p 在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3). 答案 (3,1,3)

4

13.(2016?北京西城区模拟)如图所示, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 → → 1,若动点 P 在线段 BD1 上运动,则DC?AP的取值范围是________. → → → → → → 解析 由题意,设BP=λ BD1,其中 λ ∈[0,1],DC?AP=AB?(AB+ →

BP)=AB?(AB+λ BD1)=AB2+λ AB?BD1=AB2+λ AB?(AD1-AB)=(1
→2 → → -λ )AB =1-λ ∈[0,1].因此DC?AP的取值范围是[0,1]. 答案 [0,1]





















14.如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1, 点 E,

F,G 分别是 AB,AD,CD 的中点,计算:
→ → (1)EF?BA;(2)EG 的长; (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. 解 → → → 设AB=a,AC=b,AD=c.

则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 1 → → 1→ 1 → (1)EF= BD= c- a,BA=-a,DC=b-c, 2 2 2 1 1 1 → → ?1 1 ? EF?BA=? c- a??(-a)= a2- a?c= ,

?2

2 ?

2

2

4

1 1 → → → → 1 (2)EG=EB+BC+CG= a+b-a+ c- b 2 2 2 1 1 1 =- a+ b+ c, 2 2 2 1 1 1 2 → 2 1 2 1 2 1 2 1 → |EG| = a + b + c - a?b+ b?c- c?a= ,则|EG|= . 4 4 4 2 2 2 2 2 1 → 1 1 → → → (3)AG= b+ c,CE=CA+AE=-b+ a, 2 2 2 → → AG?CE 2 → → cos〈AG,CE〉= =- , → → 3 |AG||CE|

? π? 由于异面直线所成角的范围是?0, ?, 2? ?
2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 . 3

5


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