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双曲线的简单几何性质(2)学案.

时间:2018-09-17

2.2 双曲线的简单几何性质 (二)
出题人:李秋天 陈继波 邹玉超

【学习目标】 :
1.使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2.掌握等轴双曲线,共轭双曲线等概念 3.并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实 际问题 4.通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高, “应用数学” 的意识等到进一步锻炼的培养
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【学习重点】 :双曲线的渐近线、离心率 【学习难点】 :渐近线几何意义的证明,离心率与双曲线形状的关系
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一、自主学习
1.范围、对称性 由标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,从横的方向来看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,从纵的方 a2 b2

向来看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心 2.顶点 y N 顶点: Q 特殊点: B2 M
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实轴: A1 A2 长为 虚轴: B1 B2 长为

, a 叫做半实轴长 ,b 叫做虚半轴长

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A1 O
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A2 B1
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x

双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 3.渐近线

x2 y2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 的两顶点 A1 , A2 ,作 Y 轴的平行线 x ? ? a ,经过 B1 , B2 作 X 轴的 a b
平行线 y ? ?b ,四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是 y ? ?
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b x a



x y ? ? 0) ,这两条直线就是双曲线的渐近线 a b

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4.等轴双曲线 定义: 等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: (2)渐近线互相

; ; (3)离心率

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2 2 等轴双曲线可以设为: x ? y ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在

轴,当 ? ? 0 时焦

点在 轴上 5.共渐近线的双曲线系
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如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

b kb x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲线方程就一 a ka
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定是:

x2 y2 x2 y2 或写成 ? ?? ? ? ? 1 ( k ? 0 ) a2 b2 (ka) 2 (kb) 2

6.双曲线的草图 具体做法是: 画出双曲线的渐近线, 先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置, 然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的 一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 7.离心率
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概念:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 范围: e ? 1 双曲线形状与 e 的关系:

2c c ? ,叫做双曲线的离心率 2a a

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k?

b c2 ? a2 c2 ? ? ?1 ? e2 ?1 , 2 a a a

因此 e 越大, 即渐近线的斜率的绝对值就大, 这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。 由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化; (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约 8.离心率相同的双曲线
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(1)计算双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e0 4 9

(2)离心离为 e0 的双曲线一定是 用一个特有的形式表示呢?

x2 y2 ? ? 1 吗?举例说明 4 9

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如果存在很多的话, 它们能否

(3)离心率为

13 的双曲线有多少条? 2

分析:e ?

c a2 ? b2 b kb ? ? 1 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 的关系式,并从中发现只要实现半轴 a a a ka
13 2

和虚半轴各与 a=2,b=3 有相同的比 k:1(k>0)的双曲线,其离心率 e 都是

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9.共轭双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲 线的共轭双曲线 如

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x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 ? ?1 16 9 9 16

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注意的区别:三量 a,b,c 中 a,b 不同(互换)c 相同 通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意 1) 性质:共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 2) 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将 1 变为-1
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3) 共 用 同 一 对 渐 近 线 y ? ?kx 的 双 曲 线 的 方 程 具 有 什 么 样 的 特 征 : 可 设 为

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上 1 k2
二、合作探究:

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例 1 求双曲线 9 y 2 ? 16x 2 ? 144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

y

O

x

例 2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最 小半径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径为 25 m,高 55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到 1m).

y
C' A' O 13 12 C A

x
B

B'

25

分析:本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆:上口、下口、最 小的一个截口。显然,最小截口圆的圆心是双曲线的中心,直径是双曲线的实轴,所以以最 小截口直径所在直线为 X 轴,圆心为原点建立坐标系,则双曲线的方程具有最简单的形式。
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.解这类题目时,首先要解决以下两个问题:(1)选择适当的坐标系;(2)将实际问题中 的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 三、课堂练习: 2 2 1 .方程 mx +ny +mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是 (A)(0, ? m ? n ) (B)(0, ? n ? m ) (C)( ? m ? n ,0) (D)( ? n ? m ,0)

2 .下列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是 (A)

x2 2 y2 x2 -y =1 和 =1 3 3 9
2

(B)

x2 2 x2 2 -y =1 和 y =1 3 3 x2 2 x2 y2 -y =1 和 =1 3 9 3

(C)y -

x2 y2 2 =1 和 x =1 3 3

(D)

3 .与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 A (?3,2 3} 的双曲线的一个焦点到一 9 16
(C)2 (D)1

条渐近线的距离是 ( ) (A)8 (B)4

4 .以 y ? ? 3x 为渐近线,一个焦点是 F(0,2)的双曲线方程为 (A) x ?
2

(

)

y2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 1 (B) x 2 ? ? 1 (C) ? ? ?1 (D) ? ?1 3 3 2 2 3 3
2 2

5 .双曲线 kx +4y =4k 的离心率小于 2,则 k 的取值范围是 ( ) (A) (-∞,0) (B)(-3,0) (C)(-12,0) (D)(-12,1) 6 .已知平面内有一固定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5 四、能力拓展 2 2 2 2 2 2 1 .已知双曲线 b x -a y = a b 的两渐近线的夹角为 2 ? ,则离心率 e 为( (A)arcsin ? (B)

)

a cos ? b

(C) sec?

(D)tg2 ?

2 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3 .双曲线顶点为 (2, -1) , (2, 5) , 一渐近线方程为 3x-4y+c = 0, 则准线方程为 (

)

(A) x ? 2 ?

16 5

(B) y ? 2 ?

16 5

(C) x ? 2 ?

9 5

(D) y ? 2 ?

9 5

4 .与双曲线

x2 y2 ? =1(mn<0)共轭的双曲线方程是 m n

(

)

(A) ?

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? ?1 (D) ? ? ?1 m n m n m n m n

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五、课堂小结

我的收获:解例 2 这类应用题时,首先要解决以下两个问题: (1)选择适当的坐标系(通
常是把题中的特殊直线或线段放在坐标轴上,特殊点放在原点) ; (2)将实际问题中的条件 借助于坐标系用数学语言表达出来(如把实物上的特殊点、线用坐标描述出来)
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我的困惑


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